5b. Электричество и магнетизм

5b. Электричество и магнетизм

Глава 10

ДИЭЛЕКТРИКИ

§1. Диэлектрическая проницаемость

§2. Вектор поляризации Р

§З. Поляризационные заряды

§4. Уравнения электростатики для диэлектриков

§5. Поля и силы в присутствии диэлектриков

§ 1. Диэлектрическая проницаемость

Сейчас мы разберем еще одно характерное свойство материи, возникающее под влиянием электрического поля. В одной из предыдущих глав мы рассмотрели поведение проводников, в которых заряды под влиянием электрического поля свободно текут в такие участки, что поле внутри проводника обращается в нуль. Теперь мы будем говорить об изоляторах, т. е. таких материалах, которые не проводят электриче­ство. Сначала можно было бы подумать, что в них вообще ничего не происходит. Но Фарадей с помощью простого электроскопа и конденса­тора, состоящего из двух параллельных плас­тин, обнаружил, что это не так. Его опыт по­казал, что если между пластинами поместить изолятор, то емкость такого конденсатора уве­личится. Когда изолятор целиком заполняет пространство между пластинами, емкость воз­растает в x раз, причем x зависит только от свойств изолирующего материала. Изолирую­щие материалы называют также диэлектриками; тогда множитель x характеризует свойства диэлектрика и называется диэлектрической про­ницаемостью. Диэлектрическая проницаемость вакуума, конечно, равна единице.

Наша задача теперь состоит в том, чтобы объяснить, почему вообще возникает электри­ческий эффект, раз изоляторы фактически яв­ляются изоляторами и не проводят электриче­ства. Начнем с экспериментального факта, что емкость увеличивается, и попытаемся разоб­раться, что же там может происходить. Рас­смотрим плоский конденсатор, на проводящих пластинах которого имеются заряды, скажем, на верхней пластине отрицательные, а на нижней — положительные.

Фиг. 10.1. Плоский конденсатор с диэлектриком. Показаны линии паяя E.

Пусть расстояние между пластинами равно d, а пло­щадь каждой пластины А. Как мы показали раньше, емкость равна

(10.1)

а заряд и потенциал конденсатора связаны соотношением

(10.2)

Далее, экспериментальный факт состоит в том, что если мы по­ложим между пластинами кусок изолирующего материала, на­пример стекла или плексигласа, то емкость возрастет. Это, ра­зумеется, означает, что при том же заряде потенциал стал мень­ше. Но разность потенциалов есть интеграл от электрического поля, взятый поперек конденсатора; отсюда мы должны заклю­чить, что электрическое поле внутри конденсатора стало мень­ше, хотя заряды пластин и не изменились.

Но как может это быть? Нам известна теорема Гаусса, кото­рая утверждает, что полный поток электрического поля прямо связан с находящимся внутри объема электрическим зарядом. Рассмотрим входящую в теорему Гаусса поверхность S, изобра­женную пунктиром на фиг. 10.1. Поскольку электрическое поле в присутствии диэлектрика уменьшается, мы заключаем, что полный заряд внутри поверхности должен теперь быть меньше, чем до внесения изолятора. Остается сделать единственный вы­вод, что на поверхности диэлектрика должны находиться положи­тельные заряды. Раз поле уменьшилось, но все же не обратилось в нуль, значит, этот положительный заряд меньше отрица­тельного заряда в проводнике. Итак, явление это можно объяс­нить, если мы поймем, почему на одной поверхности диэлектри­ка, помещенного в электрическое поле, индуцируется положи­тельный заряд, а на другой — отрицательный.

Фиг. 10.2. Если поместить пластинку проводника внутрь плоского конденсатора, наведенные заряды обратят поле в проводнике в нуль.

Все было бы понятно, если бы речь шла о проводнике. Пусть у нас был бы, например, конденсатор, расстояние между пластинами которого равно d, и мы вставили бы между этими пластинами незаряженный проводник толщиной b (фиг. 10.2). Электрическое поле индуцирует положительный заряд на верх­ней поверхности и отрицательный заряд на нижней поверхнос­ти, так что в результате поле внутри проводника погашается. Во всех остальных местах поле такое же, какое было без провод­ника, поэтому оно равно поверхностной плотности зарядов, де­ленной на e_о; но расстояние, по которому мы должны интегри­ровать, чтобы получить напряжение (разность потенциалов), стало меньше.

Напряжение равно

Окончательное выражение для емкости похоже на (10.1), где d нужно заменить разностью (d-b):

(10.3)

Емкость увеличилась в некоторое число раз, зависящее от b/d, доли объема, занятого проводником.

Отсюда мы получаем модель того, что происходит в диэлект­риках: внутри материала имеется множество мелких прово­дящих слоев. Беда такой модели состоит в том, что в ней должна иметься выделенная ось — перпендикуляр ко всем слоям, а у большинства диэлектриков такой оси нет.

Фиг. 10.3. Модель диэлек­трика; маленькие проводя­щие шарики, вставленные внутрь идеального изоля­тора.

Эту трудность, одна­ко, можно устранить, предположив, что все изолирующие мате­риалы содержат маленькие проводящие шарики, отделенные один от другой изолятором (фиг. 10.3). Появление диэлектри­ческой проницаемости тогда объясняется действием зарядов, ин­дуцируемых в каждом шарике. В этом и состоит одна из самых первых физических моделей диэлектриков, предложенная для объяснения явления, которое наблюдал Фарадей. Точнее, пред­полагалось, что каждый атом материала есть идеальный провод­ник, изолированный от остальных атомов. Диэлектрическая проницаемость x тогда должна была определяться долей того объема, который занимают проводящие шарики. Теперь, одна­ко, пользуются другой моделью.

