Помоги проекту - поделись книгой:
Законы Ньютона в конце концов нашли свое выражение с помощью аналитического языка дифференциальных уравнений. Уравнения пришли на смену графикам. Любопытно, что заботу переводить натуральную философию Ньютона с геометрического языка, используемого в это время, на новый аналитический язык (в известном нам виде) взяли на себя не британские математики. У истоков этого начинания стояли ученые с континента, в частности из Парижа, Берлина и Санкт-Петербурга. Соперничество Ньютона и Лейбница относительно авторства метода исчисления переросло в антипатию и открытую вражду между их сторонниками и проложило пропасть между островными и континентальными математиками. Первые последователи Ньютона упорно добивались использования исключительно геометрических методов, что впоследствии вызвало некоторое замедление развития британской науки.
Постепенный переход от геометрической механики Ньютона к аналитическим методам стал возможен только благодаря работе целого поколения математиков континентальной Европы, особенно Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа. Это была великая математическая эпоха, в течение которой анализ стал основной дисциплиной: дифференциальное исчисление и интегралы, теория дифференциальных уравнений испытали резкий подъем.
Пьер-Симон де Лаплас
Аналитическая механика представляла собой значительный прогресс по сравнению с механикой Ньютона. Чем дальше математика отходила от геометрических методов к аналитическим, тем возможнее было изучить физические феномены с помощью дифференциальных уравнений, их описывающих.
После открытия Ньютоном дифференциального уравнения «сила равна массе, умноженной на ускорение», которое управляет движением множества точек и твердых тел, Эйлер сформулировал систему дифференциальных уравнений, описывавших движение такой среды, как вода, воздух или иные жидкие невязкие тела.
Позднее Лагранж сконцентрировал свое внимание на звуковых волнах и акустических уравнениях. В течение XVIII века математики углубляли свое понимание мира и предлагали новые дифференциальные уравнения для изучения различных феноменов. При помощи этого вида уравнений было смоделировано поведение твердых и жидких тел, волн и самой Природы. Математический анализ казался бесконечно обширным.
Однако если составление уравнения для описания феномена может быть легкой задачей, то поиск решения может оказаться не под силу человеку. Самостоятельно решить дифференциальное уравнение так же, как алгебраическое, не удается почти никогда. Последователи Ньютона сформулировали уравнения и смогли решить часть из них — особенно те, которые были связаны с импульсом подброшенной частицы или движением маятника, — но многие уравнения им не поддавались. Для понимания физических феноменов требовалось решать все более сложные дифференциальные уравнения.
Существует два вида дифференциальных уравнений: линейные и нелинейные. Для уравнений первого вида сумма двух решений также оказывается решением. Кроме того, в линейном дифференциальном уравнении ни неизвестная функция, ни ее производная не могут быть возведены в степень 0 или 1. Линейные дифференциальные уравнения описывают феномены, в которых результат суммы причин — это сумма последствий каждой из них, взятой отдельно. Зато в нелинейных уравнениях не существует пропорциональной связи между причинами и следствиями, и пересечение двух разных причин может дать неожиданный результат. Как мы увидим дальше, эта нелинейность сопутствовала самым сложным задачам механики, за которые брался Лаплас.
Теория линейных дифференциальных уравнений тут же была дополнена: Эйлер и Лагранж объяснили, как решать системы линейных уравнений, в то время как их предшественники решали уравнения последовательно, одно за другим, однако буксовали каждый раз, когда вставал вопрос о нелинейных уравнениях. Нелинейные задачи — такие как уравнение маятника — необходимо было решать методом линеаризации, устраняя при этом все показатели, усложняющие уравнение. Иначе говоря, для данного нелинейного дифференциального уравнения было возможно решить аналогичное линейное уравнение и найти решения первого уравнения методом последовательных приближений к решениям второго. Этот подход называют теорией возмущений. Однако этот способ очень быстро показал свои ограничения и неэффективность в большинстве случаев. Просвещенные математики тех лет искали конкретные методы решения специфических уравнений.
