Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

ИЗМЕРЕНИЕ КОРОЛЕВСТВА

В 1818 году королевство Ганновер поручило Гауссу провести триангуляцию и измерение государства. Это была обычная практика того времени, особенно после того, как французы измерили дугу меридиана. Кроме того, исследования были связаны с текущей необходимостью. Власть понимала высокую ценность геодезических работ, которые позволяли составить точные карты, давая ряд военных и экономических преимуществ. Помимо измерения площадей, геодезия занимается построением карт, которые представляют топографию земли. Для этой работы необходимо установить набор координат, которые определили бы главные точки орографии исследуемой территории.

В ПОИСКАХ ДУГИ МЕРИДИАНА

Как только выяснилось, что Земля является сферой, одним из главных научных стремлений XVIII века стало желание узнать ее точный размер и форму. Идеален ли градус сферичности? А может быть планета немного приплюснута в каком-то месте: на полюсах (по мнению Ньютона) или, наоборот, на экваторе (по мнению Декарта)? Чтобы ответить на оба вопроса, по инициативе Парижской академии наук был разработан проект эксперимента, который состоял в том, чтобы осуществить ряд измерений дуги меридиана на широте экватора (после чего в результате математических операций можно было определить периметр Земли) и сравнить их с другими измерениями на широте полюсов. В 1735 году из Руана группа французских ученых под руководством Пьера Луи Моро де Мопертюи отправилась в Лапландию. В 1736 году отправилась другая экспедиция, в Перу, руководил ею астроном и математик Луи Годен. В состав группы входили самые именитые ученые того времени, а также представители местной испанской власти — моряки и ученые Хорхе Хуан и Антонио де Ульоа. Эта экспедиция длилась почти десять лет (ее члены вернулись в Европу в 1744 и 1745 годах) и в конце концов превратилась в настоящий научный подвиг. К неудовольствию инициаторов экспедиции была доказана правота англичанина Ньютона, однако годы исследований открыли пути для развития самых разных отраслей знания — геодезии, астрономии, навигации, ботаники и так далее. Путешественники, участвовавшие в обеих экспедициях, оставили весьма любопытные свидетельства.

Гравюра, сделанная в 1773 году Кастро Кармоной и показывающая одну из триангуляций, осуществленных в вице-королевстве Перу, чтобы определить длину дуги меридиана. Сложная орография Анд, где высота больше 4000 м, делала измерения особо сложными.

Для измерения территорий чаще всего используется метод, известный под названием триангуляция. В нем применяется тригонометрия — дисциплина, занимающаяся углами и отношениями между ними, для определения положений точек, измерения расстояний или площадей. Для измерения высоты нужной точки выбирались еще две точки так, чтобы образовался треугольник. После этого, измерив углы и расстояния между вершинами треугольника, по тригонометрическим формулам можно было вычислить высоту. Используемая техника была очень простой в теории. Основываясь на предварительно точно вычисленных расстояниях между базовыми точками, участок земли нужно покрыть сетью треугольников, вершины которых визуально связаны, и после этого измерить углы всех этих треугольников. Однако этот метод требует много времени и обширных полевых работ. Кроме того, учитывая отсутствие калькуляторов, сложные арифметические операции были очень трудоемки.

Часть Ганновера еще при Наполеоне была измерена, но работа не была завершена и требовала уточнений. Подобные инициативы стали обычными для Европы, и Шумахер, астроном, с которым Гаусс поддерживал очень хорошие отношения, попросил его включиться в проект. До этого у Шумахера был опыт триангуляции Гольштейна, что позволило ему продолжить свои геодезические исследования в Дании. Гаусса идея привлекла сразу же, и он представил правительству Ганновера полный список того, что ему понадобится для выполнения работ. Положительный ответ пришел очень быстро, ученый был назначен директором проекта, и в качестве помощников ему предоставили несколько солдат. В то время Гаусс и не подозревал, что этот проект станет главной задачей его жизни на следующие восемь лет, поскольку измерения оказались сложнее, чем можно было представить. Исходная идея заключалась в том, чтобы дополнить уже существующие результаты, но вскоре оказалось, что лучше картографировать все государство, поскольку сделанная триангуляция содержала дефекты, а также обходила стороной независимый город Бремен. Задача была связана и с географическими сложностями, особенно в западной части и на побережье, где обширные равнины были покрыты лесами. Для осуществления триангуляции необходимо было найти места с хорошим обзором, а с таким рельефом это было не всегда возможно.