§ 2. Вектор поляризации Р

Продолжив наш анализ, мы обнаружим, что идея о проводя­щих и непроводящих участках не так уж существенна. Любой из маленьких шариков действует как диполь, момент которого создается внешним полем. Для понимания диэлектриков суще­ственной является идея о том, что в материале возбуждается множество маленьких диполей. Почему они возбуждаются — то ли потому, что в материале есть проводящие шарики, то ли по каким-либо другим причинам — абсолютно несуще­ственно.

Почему поле должно индуцировать дипольный момент у ато­ма, хотя атом не является проводящим шариком? Мы обсудим этот вопрос гораздо подробнее в следующей главе, которая бу­дет посвящена внутреннему механизму диэлектрических мате­риалов. А сейчас мы дадим лишь один пример, только чтобы проиллюстрировать возможный механизм. Атом имеет ядро с по­ложительным зарядом, окруженное отрицательными электрона­ми. В электрическом поле ядро притягивается в одну сторону, а электроны в другую. Орбиты или плотности вероятности элект­ронов (или какая-либо другая картина, используемая в кванто­вой механике) несколько искажаются (фиг. 10.4); центр тяжести отрицательных зарядов сместится и больше не будет совпадать с положительным зарядом ядра. Мы уже обсуждали такое рас­пределение заряда. Если взглянуть на него издалека, то подоб­ная нейтральная конфигурация в первом приближении эквива­лентна маленькому диполю.

Если поле не чересчур велико, естественно считать величину индуцированного дипольного момента пропорциональной полю. Иначе говоря, небольшое поле сместит заряды чуть-чуть, а более сильное поле раздвинет их дальше — пропорционально величине поля, пока смещение не станет чересчур большим.

Фиг. 10.4. Распределение электронов атома в электрическом поле сдвигается относительно ядра.

До конца этой главы мы будем считать, что дипольный мо­мент в точности пропорцио­нален полю.

Предположим теперь, что в каждом атоме заряды q раз­делены промежутком d, так что qd есть дипольный момент одного атома. (Мы пишем d, потому что d уже использовано для обозначения расстояния между пластинами.) Если в еди­нице объема имеется N атомов, то дипольный момент в еди­нице объема равен Nqd. Этот дипольный момент в единице объема мы запишем в виде вектора Р. Нет необходимости подчеркивать, что он лежит в направлении всех отдельных дипольных моментов, т. е. в направлении смещения за­рядов d:

(10.4)

Вообще говоря, Р будет меняться в диэлектрике от точки к точке. Но в каждой точке Р пропорционален электрическому полю Е. Константа пропорциональности, которая определяется тем, насколько легко можно сместить электрон, зависит от сорта атомов в материале.

О том, что действительно определяет поведение этой констан­ты и степень ее постоянства для больших полей, а также о том, что происходит внутри разных материалов, мы поговорим позже. А пока мы просто предположим, что существует какой-то механизм, благодаря которому индуцируется дипольный момент, пропорциональный электрическому полю.

§ 3. Поляризационные заряды

Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент Р. Полу­чится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность заря­дов? Нет, если Р постоянен.

Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плот­ность, то сам факт их смещения не приводит к появлению сум­марного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы Р в одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем отту­да вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность за­ряда. В случае плоского конденсатора предположим, что Р — величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмот­реть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние d, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии d. Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверх­ностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом.

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если пло­щадь пластинки равна А, то число электронов, которое ока­жется на поверхности, есть произведение А и N (числа электро­нов на единицу объема), а также смещения S, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона q_{e. Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных за­рядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А. Вели­чина поверхностной плотности зарядов равна}

Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р [формула (10.4)]:

Фиг. 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние d относи­тельно отрицательных.

(10.5)

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверх­ности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектри­ком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также име­ют поверхностный заряд (который мы обозначим s_своб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что s_пол существует только благодаря s_своб. Если, разрядив конденсатор, удалить s_своб, то s_пол также исчезнет, но он не стечет по проволо­ке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь ма­териала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлект­рике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на e₀. Очевидно, что s_пол и s_своб имеют разные знаки, так что

(10.6)

Заметьте, что поле Е₀между металлической пластиной и по­верхностью диэлектрика больше поля Е; оно соответствует только s_своб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

(10.7)

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предпо­лагаем, что Р зависит от Е и, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде

(10.8)

Постоянная c (греческое «хи») называется диэлектрической вос­приимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

(10.9)

откуда мы получаем множитель 1/(1+c), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Фиг.10.6. Количество ааряда, прошедшее через элемент вообра­жаемой поверхности в диэлект­рике, пропорционально компонен­те Р, нормальной к поверхности.

Напряжение между пластинами есть интеграл от электри­ческого поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d. Мы по­лучаем

Полный заряд конденсатора есть s_своб А, так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной

(10.10)

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель

(10.11)

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Р не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в ма­ленький элемент объема может войти больше зарядов, чем вый­дет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?

Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через вооб­ражаемую плоскость, когда материал поляризуется. Коли­чество заряда, проходящее через поверхность, есть просто Р, умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности. Разумеется, если поля­ризация касательна, к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда.

Оглавление

1

Следующая глава