Именно в этом направлении Лаплас и достиг некоторых успехов, предложив математические способы, которые с течением времени были улучшены. Ученый максимально использовал математические методы, которые изучил или придумал, в частности имевшие отношение к интегрированию, то есть к решению — точному или приближенному — дифференциальных уравнений, встреченных им в механике и астрономии. Начиная с публикации своей первой статьи Лаплас заинтересовался этими способами интегрирования, которые считал важным открытием.
Королевская Академия наук Парижа, созданная в 1666 году Людовиком XIV и располагавшаяся в здании Лувра, была центром притяжения великих ученых того времени. Кандидаты, желавшие получить пожизненное место в Академии, должны были сначала завоевать признание ее действительных членов, прислав одному из них свою работу, которую тот представлял своим коллегам на специальном собрании, тогда как два других члена составляли отчет с оценкой работы. Лаплас прекрасно понимал, что обязательно должен пройти эту процедуру, если он хочет обеспечить себе будущее в качестве ученого и материальную стабильность. В то время академии предлагали математикам финансовую помощь и публиковали их труды в специализированных журналах.
Лаплас отправил свои первые записки в академию 28 марта 1770 года. Его рецензенты, среди которых был Кондорсе, написали:
Тем не менее в 1772 году, несмотря на публикации и похвальные отзывы, Лаплас так и не смог стать членом Академии наук. Отчаявшись, юноша уже подумывал о том, чтобы эмигрировать в Пруссию или Россию, как Лагранж и Эйлер.
Но в марте 1773 года удача ему улыбнулась. После многочисленных попыток Лаплас наконец получил место в отделе механики. Он был назначен 30 марта адъюнкт-геометром, а 31 марта — адъюнкт-механиком (за этот пост молодой человек конкурировал с Гаспаром Монжем (1746-1818) и Адриеном- Мари Лежандром (1752-1833)). После трех лет настойчивых попыток в возрасте 24 лет Лаплас наконец стал полноправным членом Академии.
Радость нашего героя, как и радость его покровителя д’Аламбера, была необыкновенной. Амбициозная мечта, которую он лелеял с момента своего прибытия в Париж, наконец осуществилась.
ГЛАВА 2
Устойчивость системы планет
В течение всего XVIII века математики и астрономы безуспешно пытались решить определенные проблемы, на которые механика Ньютона не давала ответа: форма Земли, ее орбита, кометы, аномалии движения и в целом устойчивость Солнечной системы. Лаплас играл в этих исследованиях решающую роль: ему удалось доказать, что принцип гравитации — краеугольный камень всего ньютоновского сооружения.
Став членом Академии, Лаплас понемногу поднимался по служебной лестнице. Коллеги признавали его математический талант, даже несмотря на некоторое неуважение, которое Лаплас демонстрировал по отношению к ним, заимствуя результаты без ссылок на авторство. Такое поведение сохранится в течение всей карьеры ученого. Тяжелый нрав Лапласа, его бескомпромиссность в спорах стали общеизвестными, а своим высокомерием он даже шокировал других академиков, также не чуждых снобизма.
В 1770-х годах важный вклад Лапласа в науку начал принимать четкие очертания: он доказал устойчивость известной Вселенной, то есть Солнечной системы. Его учитель д’Аламбер одной из научных целей эпохи считал необходимость дополнить теорию Ньютона. Речь шла не просто о соответствии теории и наблюдений; необходимо было описать мир, опираясь на некоторые рациональные подходы и принцип всемирного тяготения Ньютона. Это был также и философский вопрос: задача должна была быть решена не только физиками и математиками, но и философами. Однако, чтобы объяснить великий вклад Лапласа, вначале необходимо коротко описать состояние знаний о планетной системе, характерное для последней четверти XVIII века.
«Начала философии» Рене Декарта (1644) и «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона (1687) представляли собой важные вехи в становлении знания о Вселенной, которое выходило за рамки аристотелевской теории и приближалось к современному. Итак, «механики» этих двух великих натурфилософов имели глубокие различия. Время доказало правоту Ньютона и перевело рассуждения Декарта в ранг метафизических домыслов. Ньютонова теория притяжения выйдет победительницей из дуэли с картезианской теорией вихрей. В любом случае в начале XVIII века превосходство ньютоновой системы над декартовой еще не было неоспоримо, и концепция Вселенной все еще обсуждалась. Закат картезианства происходил постепенно.
