Симпсоны и их математические секреты

Так как же нам объяснить этот пример парадокса Симпсона? Здесь есть четыре момента, которые проливают свет на загадку парадокса. Во-первых, сравнивая результаты голосования республиканцев и демократов, мы должны анализировать всю совокупность данных (в целом по стране). Это позволит прийти к заключению, что республиканцы поддержали Закон о гражданских правах более активно, чем демократы. Таким и должен быть окончательный вывод.

Во-вторых, хотя наша задача – проанализировать разницу между результатами голосования республиканцев и демократов, реально поражают различия между представителями северных и южных штатов независимо от того, к какой политической партии они принадлежат. В северных штатах США закон получил примерно 90-процентную поддержку, тогда как в южных она составила всего 7 процентов. Когда мы фокусируемся на одной переменной (например, демократы в сравнении с республиканцами), уделяя меньше внимания более важной переменной (например, север в сравнении с югом), то ее часто называют скрытой переменной.

В-третьих, во многих ситуациях проценты действительно имеет смысл использовать для сравнения, но в данном случае, начав с анализа одних только процентов, мы не приняли во внимание фактическое количество голосов, из-за чего не смогли оценить значимость определенных результатов. Например, 0 процентов голосов в пользу принятия закона, отданных республиканцами южных штатов, кажутся заслуживающими осуждения, но ведь южные штаты представлены всего 10 республиканцами; и если бы хоть один из них проголосовал за принятие закона, то поддержка южных республиканцев возросла бы с 0 до 10 процентов и превзошла бы поддержку демократов, составившую всего 7 процентов.

И последний, самый важный фрагмент этих данных – результаты голосования южных демократов. Ключевой момент здесь состоит в том, что в южных штатах поддержка закона была гораздо меньше, чем в северных, и южные штаты избирали преимущественно демократов, слабая поддержка закона которыми снизила средний показатель для всех представителей Демократической партии. Именно этим объясняется разворот тенденции в случае анализа всей совокупности данных.

Показательно, что результаты голосования за принятие Закона о гражданских правах 1964 года не относятся к числу редких статистических странностей. Подобный разворот тенденции в процессе интерпретации данных, который называют парадоксом Симпсона, создает путаницу во многих ситуациях, от спортивной статистики до медицинских данных.

Прежде чем закончить эту главу, хочу обратить ваше внимание на то, что в мире математики есть и другие Симпсоны. Например, имя Симпсон увековечено в так называемом правиле Симпсона – методе математического анализа, позволяющем рассчитать площадь под любой кривой. Этот метод назван по имени британского математика Томаса Симпсона (1710–1761), который в возрасте пятнадцати лет стал преподавателем математики в английском городе Нанитон. Восемь лет спустя, по данным историка Никколо Гуиччардини, он совершил одну из тех ошибок, которая может случиться с каждым из нас, и был «вынужден бежать в 1733 году в Дерби после того, как он или его помощник напугал девушку, одевшись как дьявол во время астрологического сеанса».

Безусловно, есть еще и теорема Карлсона-Симпсона, не требующая разъяснений; достаточно упомянуть о том, что она содержит принципы раскрашивания, о которых идет речь в теореме Хейлса-Джюитта, и используется в доказательстве Фюрстенберга-Кацнельсона. Но я уверен, что мне нет необходимости рассказывать вам об этом.

И наконец, не стоит забывать и о теореме Барта[40].

ЭКЗАМЕН III

ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ СТАРШИХ КУРСОВ УНИВЕРСИТЕТА

Шутка 1

Вопрос: Почему программисты путают Хеллоуин с Рождеством?

Ответ: Потому что oct. 31 = dec. 25. (Восьмеричное (octal) число 31 равно десятичному (decimal) числу 25.)

2 балла

Шутка 2

Если Телепузики – это продукт времени и денег, тогда:

Телепузики = время × деньги, но время = деньги

⇒ Телепузики = деньги × деньги

⇒ Телепузики = деньги²

Деньги – корень всего зла, следовательно, деньги = √зла, а значит, деньги² = зло

⇒ Телепузики = зло

(Англ. product означает «продукт», а также «произведение».)

4 балла

Шутка 3

Вопрос: Насколько трудно считать в двоичной системе счисления?

Ответ: Легко: 01 10 11.[41]

2 балла

Шутка 4

Вопрос: Почему не стоит смешивать алкоголь и матанализ?

