Помоги проекту - поделись книгой:
Кроме вычисления пространственных орбит, как мы увидим далее, метод наименьших квадратов имеет большой потенциал применения в других областях математики, особенно в статистике. Решение уравнений методом наименьших квадратов зависит от данных о функции ƒ, связывающей переменные, которые нам известны, и от сложности этой функции. Самый простой случай — когда функция имеет вид прямой, то есть Y = а + bХ. Вычисление параметров а и b получается простым расчетом на основе n пар двумерных данных (х1, y1), (х2, у2),..., (xn, yn). После применения техники наименьших квадратов получаем, продифференцировав и приравняв к нулю, уравнения, известные под названием нормальных уравнений:
где Cov(X, Y) — это ковариация переменных, Sx² и x — вариация и среднее значение переменной X, соответственно, а у — среднее значение переменной Y. Итоговую прямую называют регрессионной прямой. Такие вычисления позволяют определить возможное значение одной переменной на основе известного значения другой. Представим, что мы выбрали n индивидов, у которых пропорция между весом и ростом нормальная. На основе этих n пар данных мы делаем вычисления соответствующей регрессионной прямой. С помощью этого уравнения мы можем определить средний ожидаемый вес человека, зная его рост, — это вычисление используется по сей день. Рассмотрим следующую таблицу данных.
| Рост | Вес |
| 170 | 68 |
| 172 | 70 |
| 174 | 71 |
| 175 | 72 |
| 177 | 73 |
| 180 | 76 |
| 182 | 80 |
| 185 | 82 |
| 186 | 83 |
| 187 | 84 |
| 190 | 85 |
| 193 | 85 |
| 194 | 86 |
Проведя вычисления для получения регрессионной прямой, получаем, что Y= 0,808Х - 68,912, где Υ — вес, а Х — рост. На графике на следующей странице представлены реальные точки и регрессионная прямая, вычисленная методом наименьших квадратов. Прямая позволяет нам спрогнозировать средний вес человека с ростом 179 сантиметров: Υ = 0,808 · 179-68,921 = 75,71.
Чем сложнее функция ƒ, тем сложнее вычисления, но тем большую точность мы получаем в итоге.
Значительная часть статистики — это формулирование предположений, то есть извлечение выводов о параметрах аудитории на основе репрезентативной выборки. Эти выводы получены с помощью функции выборки, называемой статистической оценкой, которая предполагает оценку поведения целевой аудитории. Для статистического предположения принципиальную роль играет теорема Гаусса — Маркова. В ней утверждается, что при выполнении определенных гипотез статистическая оценка, полученная методом наименьших квадратов, является оптимальной.
Как мы уже сказали, в 1807 году Гаусс вернулся в Гёттинген в должности директора астрономической обсерватории. Хотя он интересовался астрономией всю жизнь и это даже уменьшило вклад ученого в традиционную математику, именно на первые годы в Гёттингене приходятся его наибольшие усилия, посвященные доработке имеющихся трудов по астрономии и созданию новых. В 1809 году Гаусс опубликовал свою самую важную астрономическую работу — «Теория движения небесных тел». В ней содержатся полученные им заключения, но, как и ранее, не всегда приведены методы их получения.
Книга была опубликована на латыни, хотя первый вариант Гаусс написал на немецком. Издатель счел, что труд в латинском варианте получит большее распространение. Главная тема работы — определение эллиптических и гиперболических орбит планет и комет при использовании минимального числа наблюдений без дополнительных предположений. В предисловии Гаусс напоминает о вычислении орбиты Цереры, которое принесло ему такую славу. Книга носит явный дидактический характер и включает многочисленные примеры применения. Она разделена на две части: в первой содержится теоретический материал, а во второй — решения общей проблемы. Это первое строго сформулированное применение законов Кеплера для вычисления орбит небесных тел. До открытий Гаусса, таких как метод наименьших квадратов, астрономы пользовались методами, которые от случая к случаю варьировались, и не искали общего правила. Основной вклад Гаусса состоит в сочетании теоретических знаний, необыкновенной легкости алгебраических вычислений и его практического опыта в астрономии. В отличие от своих предшественников (включая Исаака Ньютона, который решал подобные проблемы с помощью геометрического приближения), Гаусс не предполагает знание формы орбиты наблюдаемого объекта. Это затрудняет вычисления, но позволяет подойти к проблеме, не зная, является ли изучаемый объект планетой, кометой или астероидом, что нелегко определить при небольшом объеме наблюдений.