Можно сказать, что Ньютон умер два раза: физически он угас в 1727 году, но в 1693 году, спустя некоторое время после публикации своего великого произведения, ученый пережил нервный срыв, который заставил его потерять интерес к вопросам небесной механики и оставить задачу защиты закона земного притяжения ученикам. Это была сложная задача. Механическая астрономия, задуманная в качестве производной от астрономии наблюдаемой, имела своей целью осуществление математических расчетов, которые объясняли бы функционирование Солнечной системы — движение планет и их спутников вокруг Солнца, периодичность появления комет, форму земного шара, приливы и отливы, интерпретацию силы тяготения и так далее. Все эти элементы составляли основу данных, необходимых для доказательства одной из противостоящих друг другу великих теорий: декартовой и ньютоновой.
Сторонники обоих ученых разделяли механическую концепцию природы и считали, что они в состоянии изложить ее на математическом языке своей эпохи. Последователи Декарта опирались на соблазнительную картинку: все пространство заполнено либо твердой материей, либо жидкими телами — не всегда ощутимыми, любое движение должно происходить в форме турбулентного потока, вихря, а не по прямой линии.
Используя эту идею для описания небесной сферы, они представляли, что планеты вращаются вокруг Солнца, приводимые в движение огромными вихрями. В противовес этому последователи Ньютона отводили главенствующую роль Солнцу.
Именно эта звезда заставляла планеты вращаться вокруг нее благодаря гравитации — силе, навсегда запечатленной в законе земного притяжения.
Безусловно, декартовы вихри были несовместимы с большим количеством хорошо известных феноменов, но они позволяли объяснить движения с помощью физических воздействий. А вот загадочная сила притяжения, о которой говорил Ньютон и которая приводила в движение планеты, действовала на расстоянии, от Солнца, не прикасаясь к телам непосредственно. Было сложно не увидеть магии в этом дистанционном воздействии.
Лейбниц стал одним из самых знаменитых защитников декартовых вихрей. Немецкий философ и математик подчеркивал их гармоничный характер. Вихри и в самом деле позволяли объяснить, почему все известные планеты Солнечной системы и их спутники вращаются в одном направлении, следуя практически плоским траекториям. Все они словно погружены в общий вихревой поток и двигаются в одну сторону, с запада на восток, — словно корабли, отданные на милость течению.
Этот фундаментальный феномен, который Ньютон объяснить не мог, сторонники Декарта часто использовали в качестве аргумента, чтобы опровергнуть ньютоновы теории. Как мы увидим в главе 4, только Лаплас, выступавший на стороне Ньютона, сможет объяснить этот феномен с помощью своей космогонической теории газовой туманности.
Со временем идеи Ньютона понемногу возобладали, причем даже во Франции, где защита теории Декарта была национальной задачей. Именно во Франции приступили к основным проблемам небесной механики, в решение которых Лаплас сделал значительный вклад в последней четверти XVIII века.
Благодаря беспрецедентной интеллектуальной концентрации Ньютон написал «Начала» за 18 месяцев. В этом труде он изложил фундаментальные принципы «теоретической и рациональной» механики (как он ее называл), то есть науки о движении. Исходя из своего второго закона (сила равна массе, умноженной на ускорение) и первого закона Кеплера (планеты описывают орбиты в форме эллипса, в одном из фокусов которого находится Солнце), он вывел закон всемирного тяготения, который звучит следующим образом: «Любые два тела притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной произведению масс тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». Сила притяжения увеличивается с массой, но уменьшается с расстоянием. «Начала» глубоко потрясли математический мир и мир натурфилософии. Новый закон одновременно объяснял движение планет и гравитационное притяжение тел к Земле.
Этот закон сразу очаровал Лапласа. Возможно, он тут же решил найти доказательство универсальности этого закона, поскольку он объяснял все небесные феномены без исключения.
