У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Принстон, наоборот, был маленьким провинциальным городом, в котором не было ни клубов, ни кабаре и фактически отсутствовала ночная жизнь. Возможно, было бы преувеличением сказать, что Принстон являлся придатком Университета и Института перспективных исследований (независимых учреждений, хотя и имевших много связей друг с другом), но в действительности было сложно выйти на улицу и не встретиться с преподавателями, студентами или выпускниками, убежденными в своей принадлежности к интеллектуальной элите планеты.

Гёдель воспринял изменение обстановки почти как благословение. Он быстро адаптировался к новому стилю жизни, более соответствовавшему его стремлению к уединению и размышлениям об интеллектуальных аспектах бытия. Адель, наоборот, никогда не чувствовала себя в Принстоне комфортно.

В Вене она была танцовщицей в ночных клубах и теперь скучала по музыке и веселью, поэтому чувствовала себя грустно и одиноко. Детей у них с мужем не было, но Адель частично смягчала это одиночество множеством домашних животных, среди которых были собаки, коты и птицы. Ее одиночество усиливали недостаточное владение английским языком и отсутствие друзей (за исключением некоторых соседей).

Гёдель же, в отличие от Адель, сознательно сократил круг знакомых. Он общался в основном с коллегами из Института перспективных исследований, а самыми близкими его друзьями стали Оскар Моргенштерн и, конечно же, Альберт Эйнштейн.

Пока еще "слава" совсем не давит на меня. Это начинается только тогда, когда ты становишься настолько известным, что тебя узнает на улице даже ребенок, как это происходит в случае с Эйнштейном.

Из письма Гёделя матери о начале жизни в Принстоне и прогулках с Эйнштейном

Гёдель познакомился с Эйнштейном в 1933 году, во время первого визита в США, где их представил друг другу Пауль Оппенгейм, немецкий химик, также эмигрировавший из-за нацистов. Они вновь встретились в 1940 году, по приезде Гёделя в Принстон, и за очень короткое время стали хорошими друзьями.

Из-за обоюдной сдержанности ученых мы знаем об их дружбе немного и в основном из переписки Гёделя с матерью, которая жила в Брно. Каждое утро между 10 и 11 часами Эйнштейн заходил за Гёделем домой, и они шли пешком в Институт, что занимало примерно полчаса, по пути беседуя о физике, политике и философии. В час или два часа дня они возвращались домой, также беседуя.

Некоторые обрывки этих бесед сохранены в письмах Гёделя. Эйнштейн, похоже, был настроен относительно будущего человечества довольно оптимистично, хотя и с некоторыми оговорками. Гёдель, наоборот, проявлял пессимизм, что не было удивительно в первые годы ядерной эры, когда казалось, что вот-вот разразится атомная катастрофа.

Образ Гёделя и Эйнштейна, беседующих на немецком языке во время прогулок по Принстону, стал широко известным. Эйнтштейн вспоминал: самое важное, что он делал в Принстоне в те годы,— это прогулки с Гёделем.

Рассказывают, что во время одной из этих прогулок водитель автомобиля узнал Эйнштейна и от удивления чуть не врезался в дерево. Гёделя, почти всегда облаченного в шляпу, пальто и перчатки (даже в разгаре лета), наоборот, узнавали редко.

Эйнштейн скончался в 1955 году, и это стало тяжелым ударом для Гёделя, хотя он и не выражал свое горе публично. Ученый пишет матери: 

"То, что люди никогда не упоминают меня в связи с Эйнштейном, меня вполне устраивает (и также устроило бы и его, поскольку он поддерживал мнение, что даже известный человек заслуживает право на личную жизнь). После его смерти меня несколько раз приглашали сказать несколько слов о нем, но я, естественно, не согласился".

ВРАЩАЮЩИЕСЯ ВСЕЛЕННЫЕ

Заметным следствием бесед с Эйнштейном стали статьи Гёделя по теории относительности — в отличие от остальных его работ они не имеют прямой связи с математической логикой.

Первая, написанная на английском языке, называлась "Пример нового типа космологических решений эйнштейновских уравнений гравитационного поля" и была опубликована в журнале Reviews of Modern Physics за 1949 год (том 21, номер 3, страницы 447-450). В этой статье Гёдель представил решение уравнений Эйнштейна, которое заключается в описании вращающейся, гомогенной, закрытой и стабильной (то есть нерасширяющейся) системы с замкнутыми времени подобными кривыми. Теоретически эти кривые позволяли путешествия во времени и фактически сделали бы так, что в такой Вселенной времени не существовало бы в том значении, в котором мы обычно его понимаем, поскольку прошлое и будущее были бы неразличимы.