Четыре раздела первой части книги описывают движения тела вокруг Солнца. Раздел I содержит многие необходимые определения, такие как радиус или эксцентриситет, и тригонометрические формулы для описания положения тела в заданной точке орбиты. Также в него включены практические советы о методах экстраполяции числовых таблиц и приближения парабол к эллипсам и гиперболам. Раздел II посвящен определению положения небесного тела как функции с тремя координатами. Гаусс начал с определения семи параметров, которые определяют движение небесного тела: средняя долгота, среднее движение, наибольшая полуось, эксцентриситет, долгота восходящего узла, наклонение орбиты и масса. Затем он описал отношения между этими элементами и объяснил критерии для определения различных конических сечений. И в завершение раздела он указал дифференциальные уравнения движения небесного тела, приведя несколько практических примеров.
В разделе III ученый затронул проблему вычисления орбиты на основе нескольких наблюдений и нахождения всех параметров, описывающих движение тела, с помощью математических отношений. В последнем разделе он занялся случаем различных наблюдений, которые сделаны в той же плоскости, что и Солнце (как движение Земли, например), для которых он вывел их тригонометрические отношения. Этот короткий раздел заканчивается формулировкой уравнения для эллиптических орбит.
Гаусс, определение метода наименьших квадратов
Во второй части книги Гаусс перешел к основной проблеме — определению орбиты небесного тела на основе наблюдений. Эта проблема решается в два этапа: на первом вычисляется приблизительное решение на основе трех-четырех наблюдений, а на втором оно улучшается с помощью оставшихся данных. Части 1 и 2 этого раздела посвящены первому этапу, а части 3 и 4 — второму.
Как мы упомянули, элементов движения, которые необходимо вычислить для определения орбиты, семь. В разделе 1 второй части книги Гаусс объясняет, как вычислить шесть из них, пользуясь тремя наблюдениями; седьмой (масса) должен быть определен независимо. Учитывая, что каждое наблюдение предоставляет два параметра (долготу и широту), трех наблюдений достаточно для вычислений, если только наблюдаемая орбита не находится в эклиптике или очень близко от нее.
Говоря об эклиптике, мы имеем в виду плоскость, в которой Земля движется вокруг Солнца, описывая эллипс. Для этого случая, который является предметом раздела II второй части, необходимо еще четыре независимых наблюдения. Гаусс рассмотрел случай четырех независимых наблюдений, из которых только два являются завершенными. Методологически это не ново относительно увиденного ранее, но важно, если упомянутая орбита близка к эклиптике Земли. В этом случае даже маленькие погрешности в наблюдениях могут привести к ошибочным вычислениям, если работать только с четырьмя упомянутыми наблюдениями.
Последние два раздела книги посвящены способам улучшения методов приближенного вычисления орбит, рассмотренных в двух первых разделах. В разделе III Гаусс впервые опубликовал метод наименьших квадратов как наиболее эффективный для достижения этой цели. Как мы уже видели, он был успешно использован для вычисления орбиты Цереры: Гаусс при этом опередил Лежандра в открытии метода, но не в его опубликовании. В довольно коротком разделе IV ученый сделал несколько замечаний о нарушениях эллиптических орбит, вызванных влиянием планет большого размера, что позволило вычислить массу Юпитера на основе орбиты Цереры, не вдаваясь в чрезмерные подробности. Книга заканчивается рядом очень длинных таблиц, которые проясняют отношения между различными параметрами, определяющими орбиту.
Можно утверждать, что «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям» была самым важным астрономическим текстом в течение нескольких десятилетий после публикации. Метод наименьших квадратов стал основным инструментом: сначала это была только техника, которая затем превратилась в один из столпов натуральной философии Гаусса, и ученый значительно расширил ее применение, сделав необходимым инструментом во многих других областях математики.
Как астроном, Гаусс также ставил эксперименты по обнаружению изменения гравитации из-за земного вращения, определению географической долготы, идентификации комет и анализу сложностей в оптике телескопов.
ГЛАВА 4
Установление порядка между простыми числами
Любое число можно разложить на простые числа, которые и составляют фундамент арифметики. Однако непросто узнать, является ли большое число простым: нет формул, которые описывали бы все простые числа, и мы даже не знаем, как они распределяются в числовом ряду. Когда Гаусс подошел к этой проблеме, ему хватило ясности ума, чтобы открыть новые пути и установить порядок там, где до этого был только хаос.