Объединив все феномены в единую систему, Лаплас стремился описать новую картину Вселенной — полностью детерминистской. Однако его исследование не касалось исключительно Солнечной системы и небесной механики. Лаплас в равной мере и с той же целью обратил свой взгляд и на земную физику — чтобы найти несколько универсальных законов, которые управляют физическими, химическими и даже биологическими феноменами. И его второй важный вклад состоит в разработке основ теории вероятностей (ее мы рассмотрим в главе 5). Вероятность — это точка, в которой соединяются законы Вселенной и случайности человеческого познания.
Греки утверждали, что Земля имеет форму сферы. Эта теория нашла практическое доказательство в 1522 году во время плавания Фернана Магеллана (1480-1521) и Хуана Себастьяна Элькано (1476-1526). Коперник открыл, что земной шар находится в движении, а также ответил на животрепещущий вопрос науки своей эпохи: какова форма этой движущейся Земли? Сторонники Декарта и Ньютона разделились. В «Началах» Ньютон выдвинул предположение, что небесное тело в состоянии движения принимает форму сфероида, приплюснутого на полюсах, то есть форму тыквы. Картезианцы возражали: согласно теории вихрей, Земля должна принять форму продолговатого сфероида, приплюснутого на экваторе, то есть форму дыни или яйца — как это показывает рисунок на следующей странице.
Установив истинную форму Земли, можно было подтвердить правоту Ньютона или Декарта. Париж в эти годы стал центром притяжения европейских математиков. В 1733 году астроном Луи Годэн (1704-1760) предложил измерить длину градуса меридиана на уровне экватора. В следующем году с этой целью в вице-королевство Перу, находившееся под властью испанской короны, направилась экспедиция. Одновременно Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), ассистент математика Алекси Клода Клеро (1713-1765), осуществил экспедицию в Лапландию, чтобы измерить длину градуса меридиана на уровне Северного полюса. Вернувшись в Париж даже раньше предусмотренного срока, 13 ноября 1737 года оба исследователя торжественно заявили перед Академией наук, что в результате измерений был подтвержден тот факт, что Земля имеет форму сфероида, приплюснутого на полюсах. Таким образом, прав оказался Ньютон.
Сторонники Ньютона выиграли важную битву, но еще не всю войну. Декарт, с его вихрями и невидимыми тонкими материями, объяснял все, но ничего не предсказывал. А вот Ньютон, напротив, с его законом притяжения, мог предвидеть многое, но почти ничего не объяснял. Происхождение силы тяготения оставалось загадкой, но возможность использовать теорию Ньютона для прогнозирования позволила этому ученому одержать победу над Декартом. С этого момента на первый план в науке выходит эффективность.
Однако вопрос о форме Земли не был решен окончательно. Выяснилось, что хотя планета и приплюснута на полюсах, она не имеет четкой формы сфероида. Ее вид постоянно меняет сила тяготения, пример тому — отливы и приливы. Начиная с этого момента исследования силы тяготения расширялись.
В январе 1783 года молодой математик Адриен Мари Лежандр представил членам Академии результаты своей работы, касавшейся воздействия силы тяготения на сфероиды. Лапласу поручили прочитать эту работу и составить ее краткое резюме. В марте ученый представил Академии восторженный отчет. Безусловно, работа Лежандра побудила Лапласа начать собственные исследования этого вопроса. Немного позже он представил любопытный доклад — первую публикацию под собственным именем {«Теория притяжения сфероидов и фигуры планет», 1784), в которой обобщал наработки Лежандра, хотя и ни разу не ссылался на него. Лаплас проявлял подобную бестактность еще до вступления в Академию, когда позаимствовал идеи Эйлера и Лагранжа, не упоминая их имен. И этот случай не будет последним. Лаплас опубликовал свою работу раньше, чем Лежандр, который подчеркивал:
«Должен отметить, что дата моего сочинения более ранняя, и новое доказательство позволило господину Лапласу углубить это исследование». Что же такого было в работе Лежандра, сразу заинтересовавшей Лапласа? Именно в этом труде впервые было упомянуто то, что сегодня называют многочленами Лежандра (и что несправедливо называли функциями Лапласа в течение доброй части XIX века), — специальные функции, появляющиеся при решении дифференциальных уравнений. Точнее, они появлялись в решении одного уравнения, важного для небесной механики, которое мы сегодня называем уравнением Лапласа.
Поделиться книгой: