Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).

4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы <AZG и <АНВ равны, как и стороны ZG и НВ.

5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы <BGZ и <GBH тоже равны. Вычтем их из углов <АВН и <AGZ соответственно. Получившиеся углы (<ABG и <AGB) будут равны (общее понятие 3). Ч.Т.Д.

Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).

1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).

2. Необходимо доказать, что углы <AED и <СЕВ равны.

3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА <AED дают по два прямых угла (книга I, предложение 13).

4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА <AED равны (постулат 4 и общее понятие 1).

5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и <AED будут равны (общее понятие 3). Ч.Т.Д.

Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.

Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.

Фрагмент папируса с рисунком, иллюстрирующим предложение 5 книги II Евклида, найденный при раскопках Оксиринха (Пемжде), древнего города в 160 км от Каира.

Изложение в рисунках первого предложения книги I. Оливье Бирн(1810- 1890).

АРИСТОТЕЛЬ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ √2

Для доказательства того, что не существует ни одного числа, которое в квадрате было бы равно двум, философ использовал метод доведения до абсурда.

Нет причин для существования числа, квадрат которого был бы равен 2.

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n² = m². Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n² = 4m'². То есть n² = 2m'², и n — четное.

Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1

Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2

В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.

Так или иначе, структура «Начал» была достаточно солидной, чтобы затмить все предшествующие им трактаты. Возможно, именно в разработке этой структуры и заключается главное наследие Евклида. Теперь мы перейдем к изучению содержания: рассмотрим книгу I и метод танграма, роль бесконечности, значение и происхождение постулата о параллельных, природу и значение иррациональных величин, а также метод исчерпывания, построение Платоновых тел и, наконец, величайший вклад в науку Пифагора — арифметику.

ГЛАВА 3

Книга I и геометрия Вселенной

При изучении первой книги «Начал» мы сталкиваемся с фундаментальными вопросами евклидовой геометрии. Некоторые из них сугубо технического толка, а другие, более интересные, затрагивают отношение геометрии к проблеме бесконечности или соотнесение абстрактных геометрических фигур с окружающей действительностью. Благодаря вопросу, вытекающему из знаменитого постулата о параллельных прямых, мы проделаем путешествие во времени сквозь два тысячелетия, вплоть до неевклидовой геометрии, совершившей революцию в науке XIX века.

Первая книга — единственная из всех томов «Начал», которая содержит и общие понятия, и постулаты. В первых трех, как мы уже сказали, упоминаются приемлемые инструменты для построения геометрических объектов, и, следовательно, они имеют большое значение для решения задач. Оставшиеся два важны для определения природы евклидовой геометрии. Книга I ставит и другие вопросы: движение, искривление, бесконечность, метод танграма (о нем мы поговорим в главе 4) и так далее. Рассмотрим, каким образом четвертый постулат «Начал» связан с движением в геометрии. Согласно ему все прямые углы равны между собой.

В определении 10 из книги I читаем:

Когда прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой.

Если оба угла равны, они являются прямыми (рисунок 1). Возникает вопрос: равна ли эта пара углов другой паре, то есть равны ли все прямые углы, а не только парные? Четвертый постулат дает положительный ответ.

В конкретном случае прямых углов Евклид предполагает некую однородность плоскости. Таким образом, этот постулат включает в себя движение фигур, что предусматривает также общее понятие 5, но мы не можем прибегать к общему понятию для решения чисто геометрической задачи. В евклидовой геометрии нет ни одного постулата, в котором говорилось бы, что две наложенные друг на друга фигуры равны. Другими словами, общее понятие 5 должно быть постулатом, как мы уже говорили в главе 2. Несмотря на это Евклид не смог избежать понятия движения, хотя использовал его в редких случаях, например в пространственной геометрии, когда создавал конус и шар путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов и круга вокруг его диаметра. Он также использовал это понятие в предложениях 4 и 8 первой книги для установления признаков равенства треугольников по стороне, углу и стороне и по трем сторонам. Однако в критерии равенства по углу, стороне и углу удается избежать движения. Рассмотрим первый случай.

Книга I, предложение 4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные между собой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и равные основания, и один треугольник будет равен другому.

РИС. 1

Согласно определению 10, пары углов α, β; γ, δ и ε, ζ равны. То есть α = β, γ = δ, ε = ζ. Следовательно, и α, и β, и γ, и δ, и ε, и ζ являются прямыми углами.

Его доказательство полностью основывается на наложении двух треугольников и на общем понятии 5 и выглядит так: наложим треугольники АВС и А'В'С' один на другой (движение) так, чтобы угол АВС совпал с углом А'В'С'. Очевидно, что стороны АВ и ВС накладываются на стороны А'В' и В'С. Но через точки А [=А'] и С [=С] проходит только одна прямая (общее понятие 7). Следовательно, треугольники полностью совпадают и, согласно общему понятию 4, они были равны и до их перемещения. Таким образом, треугольники АВС и А'В'С равны. Здесь необходимо уточнить, что непоследовательное использование движения не является ошибкой Евклида.

Единственный способ быть последовательными в этом случае — принять это предложение как постулат, что сделал много веков спустя немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своей строгой аксиоматизации геометрии.