Гаусс принялся за проект со всей отдачей. В те годы весной и летом он редко ночевал дома, путешествуя из деревни в деревню и испытывая все неудобства жизни в сельской местности и летней жары.

В течение почти восьми лет, до 1825 года, Гаусс занимался рутинной и изнуряющей работой: он делал измерения днем и вычисления ночью, и это сильно отвлекало ученого от намного более продуктивной деятельности в области математики. Спустя восемь лет Гаусс передал часть полевой работы в руки своему сыну Иосифу, а за собой оставил вычисления. Мы можем утверждать, что в течение почти 20 лет гениальный Гаусс тратил значительную часть своего времени на скучные астрономические и геодезические вычисления. В результате появилось более 70 записей по геодезии и применению метода наименьших квадратов к картографическим измерениям.

Важным вкладом Гаусса в развитие измерительных приборов, который определял успех картографического проекта, было изобретение гелиотропа (1821) — инструмента для облегчения видимости удаленных точек. Его идея очень проста и основывается на отражении солнечного света от наблюдаемой точки, что позволяет делать очень точные наблюдения даже при не самых благоприятных атмосферных условиях и на расстояния, на которые раньше наблюдение было невозможно. Гелиотроп дожил до изобретения аэрофотограмметрии, которая сегодня, наряду со спутниковыми фотографиями, заменила крупномасштабную топографическую съемку, подобную той, которой руководил Гаусс в Ганновере. После трехлетнего промежутка триангуляция Ганновера вновь началась в 1828 году и продолжилась до 1844 года.

Из публикаций Гаусса по геодезии особенно выделяются две, Bestimmung des Breitenunterschieds zwischen den Stemwarten von Gotinga und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsektor («Определение разности широт между обсерваториями Гёттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена») 1828 года и Untersuchungen йЬег Gegenstande der Hoheren Geodasie I и II («Исследование по вопросам высшей геодезии I и II»), опубликованные в 1843 и 1846 годах соответственно. Оба труда оказали огромное влияние на последующее развитие геодезии. В этих работах, представляющих интерес только для специалистов, Гаусс изучает случай перехода от части сферы к плоскости, используя сферическую тригонометрию. Сферическая тригонометрия — это адаптация тригонометрии плоскости к сферическим поверхностям. Она необходима, поскольку применение традиционных тригонометрических формул для плоских треугольников невозможно для сферических треугольников. К примеру, для них не выполняется базовый закон о равенстве суммы углов треугольника 180°. Сумма углов сферического треугольника, показанного на рисунке, равна 270°.

Сферический треугольник. Три его угла прямые, то ест в сумме дают 270°.

В этих двух работах Гаусс также выделил место для треугольников на поверхности эллипсоида — более общий случай по сравнению со сферой. Хорошим примером эллипсоида может быть мяч для регби. Чтобы облегчить вычисления, Гаусс привел таблицы, в которых решались уравнения для частных случаев.

ВОЗМОЖНО, ЕСТЬ ДРУГАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В результате работ в области геодезии к Гауссу вернулся интерес к геометрии, которая уже была объектом его исследований в годы учебы. Гаусса называют одним из отцов неевклидовой геометрии и дифференциальной геометрии.

Со времен Евклида считалось, что этот гениальный математик в своей работе «Начала» определил всю геометрию, которая только может быть, и что выйти за пределы его постулатов сравнимо с ересью.

Евклид сформулировал свою геометрию на основе нескольких постулатов, которые считал аксиомами. В математике аксиомы — это очевидные истины, не требующие доказательства. Евклид определил пять постулатов.

1. Через две точки можно провести одну и только одну прямую, соединяющую их.

2. Каждый отрезок может быть бесконечно продолжен в любом направлении.

3. Можно провести любую окружность с центром в любой точке и с любым радиусом.

4. Все прямые углы подобны, то есть имеют одинаковый размер и совпадают, если их наложить друг на друга перемещением.

5. Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

На самом деле, Евклид должен был бы включить еще два постулата, которыми он пользуется в своих доказательствах:

— две окружности, центры которых разделены расстоянием меньше суммы радиусов, пересекаются в двух точках (Евклид пользуется им в своем первом построении);

— два треугольника с двумя равными сторонами и равными соответственными углами подобны, то есть имеют равные углы и стороны и, следовательно, имеют одну и ту же форму и размер.

ЕВКЛИД

Евклид (325-265 до н.э.) — греческий математик и геометр, известный как отец геометрии. О его жизни мы знаем крайне мало, кроме того, что он жил в Александрии во время правления Птолемея I. Его работа «Начала» — одна из самых известных научных работ в мире и, после Библии, наиболее часто издаваемая и переводимая. В нее входят сведения, которые Евклид распространял в Александрийской библиотеке, и это все геометрическое знание того времени. В «Началах» в строгом виде, на основе исключительно пяти постулатов, рассказывается о свойствах линий и плоскостей, кругов и сфер, треугольников и конусов, и так далее, то есть правильных форм. Возможно, ни один из результатов в «Началах» не был впервые доказан Евклидом, но именно он организовал материал и систематизированно изложил его. Самые известные доказательства Евклида соответствуют следующим теоремам:

— сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°;

— в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (знаменитая теорема Пифагора).

Страница «Начал» Евклида из так называемого Манускрипта d’Orville, написанного на греческом языке в Константинополе в 888 году, который хранится в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета.

Евклидова геометрия не только стала мощным инструментом дедуктивного рассуждения, но и оказалась чрезвычайно полезной во многих отраслях знания, например в физике, астрономии, химии и инженерных областях. В работу Евклида изменения не вносились вплоть до XIX века, пока Гаусс не сформулировал несколько видов неевклидовой геометрии, исключив ее пятый постулат.

Евклид предположил, что все постулаты очевидны и не требуют доказательства. Это не подвергалось сомнению до такой степени, что Кант в своей «Критике чистого разума» утверждал: понятия Евклида являются существенным компонентом нашего видения мира. Однако оказалось, что последний постулат в некотором роде независим и что можно отрицать его, не войдя в противоречие с предыдущими. Идея в том, чтобы по-новому определить параллельные линии, перенеся это понятие в иные, отличные от плоскости, пространства.

Начиная с 1813 года Гаусс разрабатывал геометрию, в которой отрицался последний постулат Евклида. Ученый при этом развивал идеи, которые появились у него в последние годы обучения в Коллегии Карла в разговорах с Вольфгангом Бойяи. В 1816 году Гаусс сообщил эти идеи в письме Шумахеру, своему другу и преподавателю астрономии, но, как всегда, ничего не опубликовал на эту тему. Впрочем, причиной на этот раз могло быть не только желание найти как можно более точное доказательство. Все, что касалось обсуждения постулатов Евклида, стало бы объектом ожесточенных споров, а Гауссу не нравилось участвовать в дискуссиях такого рода, которые казались ему скорее философскими.

Когда в 1831 году Янош Бойяи (1802-1860), сын Вольфганга, изложил ему свои идеи о неевклидовой геометрии, Гаусс ответил ему так: «Я не могу хвалить Вашу работу, поскольку, сделав это, я бы хвалил самого себя, так как идеи, которые Вы мне излагаете, совпадают с идеями, которые я разработал 30-35 лет назад». Однако Гаусс признал Яноша Бойяи и Николая Лобачевского, другого создателя неевклидовой геометрии, гениями первой величины. Он даже выучил русский язык, чтобы иметь возможность читать работы Лобачевского в оригинале. Кроме того, математик добился, чтобы в 1842 году русского ученого признали членом Гёттингенской академии.

Сегодня Гаусса, Лобачевского и Яноша Бойяи считают создателями неевклидовой геометрии. Сейчас, помимо евклидовой, известны гиперболическая и эллиптическая геометрии, зависящие от типа кривизны (положительной или отрицательной).

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Неевклидовой называется любой вид геометрии, постулаты и свойства которой отличаются от пяти постулатов Евклида.

Существует много типов неевклидовой геометрии, хотя если свести дискуссию к гомогенным пространствам, в которых кривизна пространства одна и та же в каждой точке и в которых все его точки неразличимы, можно выделить три типа геометрий:

— евклидова геометрия — удовлетворяет пяти постулатам Евклида и имеет нулевую кривизну;

— гиперболическая геометрия — удовлетворяет только первым четырем постулатам Евклида и имеет отрицательную кривизну. В этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной;

— эллиптическая геометрия — также удовлетворяет первым четырем постулатам Евклида и имеет положительную кривизну. Что касается пятого постулата Евклида, в этой геометрии через каждую точку, не лежащую на прямой, не проходит ни одной прямой, параллельной данной (вспомним, что в евклидовой геометрии проходит только одна параллельная прямая). Это случай меридианов Земли, которые в сферической геометрии (частный случай эллиптической) считаются параллельными. На рисунке изображены прямые в различных пространствах.