Хотя такое описание не противоречит уравнениям Эйнштейна, оно касается не реального мира. И все же Вселенная Гёделя вызывала определенный интерес. Ученый писал: 

"Сам факт совместимости с законами природы вселенных, в которых невозможно различить абсолютное время и, следовательно, в которых не может существовать объективного промежутка времени, проливает свет на значение времени также в тех вселенных, в которых можно определить абсолютное время". 

Эти слова взяты из "Замечания об отношении между теорией относительности и идеалистической философией", опубликованного также в 1949 году в качестве сообщения в сборнике, изданном Артуром Шлиппом, посвященном работе Эйнштейна. Эта книга была частью коллекции "Библиотека современных философов", вклад в которую Гёдель внес еще в 1944 году сборником, посвященным Бертрану Расселу. В отличие от других работ эта статья была написана языком, доступным широкой публике, без использования математических формул. В ней Гёдель рассмотрел некоторые философские следствия из теории относительности в ее связи с природой времени, "этой таинственной и, казалось бы, противоречивой сущности, которая, с другой стороны, похоже, составляет основу существования мира и нашего собственного существования" (цитата из этой статьи).

В работе Гёдель утверждает, что относительность обеспечивает "безошибочное доказательство философской концепции, в которой, как и у Парменида, Канта и современных идеалистов, отрицается объективность изменений и считается, что изменение — это иллюзия или видимость, вызванная нашим особенным методом восприятия". Гёдель объясняет эту идею,

Гёдель(слева) и Эйнштейн во время одной из многочисленных прогулок в Принстоне с 1940 по 1954 год.

В 1951 году Гёдель (вместе с американским физиком-теоретиком Джулианом Швингером) был награжден премией Альберта Эйнштейна. Слева направо: Эйнштейн, Льюис Штраус (председатель совета Института перспективных исследований в Принстоне), Гёдель и Швингер.

основываясь на том факте, что изменение существует только относительно объективного промежутка времени, но понятие "объективного промежутка времени" несправедливо в релятивистской вселенной, в которой у каждого наблюдателя есть свое собственное "сейчас", не сравнимое с "сейчас" других наблюдателей. Следовательно, если нет объективного времени, нет изменений.

Гёдель продолжает: "Джеймс Джинс сделал вывод, что нет причин отказываться от интуитивной идеи существования абсолютного времени, длящегося объективно. Я не думаю, что ситуация оправдывает этот вывод", — говорит он и объясняет это расхождение во взглядах, основываясь на результатах, полученных в своей предыдущей статье. Если существуют вселенные без объективного времени, совместимые с уравнениями относительности, а наша Вселенная, конечно же, совместима с ними, то мы не можем точно сделать вывод о том, что в нашей Вселенной есть объективное время.

В 1952 году была опубликована третья и последняя работа Гёделя об относительности. Она называлась "Вращающиеся вселенные в общей теории относительности" и на самом деле была рефератом его выступления на Международном математическом конгрессе в Кембридже (Массачусетс) в 1950 году. В ней ученый излагает новые решения уравнений Эйнштейна, вновь основанные на вращающихся Вселенных, хотя в этом случае не все они имеют замкнутые времениподобные кривые.

Хотя решения Гёделя не описывают реальную Вселенную, они подтолкнули поиск неортодоксальных решений уравнений Эйнштейна, и в этой области Гёдель опять был первым.

Ученый опубликовал все свои работы по математической логике в течение всего десяти лет, с 1930 по 1939 год (пока жил в Вене, хотя последние две статьи, 1938 и 1939 годов, были опубликованы на английском языке в американских журналах). Во время принстонского периода Гёдель не публиковал результатов по логике и в основном (за исключением уже упомянутых статей по теории относительности) занимался комментированием философских выводов своих предыдущих исследований.

ДЖЕЙМС ДЖИНС

Джеймс Хопвуд Джинс, которого Гёдель цитирует в своей второй статье о теории относительности,— британский физик, математик и астроном, родившийся в 1877 году в графстве Ланкашир. Он учился в Кембриджском университете и преподавал там же до переезда в Принстонский университет в 1904 году, где работал преподавателем прикладной математики. Вернулся в Кембридж в 1910 году. Джинс внес важный вклад в квантовую механику, теорию излучения и звездную эволюцию. Его анализ вращающихся тел привел к выводу о том, что теория Лапласа об образовании Солнечной системы из облака газа была ошибочной. В свою очередь, Джинс предположил, что планеты возникли из вещества, испущенного Солнцем из-за гипотетического столкновения с другой звездой; однако сегодня эта теория не принята. Ученый написал несколько книг по популярной физике и космологии, которые принесли ему славу замечательного популяризатора науки. В одной из них, "Загадочная Вселенная", сказано:

"Направление знаний устремляется к немеханической реальности: Вселенная теперь больше похожа на великую мысль, чем на великую машину. Разум уже не кажется неким существом, случайно вторгшимся в королевство материи... мы скорее должны приветствовать его как создателя и властелина королевства материи". 