РИС. 2

ПРЯМАЯ, КОТОРОЙ НИКОГДА НЕ БЫЛО

Несмотря на определения 2, 3 и 4 из книги I, Евклид ни разу не объяснил, что такое прямая, каковы ее свойства и каким критериям она должна отвечать. Тем не менее он ясно определил, что прямые конечны и их концами являются точки. В действительности Евклид занимался отрезками прямых. Но когда он говорит о равной длине диаметра в определении круга, то использует понятие расстояния. Для прямых его применил позже Архимед в первой аксиоме своего сочинения «О шаре и цилиндре»: «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками». Как мы увидели на примере предложения 4, Евклид использовал постулаты, не устанавливая их. В доказательстве предложения 1 книги I, проанализированном в главе 2, содержится утверждение, которое мы сейчас подробно рассмотрим:

Проведем прямые СА и СВ из точки пересечения двух окружностей С.

Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).

ИСКРИВЛЕНИЕ ФИГУР

Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:

Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.

Чтобы правильно понять эту задачу, мы должны внимательно следовать за рассуждениями Евклида. Он хочет доказать, что сумма углов <BAG и <AGB меньше двух прямых углов. Для этого он переносит угол <EGZ, равный <BAG, к углу <AGB и наблюдает, что их сумма будет меньше, чем сумма <AGB и <AGD. Каким образом он переносит угол? Построив треугольник, который будет содержать его. Как? Согласно следующему доказательству:

1. Он делит сторону AG пополам и получает точку Е (Книга I, предложение 10).

2. Соединяет В и Е (постулат 1) и удваивает этот отрезок (постулат 2 и книга I, предложение 2). Получается точка Z.

3. Соединяет ее с точкой G (постулат 1). Евклид получает два равных треугольника (книга I, предложение 4), так как стороны ZE и EG треугольника ZEG равны сторонам BE и ЕА треугольника БЕЛ соответственно, по построению, а углы <GEZ и <АЕВ противоположны вершине и равны (книга I, предложение 15). Следовательно, оба треугольника равны, а угол <EGZ (который добавляется к углу <AGB) равен углу <BAG, что и требовалось доказать.

Евклид получил такой результат, поскольку точка Z располагается внутри угла <AGD. Но не может ли она располагаться и снаружи этого угла? Ответ на этот вопрос, которым Евклид даже не задавался, отрицательный, так как в его геометрии линии не искривляются. Для Евклида это само собой разумеется, но мы увидим, что эти логические лакуны обесценивают некоторые его доказательства.

В постулате 5 Евклид утверждает, что при некоторых условиях две прямые пересекаются: «Существует точка, принадлежащая им обеим». А в случае с окружностями он принимает это за такой очевидный факт, что не считает нужным говорить об этом. Здесь мы опять сталкиваемся со скрытым постулатом.

Равносторонний треугольник, построенный на отрезке АВ в первом предложении, существует, поскольку построение Евклида верно; но оно зависит от существования точки С. В реальности, в которой этой точки нет, не будет и треугольника. От этого зависят многие из первых доказательств Евклида. Возможность построения в «Началах» зависит от возможности построения точек. Ученый определяет необходимые и достаточные условия, при которых две прямые пересекаются, и правильно обозначает точки, появляющиеся таким образом. Но при этом он не говорит, при каких условиях пересекаются прямая и окружность, и следовательно, точки, получающиеся в местах их пересечения, как бы не существуют.

Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка.

Карл Фридрих Гаусс

Хотя он мог бы сделать это очень просто, достаточно было уточнить, например в случае с окружностями, следующее.

Постулат о пересечении двух окружностей. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше половины суммы их диаметров [то есть меньше суммы радиусов этих окружностей]_, то эти окружности пересекаются в двух точках.

Аналогичным образом можно определить условие, позволяющее выявить существование двух точек, образованных в результате пересечения окружности и прямой: прямая и окружность пересекаются [в двух точках], если перпендикуляр, идущий от центра окружности к прямой, меньше ее радиуса. Но Евклид ничего не говорит по этому поводу.

ПОСТУЛАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Все ученые, занимающиеся «Началами», согласны в том, что их структура и, в частности, постулат 5 (мы будем кратко обозначать его П5) принадлежат самому Евклиду. Это знаменитый постулат о параллельных прямых, который в формулировке Евклида гласит, что «в определенных условиях две прямые неизбежно пересекутся». Евклид впервые применяет его только в предложении 29 первой книги. Та часть геометрии, которая не зависит от этого постулата, получила название абсолютной геометрии. Дословно в пятом постулате говорится следующее.

Постулат 5 (П5). Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух прямых.

Обычно постулат о параллельных прямых изучается не в этой оригинальной формулировке, а в том виде, в котором его изложил шотландский математик Джон Плейфэр (1748— 1819), профессор математики, а впоследствии и философии в Эдинбургском университете.

Постулат Плейфэра (ПП). В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Это утверждение имеет точно такой же смысл, как и постулат Евклида, и подчеркивает, что для П5 необходимы два условия: с одной стороны, существование «прямой, параллельной данной прямой, проведенной через точку, не лежащую на последней», а с другой стороны, эта прямая должна быть единственной. Это существование Евклид дает в предложении 31:

КРИВАЯ И ЕЕ АСИМПТОТА

При помощи пятого постулата Евклид предотвращает асимптотичность «искривления» прямых, как в случае с гиперболой и ее асимптотой (эта предосторожность тем более необходима, поскольку, как мы уже увидели, Евклид не дает полного определения прямой, так что мы не знаем ее полных основных свойств).

В случае с кривыми, например, то, что одна все больше приближается ко второй, не означает, что они обязательно пересекутся, как видно на рисунке: гипербола постепенно приближается к прямой — своей асимптоте,— но никогда не коснется ее.