Ответ: Потому что не следует пить и брать производную. (Англ. derive («брать производную») созвучно с drive – «вести автомобиль».)

2 балла

Шутка 5

Студент: «Что вы больше всего любите в математике?»

Профессор: «Теорию узлов».

Студент: Да-да, я тоже.

(Англ. knot theory («теория узлов») созвучно с not theory – «не теория».)

2 балла

Шутка 6

Когда после потопа ковчег в конце концов причаливает к берегу, Ной выпускает всех животных и говорит им: «Идите и размножайтесь».

Несколько месяцев спустя Ной с радостью видит, что все создания размножаются, кроме пары змей, у которых по-прежнему нет потомства. Ной спрашивает: «В чем проблема?» Змеи обращаются к Ною с простой просьбой: «Пожалуйста, сруби несколько деревьев и позволь нам там жить».

Ной выполняет просьбу, оставляет змей одних на несколько недель, а затем возвращается. Как и следовало ожидать, у змей родилось много змеенышей. Ной спрашивает, зачем нужно было рубить деревья, и змеи отвечают: «Мы – гадюки; нам нужны бревна, чтобы размножаться».

(«Размножаться» – multiply, означает также «умножать»; «гадюка» – adder, означает также «сумматор»; «бревно» – log, также означает «логарифм».)

4 балла

Шутка 7

Вопрос: Если , тогда чему равно

Ответ:

4 балла

Всего – 20 баллов

Глава 11

Математика в режиме стоп-кадра

Комедийный мультсериал «Флинтстоуны», впервые вышедший на экраны в 1960 году, состоял из 166 эпизодов, демонстрируемых на протяжении шести сезонов, и стал самым успешным сериалом прайм-тайма на канале ABC. Однако после этого вплоть до 1989 года больше ничего подобного не создавалось, пока «Симпсоны» не начали свой долгий триумфальный путь из пяти сотен эпизодов. Доказав, что комедийные мультсериалы могут быть интересны как детям, так и взрослым, «Симпсоны» способствовали выходу сериалов «Гриффины» (Family Guy) и «Южный парк» (South Park). Кроме того, Мэтт Грейнинг и его команда сценаристов доказали, что комедии вполне могут обойтись без смеха за кадром, что создало условия для появления таких сериалов, как «Офис» Рики Джервейса.

Еще одним новаторским аспектом «Симпсонов», по мнению сценариста Патрика Веррона, стала популяризация шуток в режиме стоп-кадра: «Если они и не были изобретены в “Симпсонах”, то уж точно были усовершенствованы. Такие шутки остаются незамеченными при просмотре в обычном режиме, поэтому, чтобы их увидеть, необходимо остановить кадр. Многие шутки представляют собой просто названия книг или знаки. Подобные вещи трудно включить в игровой фильм».

Шутки в режиме стоп-кадра (которые могут длиться буквально на протяжении одного-единственного кадра или порой чуть дольше) включались в эпизоды «Симпсонов» с самого начала. В «Барте – гение», первом полноценном эпизоде «Симпсонов», мы видим библиотеку, в которой есть «Илиада» и «Одиссея». Но моргните – и вы пропустите их. Разумеется, прикол в том, что эти древнегреческие тексты написаны Гомером.

Шутки в режиме стоп-кадра позволяли увеличить комедийную насыщенность сериала и включать в эпизоды скрытые ссылки, которые были настоящей наградой для зрителей, обладающих знаниями в соответствующей области. В этом же эпизоде один из учеников на мгновение демонстрирует ланчбокс с изображением Анатолия Карпова. Карпов был чемпионом мира по шахматам с 1975 по 1985 год. Еще он установил рекорд как продавец самой дорогой марки из Бельгийского Конго, ушедшей с аукциона в 2011 году за 80 000 долларов. Если зритель не заметил шутку, он ничего не потерял. Однако если хотя бы один человек увидел и оценил ее, то, по мнению сценаристов, это стоило затраченных усилий.

По большому счету, шутки в режиме стоп-кадра – это продукт научно-технического прогресса. В 1989 году, когда были запущены «Симпсоны», примерно у 65 процентов американских семей были видеомагнитофоны. Это означало, что поклонники сериала могли смотреть эпизоды по несколько раз и делать паузу на тех сценах, в которых они заметили что-то забавное. В тот же период примерно у 10 процентов семей были домашние компьютеры, а некоторые даже имели доступ к интернету. В следующем году появилась группа новостей Usenet alt.tv.simpsons, которая позволяла поклонникам сериала делиться, среди прочего, найденными шутками в режиме стоп-кадра.

По мнению автора книги Planet Simpson («Планета Симпсон») Криса Тернера, самая радикальная версия юмора в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «Гомер – плохой человек» (Homer Badman, сезон 6, эпизод 9; 1994 год), в котором шоу расследований под названием «Голые факты» ошибочно обвиняет Гомера в сексуальных домогательствах. Ведущий шоу Годфри Джонс вынужден в прямом эфире принести извинения и опубликовать список поправок, представленный в форме текста, быстро прокручивающегося по экрану. Обычный зритель видит лишь размытое изображение, но в этот текст включено тридцать четыре шутки за четыре секунды, причем написаны они достаточно разборчиво, чтобы любой желающий мог остановить эпизод и прочитать текст кадр за кадром.

ШУТКИ ИЗ «СИМПСОНОВ» В РЕЖИМЕ СТОП-КАДРА

«ГОМЕР – ПЛОХОЙ ЧЕЛОВЕК» (HOMER BADMAN, СЕЗОН 6, ЭПИЗОД 9; 1994 ГОД)

Строки из списка поправок «Голых фактов»:

«Если вы это читаете, значит, вы не живете настоящей жизнью».

«Наши зрители – не жалкие существа, у которых нет секса и которые только пожирают пищу перед телевизором».

«Куэйл знает общие правила гигиены».

«Люди, которые это пишут, не живут полноценной жизнью».

«МОШЕННИЧЕСТВО СО СТРАХОВКОЙ» (DUMBBELL INDEMNITY, СЕЗОН 9, ЭПИЗОД 16; 1998 ГОД)

Надпись на стене бара «Диско Стью»:

«Вы должны быть хотя бы немного смуглыми, чтобы сюда войти».

«ЖИР И ТАНЦЫ» (LARD OF THE DANCE, СЕЗОН 10, ЭПИЗОД 1; 1990 ГОД)

Название торгового предложения «Продажа зимнего безумия»

«Товары для вечеринки от Доннера»

«БАРТ ПРОТИВ ЛИЗЫ ПРОТИВ ТРЕТЬЕГО КЛАССА» (BART VS. LISA VS. THE THIRD GRADE, СЕЗОН 14, ЭПИЗОД 3; 2002 ГОД)

Название книги Лизы

«Любовь во времена книжек-раскрасок»

«ДЕНЬ СОЗАВИСИМОСТИ» (CO-DEPENDENT’S DAY, СЕЗОН 15, ЭПИЗОД 15; 2004 ГОД)

Вывеска на Первой церкви Спрингфилда

«Мы приветствуем другие религии (просто шутка)»

«ДВЕ МАМЫ БАРТА» (BART HAS TWO MOMMIES, СЕЗОН 17, ЭПИЗОД 14; 2006 ГОД)

Вывеска на Съезде левшей

«Сегодня проводится семинар: “Амбидекстрия: неприятие левшей?”»

Важно отметить, что шутки в режиме стоп-кадра открыли для сценаристов «Симпсонов» из числа математиков возможность включать в эпизоды некоторые ссылки для истинных нердов. Например, в эпизоде «Полковник Гомер» (Colonel Homer, сезон 3, эпизод 20; 1991 год) впервые появляется кинотеатр Спрингфилда. Внимательные зрители обратят внимание на то, что он называется «Гуголплекс». Для того чтобы оценить эту аллюзию, необходимо вернуться в 1938 год, к разговору американского математика Эдварда Казнера со своим племянником Милтоном Сироттой. Казнер вскользь упоминает, что было бы неплохо найти термин для описания числа 10100 (10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000). И девятилетний Милтон предлагает слово «гугол».

В книге Mathematics and the Imagination («Математика и воображение») Казнер приводит продолжение разговора с племянником: «Тогда же, когда он предложил слово “гугол”, он дал имя еще большему числу: “гуголплекс”. Гуголплекс гораздо больше, чем гугол, но все же это число конечно, как сразу уточнил сам изобретатель этого термина. Он предположил, что гуголплекс должен быть равен 1 с таким последующим количеством нулей, которое можно написать, пока не надоест».

Казнер справедливо заметил, что в таком случае гуголплекс будет произвольным и субъективным числом, поэтому предложил принять его более точное значение – 10гугол. Это число представляет собой 1 с гуголом нулей, что гораздо больше количества нулей, которые можно поместить на одной странице размером с обозримую Вселенную, даже если использовать самый мелкий шрифт.

В наши дни термины гугол и гуголплекс широко известны, поскольку Ларри Пейдж и Сергей Брин использовали слово «гугол» в качестве названия своей поисковой системы. Правда, они отдали предпочтение его более распространенному неправильному написанию, поэтому компания называется Google, а не Googol. Такое название подразумевает, что поисковая система обеспечивает доступ к огромному количеству информации. Как и следовало ожидать, главный офис компании Google нарекли Googleplex.

Сценарист «Симпсонов» Эл Джин вспоминает, что шутки в стоп-кадре с кинотеатром «Гуголплекс» в Спрингфилде не было в первоначальном варианте сценария эпизода «Полковник Гомер». Он убежден, что ее включили во время совместной правки сценария – именно на этом этапе авторы из числа математиков обычно оказывают свое влияние: «Да, я определенно принимал во всем этом участие. Насколько я помню, я не предлагал идею гуголплекса, но совершенно точно смеялся над этим. Идея возникла из-за всех этих кинотеатров, которые называют октоплексами и мультиплексами. Помню, когда я учился в начальной школе, умники постоянно говорили о числе гугол. Эту шутку определенно придумали во время редактирования сценария».

Майк Рейсс, который работал с Джином над «Симпсонами» с самого первого сезона, считает, что спрингфилдский «Гуголплекс», возможно, его идея для шутки в стоп-кадре. Рейсс вспоминает, что когда кто-то из коллег-сценаристов назвал эту шутку слишком трудной для понимания, он начал активно ее защищать: «Кто-то сделал замечание, что я предлагаю шутку, которую никто не поймет, но она все же осталась… Это была совершенно безобидная шутка: насколько смешным может быть такое название для кинотеатра?»

Еще одна шутка в режиме стоп-кадра присутствует в эпизоде «ДеньгоБАРТ». В действительности вы уже могли ее заметить в кадре, представленном на рисунке в главе 6. Ниже этот кадр показан крупным планом, что наверняка поможет вам найти представленную в нем остроту.

THE SIMPSONS™ и © 1990 Twentieth Century Fox Television. Все права защищены

Когда Лиза, пытаясь стать первоклассным бейсбольным тренером, обкладывается стопкой книг, мы видим среди них книгу с корешком, на котором написано: eiπ + 1 = 0. Если вы изучали математику помимо средней школы, то узнаете в этой формуле уравнение Эйлера, которое еще называют тождеством Эйлера. Объяснение этого уравнения имеет уровень сложности, выходящий за рамки данной главы, тем не менее его элементарное и достаточно формальное объяснение можно найти в Приложении 2. Между тем мы с вами сфокусируемся на первом элементе уравнения – особом маленьком числе, известном как e.

Число e было открыто в ходе изучения математиками одного интересного аспекта такого достаточно скучного вопроса, как банковский процент. Представьте себе простой инвестиционный сценарий, когда человек вкладывает 1 доллар на очень удобный и выгодный банковский счет, обеспечивающий доход в размере 100 процентов в год. К концу года на 1 доллар будет начислен процентный доход в 1 доллар, что дает в сумме 2 доллара.

Теперь вместо 100 процентов годовых рассмотрим сценарий, при котором процентная ставка делится пополам, но рассчитывается дважды. Другими словами, инвестор получает процентный доход в размере 50 процентов через шесть и еще 50 процентов через двенадцать месяцев. Таким образом, спустя первые полгода 1 доллар принесет ему процентный доход 0,50 доллара, что в сумме дает 1,5 доллара. За второе полугодие процент начисляется как на 1 доллар, так и на начисленный процентный доход в размере 0,50 доллара. Следовательно, дополнительный процентный доход, который прибавляется по результатам года, составит 50 процентов от 1,50 доллара, то есть 0,75 доллара, что в сумме даст 2,25 доллара процентного дохода в конце года. Такой способ начисления процентного дохода известен как сложный процент.

Как видите, такой сложный процент, рассчитываемый один раз в полгода, обеспечивает более высокий процентный доход, чем простой годовой процент. Остаток на банковском счете был бы даже больше, если бы сложный процент рассчитывался еще чаще. Например, один раз в квартал (25 процентов каждых три месяца), тогда общая сумма процентного дохода составила бы в конце марта 1,25 доллара, в конце июня 1,56 доллара, в конце сентября 1,95 и в конце года 2,44 доллара.