Джеймс Джинс скончался в графстве Суррей (Англия) в 1946 году.

Последняя научная работа по математической логике за авторством Гёделя появилась в форме книги объемом примерно 70 страниц, опубликованной издательством Принстонского университета в 1940 году. Она не была напрямую написана Гёделем, а представляла собой издание конспектов курса, прочитанного ученым в 1938-1939 годах в Институте перспективных исследований. Книга называется "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств", и в ней изложено частичное решение первой из проблем, которые поставил Давид Гильберт на своей знаменитой лекции 1900 года, — проблемы, изначально сформулированной Георгом Кантором и известной как континуум-гипотеза.

КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Чтобы понять, что такое континуум-гипотеза, мы должны вернуться к теории Кантора о бесконечности, о которой говорилось в первой главе. Вспомним, что множество, по словам самого Кантора, это "собрания целиком объектов действительности или нашей мысли". Так, имеется множество всех дней недели, множество всех месяцев в году или множество четных натуральных чисел. Одни из этих множеств конечны, другие бесконечны.

Множество является конечным, когда возможно сосчитать его члены один за другим, и этот счет в какой-то момент заканчивается. В бесконечных множествах, наоборот, счет никогда не заканчивается. Если у нас есть конечное множество, мы вполне можем сказать, сколько в нем членов; например, во множестве дней недели семь членов, а во множестве месяцев года — 12. Количество членов множества математики называют его кардинальным числом; таким образом, мы можем сказать, что кардинальное число множества, образованного буквами слова "море", равно четырем.

Целью Кантора было придать смысл идее кардинального числа, или количества членов, для бесконечных множеств. Но как можно говорить о количестве членов бесконечного множества? Можно ли что-то сказать, кроме очевидного факта того, что оно бесконечно? Кантор исходил из простой идеи: представим себе, что в большом зале много играющих детей и большое число стульев (рисунок 1), и нам хочется знать, равно ли их количество друг другу. Один из способов сделать это — это сосчитать детей по одному, сделать то же самое со стульями, а затем сравнить результаты.

РИС. 1

РИС. 2

Но есть более прямой способ осуществить это сравнение — попросить детей сесть по одному на каждый стул. Если не осталось ни одного пустого стула, мы можем сказать, что стульев ровно столько же, сколько и детей, то есть что кардинальные числа множества стульев и множества детей равны. В математической терминологии можно сказать, что мы установили биективное (взаимнооднозначное) соответствие между множествами (каждому ребенку соответствует один стул, а каждому стулу — один ребенок).

Итак, мы можем сказать, что у двух конечных множеств одно и то же кардинальное число, если можно установить биективное соответствие между ними. Идея Кантора заключалась в том, чтобы распространить это понятие на бесконечные множества, установив биективное соответствие между множествами в виде сравнения их кардинальных чисел.

На основе этой идеи Кантор определил, что два бесконечных множества имеют одно и то же кардинальное число, если можно установить между ними биективное соответствие, то есть если можно установить пары между их соответствующими членами так, чтобы каждому члену первого множества точно соответствовал один член второго, и наоборот.

В первой главе мы уже видели, что множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4,...) может иметь биективное соответствие с множеством квадратных чисел (1,4, 9, 16,...).

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (буква символизирует числа в целом как самостоятельный объект). А если к натуральным числам добавить их противоположные (то есть отрицательные числа -1, -2, -3, -4, ...), а также ноль, мы получим множество целых чисел, которое в математике обычно обозначается буквой Z — от первой буквы немецкого слова Zahl (число).

Кантор заметил, что у множества целых чисел то же самое кардинальное число, что и у N. Другими словами, существует столько же натуральных чисел, сколько и целых.

В соответствии между N и Z число 1 множества N образует пару с числом 0 множества Z; остальные нечетные числа множества N устанавливают пары с отрицательными числами множества Z; а четные числа множества N устанавливают пары с положительными числами множества Z. Заметим, что, как это и должно быть, каждому члену множества N соответствует один член множества Z, при этом нет ни одного отсутствующего или лишнего члена.

Натуральные числа — только часть целых; однако оба множества имеют, как это определил Кантор, "одно и то же количество элементов" (на математическом языке — у обоих множеств одно и то же кардинальное число). Как мы уже сказали в главе 1, аристотелевский принцип — "целое больше любой из его частей" — неприменим к бесконечным множествам.

ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД

Чтобы пойти еще дальше, необходимо кратко остановиться на очень распространенном способе представления чисел на числовой прямой.

Фрагмент числовой прямой с обозначенными на ней некоторыми целыми числами.

Числовая прямая — это прямая линия, которая превращается в числовую, когда мы назначаем числа ее точкам. Самый простой способ обозначить целые числа — назначить одной точке число 0, другой — 1. Когда они назначены, натуральные числа располагаются после 1, при этом сохраняется расстояние между соседними числами. Отрицательные числа расположены симметрично положительным относительно числа 0. Очевидно, что как только будут назначены все целые числа, будет еще много точек, не имеющих чисел. Например, 1/2 = 0,5 находится ровно посередине между 0 и 1; 4/3 = 1,333... — на трети пути между 1 и 2; √2 = 1,4142... — между 1 и 1,5 (намного ближе к 1,5, чем к 1); π = 3,1415... — немного дальше 3.

Множеством действительных чисел (которое обычно обозначается буквой R) называют множество, образованное числами, заполняющими всю числовую прямую. Каждой точке числовой прямой соответствует действительное число, и наоборот. Среди действительных чисел, конечно же, есть и целые, и упомянутые выше √2 или π, а также другие бесконечные числа, такие как 12,22222 или —2,01001000100001...

У множеств N и Ζ, как мы видели, одно и то же кардинальное число, но... происходит ли то же самое с N и R? Кантор открыл, что это не так: N и М имеют разные кардинальные числа, и между ними невозможно установить биективное соответствие. Доказательство этого факта состоит в том, что любая попытка установить биективное соответствие между натуральными и действительными числами провалится и по крайней мере одно действительное число неизбежно останется без соответствия. Если бы натуральные числа обозначали стулья, а действительные — детей, то всегда будет один ребенок, оставшийся без стула.

Чтобы понять эту идею, приведем доказательство для одного специфического примера, хотя ясно, что эта процедура работает во всех случаях. Итак, назначим действительное число каждому натуральному и посмотрим, как можно найти пропущенное число (на следующем рисунке показаны только числа от 1 до 5, но в действительности список продолжается до неопределенности).

Правило, по которому мы назначили эти числа, неясно, но это не имеет значения, поскольку метод работает при любом правиле назначения. В качестве первого шага этого метода сосредоточим наше внимание на цифрах, находящихся после запятой.

Обратим внимание на диагональную линию, начинающуюся в левом верхнем конце, опускающуюся вправо (см. рисунок). Выдающаяся роль этой линии определила название метода — диагональное доказательство.

Число, которое мы ищем (оно осталось без пары), начинается с 0, а знаки после запятой определены числами, появляющимися по диагонали.

НАТУРАЛЬНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Можно было бы подумать, будто N и R имеют разные кардинальные числа потому, что N — дискретное множество (то есть его графическое представление заключено в изолированных точках), в то время как R не является таковым (между двумя действительными числами всегда есть другие действительные числа, в R нет изолированных точек).

Однако дело не в этом. Возьмем множество рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q и в котором содержатся все рациональные числа, то есть те, что можно представить в виде дроби (или в виде частного двух целых чисел). Например, 1/2 = 0,5 и -4/3 = -1,333... рациональные числа, в то время как √2 = 1,4142... и π = 3,1415... таковыми не являются. Целые числа включены в рациональные, поскольку, например, 6 = 6/1. Хотя рациональные числа не заполняют всю числовую прямую, они не дискретны: между двумя рациональными числами всегда есть другое рациональное число. Например, между двумя рациональными числами всегда лежит среднее для них число. Так, между 1/3 и 1/2 находится

между 1/3 и 5/12 находится среднее для них число, а между 1/3 и этим средним числом — их среднее число, и так далее (схема выше).

Несмотря на то что Q — плотное множество, а N — дискретное, между ними можно установить биективное соответствие. Один из способов сделать это показан на схеме, где появляются все рациональные числа, а стрелки указывают путь, вдоль которого можно пройти один раз через каждую дробь. Способ установления последовательности следующий: первому числу пути (то есть 0) соответствует натуральное число 1, второму (то есть 1) — натуральное число 2, третьему (то есть 1/2) — число 3, и так далее. Пояснение: дробь -2/2 занимает седьмое место на пути, и сначала мы должны были бы назначить ему натуральное число 7. Однако -2/2 равно -1 (-1 и -2/2 — это одно и то же число, записанное по-разному), а числу -1 мы до этого назначили натуральное число 5. Мы не можем назначить 5 числу -1, а 7 — числу -2/2, поскольку это одно и то же число. Способ решения этой проблемы — просто опустить -2/2 и назначить 7 следующей дроби, то есть -2/3.

Для получения первого знака после запятой числа мы берем первую цифру диагонали и прибавляем к ней 1 (если бы это было 9, взяли бы 0). В примере наше первое число диагонали — 3, так что наше число будет начинаться с 0,4.

Для получения второго знака после запятой числа мы прибавляем 1 ко второму числу диагонали (если это 9, берем 0). Для третьего знака после запятой мы пользуемся третьим числом диагонали и так далее. В нашем примере искомое число начинается с 0,41162...