Гиперболическое пространство

Евклидово пространство

Эллиптическое пространство

В качестве примера, подтверждающего важность вклада великого немецкого математика в геометрию, можно привести тот факт, что Бернхард Риман, самый выдающийся ученик Гаусса, по его просьбе посвятил свою докторскую диссертацию обобщению неевклидовой геометрии.

ВКЛАД В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ

Хотя Гаусс не публиковал работ по неевклидовой геометрии, это не означает, что он вообще не занимался геометрическими проблемами. В 1827 году ученый представил фундаментальную работу о дифференциальной геометрии, использовавшую элементы математического анализа. Книга, озаглавленная Disquisitiones generales circa superficies curvas («Общие исследования о кривых поверхностях»), представляет собой вклад Гаусса в дифференциальную геометрию. В этой работе ученый создал дифференциальную геометрию поверхностей, которая в последующие десятилетия была дополнена работами многих математиков. Основная проблема здесь — это отражение на плоской карте геометрии других типов поверхностей. В самых простых случаях (при постоянной кривизне) появляются гомогенные геометрии: евклидова, эллиптическая и гиперболическая (именно ее разработали Бойяи и Лобачевский). Гаусс пошел намного дальше этих гомогенных пространств и ввел то, что сегодня называется кривизной Гаусса, — обобщение для поверхностей определенной кривизны на плоскости.

Это позволило ему сформулировать так называемую Theorema Egregium (выдающуюся теорему), главный результат дифференциальной геометрии. Говоря неформально, в теореме утверждается, что гауссова кривизна дифференцируемой поверхности может быть полностью определена посредством измерения углов и расстояний на самой поверхности, не ориентируясь на конкретную форму, которую она принимает в трехмерном евклидовом пространстве. Из этого следует, что понятие кривизны — это локальное свойство.

КРИВИЗНА ГАУССА

В геометрии кривая (в параметрическом виде) определяется на плоскости как отображение a (s) = (x(s),y (s)), где s — действительное число, а функции x(s) и y(s) дают координаты на плоскости. Параметрическими называются такие уравнения, в которых переменные х и у, каждая по отдельности, выражены через третью переменную, или параметр (в нашем случае s). Кривая должна быть непрерывной и дифференцируемой функцией, то есть плавной линией без углов. Так как она дифференцируемая, то в каждой точке s кривой можно определить касательную к ней. По определению кривизна а в s определяется как угол, образуемый касательной к кривой в точке s, t(s), с фиксированным направлением на плоскости, которое для удобства принимается за ось ОХ координат, то есть:

θ(s) = угол, образованный между < t(s), ось ОХ>.

Так что обычная кривизна k(s) кривой определяется как дифференциал функции θ, то есть:

k(s) = θ'(s).

На самом деле k{s) измеряет удаленность кривой от касательной прямой. Кривизна Гаусса, которая в некотором роде обобщает это понятие для поверхностей, может быть определена различными способами, самый простой из них задан выражением:

К=k · k₂,

где k₁ и k₂ — это главные кривизны в каждой точке пространства.

Изометрия — это математическое преобразование двух пространств, которое оставляет инвариантными расстояния между точками. Пример изометрии в евклидовом пространстве из трех измерений — это вращения. Итак, следствие из Theorema Egregium в том, что у двух поверхностей существуют изометрии, только если у них одинаковая гауссова кривизна. Очень показателен следующий пример: сфера с радиусом R имеет постоянную гауссову кривизну, равную R-2, в то время как плоскость имеет нулевую кривизну. Как следствие Theorema Egregium, лист бумаги невозможно согнуть или повернуть так, чтобы получилась часть сферы, не сминая или не надрезая его. И наоборот, поверхность сферы не может быть представлена как плоскость без искажения расстояний.

У этого факта есть важный вывод для картографии: нельзя построить карту Земли, на которой масштаб был бы одинаковым в каждой точке плоскости. Следовательно, все обычно используемые проекции изменяют масштаб в различных точках и дают некоторое искажение. Идеальной карты Земли не существует и не может существовать.

В дифференциальной геометрии четко показано, что на поверхностях, не являющихся плоскими, самая короткая линия, которая соединяет две точки, необязательно прямая, как это происходит в евклидовых пространствах. Именно поэтому пришлось ввести новое понятие (геодезическая линия), которое обозначает кратчайшую линию, соединяющую две точки поверхности. Этот принцип используется в воздушной и морской навигации для установления самых коротких маршрутов без прямых линий. Рассмотрим следующий рисунок.

На самом деле кратчайшее расстояние от аэропорта Мадрида до аэропорта Нью-Йорка — это расстояние, пройденное по кривой, нарисованной сверху от прямой, которая соединяет эти два города на карте. Очевидно, что на плоскости это не так, но на поверхности, подобной сферической (как Земля), геодезическая линия, то есть кратчайшая между двумя точками, не является прямой.

ГАУСС И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Общая теория относительности — это устоявшееся название для обозначения гравитационной теории, опубликованной Альбертом Эйнштейном в 1915 году. В соответствии с общей теорией относительности сила гравитации — это локальное проявление геометрии времени-пространства. Релятивистскую модель в обычном евклидовом пространстве построить невозможно. В теории относительности необходимо, чтобы пятый постулат Евклида о параллельных прямых не имел единственного решения. Как мы уже видели, Гаусс, Лобачевский и Бойяи доказали, что эта аксиома не зависит от предыдущих и что от нее можно отказаться, не получив противоречия. Риман разработал общую математику для неевклидового пространства в своей докторской диссертации, руководителем которой был Гаусс. Без этих математических инструментов Эйнштейн не смог бы создать свои труды. Именно его вклад сделал неевклидову геометрию популярной, открыл ее настоящую ценность. До Эйнштейна считалось, что это лишь абстрактная теория, поэтому Гаусс ничего и не опубликовал на эту тему.

В изучении поверхностей Гаусс широко использовал параметрическое представление, введенное Эйлером, осуществляя внутреннее представление поверхности как двумерное изображение. Координаты точки (х, y, z) заданы тремя уравнениями в зависимости от двух параметров: х = х(u, v); у = у(u, v); z = z(u, v). Можно сказать, что стилистически «Общие исследования о кривых поверхностях» — самая совершенная работа Гаусса. Ее аналитическое, прямое и очень лаконичное изложение позволяет представить каждую геометрическую идею в полной форме. Как признавался сам Эйнштейн, «теории относительности не существовало бы без геометрии Гаусса».

ГАУСС И ФИЗИКА

Ключевым в жизни Гаусса был 1831 год. За год до этого его сын Ойген уехал в США из-за семейных размолвок, а в этом году умерла Минна, вторая супруга ученого, — возможно, от туберкулеза, и его дочь Тереза взяла на себя ведение хозяйства. В конце этого же года в Гёттинген приехал Вильгельм Вебер, чтобы занять место преподавателя физики. С этого момента павший было духом Гаусс вновь нашел в науке спасение от своих семейных бед.

Как в научных, так и в дружеских отношениях между Гауссом и Вебером царила полная гармония; Вебер познакомил математика с новыми областями исследования, часть из которых была экспериментальной. Плодотворное сотрудничество, да и само присутствие коллеги помогли Гауссу пережить этот тяжелый период. Он всегда интересовался физикой, но многие его исследования, исключая сделанные в области астрономии и геодезии, носили сугубо теоретический характер. Прежде чем познакомиться с Вебером, Гаусс занялся вариационным исчислением, которое было одной из центральных тем XVIII века. Оно может быть рассмотрено как математическая задача, но является базовым для многих задач физики. Вариационные задачи — это задачи на оптимизацию, в них речь идет о нахождении лучшего значения, но здесь оптимум — это не значение, а функция.

Мы привыкли рассматривать задачи на оптимизацию, которые математически формулируются как:

Min: ƒ(х)

а:х е S,

где S — множество значений, между которыми мы можем искать решение, что называется допустимым множеством. Функция ƒ также называется целевой функцией. С математической точки зрения не существует никакой разницы, заключается задача в максимизации или минимизации, поскольку можно совершить замену, всего лишь изменив знак целевой функции, так что следующая проблема равносильна предыдущей:

Min: -ƒ(х)

а:х е S,

В зависимости от типа функции ƒ и свойств допустимого множества у нас получится тот или иной тип задачи. Решение этого типа задач может быть как числом, так и вектором (рядом), в случае функции, определенной в пространстве с несколькими измерениями.

ВИЛЬГЕЛЬМ ВЕБЕР