Гаусс обращал свой интерес на очень разные математические области: алгебру, арифметику, астрономию, построения с помощью линейки и циркуля и некоторые другие. Но если о какой-то теме и можно сказать, что она сопровождала его всю научную жизнь, то это изучение простых чисел и их свойств. Вполне можно заметить, что если Гаусс сделал из теории чисел «царицу математики», то лучшими драгоценностями, которые украшали ее корону, были открытия из области простых чисел — чисел, которые зачаровывали (и ужасали) целые поколения математиков.
Самое древнее доказательство интереса человечества к простым числам — это кость, датированная 6500 годом до н.э. Кость Ишанго была найдена в 1960 году в экваториальной Африке. На ней вырезано несколько столбиков с насечками. Интересно, что в одном из них содержится 11, 13, 17 и 19 отметок, то есть все простые числа от 10 до 20. Изучением простых чисел была увлечена и древняя китайская цивилизация. Для китайцев они символизировали мужественность, поскольку не позволяли представить себя в виде произведения меньших чисел. Однако именно древние греки открыли их первое важное свойство: любое натуральное число можно единственным образом представить как произведение простых чисел. Другими словами, они доказали, что простые числа — это элементы, из которых состоит вся арифметика, точно так же, как химические элементы из таблицы периодической системы составляют основу Вселенной.
Насколько известно, Эратосфен (276-194 до н. э.), библиотекарь из Александрии, был первым, кто в III веке до н. э построил таблицы простых чисел. Он придумал рационально легкий способ узнать, какие числа являются простыми на промежутке между двумя величинами, например 1 и 1000. Отставив в сторону число 1, которое не все математики считают простым, он искал первое простое число: число 2. Далее он вычеркивал все числа, кратные 2 (четные), которые, следовательно, уже не могли быть простыми. В списке незачеркнутых чисел он искал первое незачеркнутое число, которое автоматически было простым, в этом случае 3, и действовал тем же образом, зачеркивая все числа, кратные 3. Эратосфен продолжал эту процедуру, зная, что первое в его списке незачеркнутых чисел вновь будет простым (далее 5, 7,11...) и что именно оно определяет следующие числа, которые нужно удалить из списка (все кратные ему). С помощью этой процедуры он построил таблицы простых чисел. Этот метод получил название решето Эратосфена, поскольку таким образом строилась сеть, не включавшая числа, которые не могут быть простыми, точно так же, как сито золотоискателей помогает им находить самородки. Естественно, на каждом этапе ячейка решета Эратосферна меняется в размерах, поскольку процесс ускоряется.
Евклид также занимался простыми числами. В частности, его интересовал вопрос, бесконечно ли множество простых чисел. Мы можем находить простые числа в течение неопределенного времени или все же существует момент, когда они перестают появляться? Евклид нашел ответ на этот вопрос: множество простых чисел бесконечно. Древнегреческий математик выразил это, сказав, что количество простых чисел больше, чем любое число, которое можно задумать. Доказательство довольно элементарно и показывает мощь математического рассуждения, которое способно ответить на этот вопрос без необходимости искать каждый раз все большие простые числа.
С аргументацией Евклида исчезала возможность построить таблицу, в которой содержались бы все простые числа, и, следовательно, пропала возможность найти способ, который позволил бы описать их. Гораздо сильнее заключений Евклида результат, доказанный в 1737 году Эйлером, который гласит: сумма чисел, обратных простым, расходится. В виде математической формулы это выглядит следующим образом:
где р — простое число.
Очевидно, что из этого результата можно сделать вывод, что количество простых чисел бесконечно, поскольку для бесконечной суммы необходимо бесконечное количество слагаемых (и к этому выводу можно прийти с помощью одних только логических рассуждений).
Еще в юности Гаусс получил в подарок книгу, в которой содержался список нескольких миллиардов простых чисел, возможно полученных с помощью инструмента, напоминающего решето Эратосфена. Гаусс заметил, что числа появляются без всякой системы. Казалось почти невозможным определить порядок их распределения, или формулу, которая позволила бы находить их в бесконечном множестве натуральных чисел. Ученый, который смог определить орбиту небесных тел на основе немногих наблюдений, решил принять вызов. Мысль о том, что математики не могли найти правила распределения простых чисел, подхлестывала разум Гаусса. Он должен был найти порядок и регулярность там, где, казалось, есть только хаос.
Годфри Харолд Харди (1877-1947) о простых числах
Люди пытались понять простые числа в течение поколений, и за это время были сделаны интересные наблюдения. Например, существует гипотеза, согласно которой можно найти бесконечное число простых чисел-близнецов (разделенных двумя единицами), то есть если р — простое число, таким же является р + 2. Пары простых чисел-близнецов находили среди очень больших чисел, таких как пара 1000 037 и 1000 039. Евклид более двух тысяч лет назад доказал, что существует бесконечное количество простых чисел, но никто не знает, есть ли число, после которого больше нет пар соседних простых чисел. В математике одно дело — гипотезы, и совсем другое — теоремы, отделенные от гипотез пропастью доказательства. Именно поэтому математическое доказательство — фундаментальная основа прогресса этой науки.
Одним из первых вопросов, которым занялись математики, было нахождение формул, дававших бы бесконечный ряд простых чисел. Ферма думал, что нашел одну из таких формул: его идея состояла в том, чтобы прибавлять 1 к особому типу степеней числа 2. Согласно Ферма, числа вида 2²n +1 (где n — натуральное число), которые мы обозначим Fn и будем называть простыми числами Ферма или просто числами Ферма, всегда простые. Для малых степеней она работает: при n = 1 получаем 5, при n = 2 получаем 17. Ферма был убежден, что его формула всегда даст простое число, но у него не было возможностей проверить свою догадку экспериментально, поскольку числа быстро росли, и вычисления становились невозможными. Однако в этот раз интуиция его подвела. Пятое простое число Ферма, состоящее из десяти цифр, которое он не смог вычислить, уже не простое, поскольку делится на 641, как доказал Эйлер. После вычисления этого контрпримера интуитивное предположение Ферма перестало быть гипотезой и оказалось просто ложным предположением. Именно поэтому некоторые авторы избегают называть такие числа простыми числами Ферма и говорят о них просто как о числах Ферма.
Гаусс с большим уважением относился к числам Ферма, но нашел им другое применение. В «Арифметических исследованиях» он доказал, что если число Ферма простое, можно построить правильный многоугольник с этим числом сторон с помощью линейки и циркуля. Число сторон многоугольника, построение которого сделало молодого Гаусса известным, — 17, и 17 же — второе число Ферма. Четвертое число Ферма, 65537, простое, и это означает, что можно построить идеальный правильный многоугольник с таким числом сторон. Очевидно, для достижения этого результата необходимы большая точность и терпение, так, мы уже знаем, что мастер, которому заказали выгравировать 17-угольник на могильной плите Гаусса, отказался делать это.
Итак, хотя Гаусс и нашел применение для формулы простых чисел Ферма, сама эта формула оказалась неэффективной для своей изначальной цели. Это еще один пример того, что математические теории, которые считаются неперспективными, могут найти свое применение в будущем. Именно поэтому математики практически не говорят о малой применимости своих открытий, в какой бы теоретической области они ни работали.
Ферма попытался определить некоторые из свойств таких простых чисел, как 5, 13, 17 или 29, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Такие числа могут быть записаны в виде суммы квадратов (13 = З² + 2², 29 = 2² + 5² и так далее). Ферма предположил, что сумма квадратов дает простые числа, и даже утверждал, что у него есть доказательство. На самом деле Ферма слишком часто строил гипотезы и переоценивал свою способность доказать их. Собственно, многие математики той эпохи не представляли доказательств свойств, которые они, по их словам, открыли.
В Рождество 1640 года Ферма рассказал об этом своем открытии в письме, которое послал монаху и музыканту Марену Мерсенну (1588-1648). Этот человек был обычным собеседником многих ученых своего времени, он переписывался почти со всеми французскими математиками и даже с некоторыми иностранными, такими как Галилео Галилей (1564-1642). Группа математиков, которые объединились через переписку с Мерсенном, стала ядром Парижской академии наук.
Мерсенн также заинтересовался созданием простых чисел и придумал формулу, которая оказалась более полезной, чем формула Ферма. Он исходил из степеней числа 2, но вместо того чтобы добавить 1 к результату, как это делал Ферма со своими простыми числами, он решил вычесть его. Например, 2³-1 = 7, а это простое число. Мерсенн сразу же заметил, что его формула не всегда дает простое число, поскольку 24-1 = 15, а оно не является простым. Исследователь понял, что ему нужно какое-то дополнительное условие, и решил, что степень числа 2 должна быть простым числом. Так, он утверждал, что для значений n, не превышающих 257, числа вида 2n — 1 являются простыми тогда и только тогда, если n — простое число. Это математическая характеристика, поскольку она содержит необходимое и достаточное условие. У его теоремы было единственное исключение: 211-1 = 2047, а 2047 = 23 х 89, так что оно не простое. В математике исключение не подтверждает правило. Следовательно, теорема была ложной. Остается загадкой, как Мерсенн мог утверждать, что 2257-1 было простым, поскольку это число из 77 цифр находилось абсолютно за рамками его вычислительных возможностей. Частично идеи Мерсенна изучаются до сих пор, но неизвестно, продолжит ли формула давать простые числа до бесконечности. Пока еще только ожидается доказательство того, что ряд простых чисел вида 2n - 1, где n — простое число, никогда не прервется.
Эйлер также посвятил себя изучению простых чисел. Для него, как и для Гаусса, легче указать области математики, в которых он не сделал никаких открытий, чем наоборот. Страсть Эйлера к простым числам была усилена перепиской с Кристианом Гольдбахом, секретарем Петербургской академии наук.
Гольдбах, как и Мерсенн, не был профессиональным математиком, но его завораживала игра с числами и постановка числовых экспериментов. Именно Эйлеру он впервые рассказал о своей знаменитой гипотезе. Эйлер использовал помощь Гольдбаха для проверки доказательств своих гипотез о простых числах, поскольку в аргументации встречались не вполне обоснованные моменты. Также он очень интересовался гипотезами Ферма об этих числах. У Эйлера работа с простыми числами шла чрезвычайно хорошо, поскольку он обладал исключительными вычислительными способностями, виртуозно манипулировал формулами и обнаруживал скрытые связи. Его коллега, математик и один из реформаторов Парижской академии наук, Франсуа Араго (1786-1853) сказал: «Эйлер считает без видимых усилий, как люди дышат, а орлы летают».
Эйлер просто наслаждался вычислением простых чисел. Он составил их таблицы, включая числа до 100000 и даже больше. Как мы уже упоминали, ему удалось доказать, что пятое число Ферма не является простым — для этого ученый пошел теоретическим путем, поскольку для вычисления этого числа не хватало даже его способностей. А одним из самых любопытных открытий Эйлера стала формула, которая, казалось, генерирует огромное количество простых чисел. В 1772 году он вычислил все результаты, которые получаются, если присвоить х значения от 0 до 39 в уравнении х² + х + 41, и получил следующий список:
41,43, 47, 53,61,71,83,97,113, 131, 151,173, 197, 223, 251,281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231,1301, 1373,1447, 1523,1601.
Все эти числа простые. Начало казалось многообещающим, но при x = 40 и х=41 формула давала составные числа. И снова формула непрерывного и бесконечного порождения простых чисел ускользнула. Также Эйлер открыл, что если изменить независимый член уравнения и вместо 41 подставить 2, 3, 5, 11, 17, также получаются простые числа, но этот ряд всегда в конце концов прерывается. В 1751 году Эйлер пишет: «Есть некоторые загадки, в которые человеческий разум никогда не проникнет. Чтобы убедиться в этом, достаточно бросить взгляд на таблицы простых чисел. Мы заметим, что в них нет ни порядка, ни закона». Если даже великий Эйлер сдался, то проблема действительно серьезна. Так обстояли дела, когда вопросом заинтересовался Гаусс. Наш герой искренне восхищался Эйлером и даже сказал о нем, имея в виду теорию чисел:
«Особая красота этой сферы привлекала всех, кто активно занимался ее развитием; но никто не выражал этого так ярко, как Эйлер, который почти во всех своих многочисленных работах, посвященных теории чисел, постоянно говорит о том удовольствии, которое он получает от этих исследований и от приятных изменений, происходящих в работах, наиболее прямо связанных с практическим применением».
Как вы уже поняли, в течение многих веков математики безуспешно пытались найти формулу, которая бесконечно генерировала бы простые числа. Но Гаусс решил пойти другим путем и использовать новую стратегию. Собственно, этим он славился с юных лет: гениальность Гаусса в том и состояла, что он всегда шел к решению собственными путями, избегая очевидного и многажды опробованного. Ученый оставил поиск универсальных формул (путь, который всегда заводил в тупик), он попытался найти закономерность в распределении простых чисел и, если это возможно, математические выражения, определявшие эту закономерность. Так наметился перелом в подходе к проблеме, а последующие поколения математиков получили обширный материал для изучения, на основе которого были сделаны перспективные открытия. Идея Гаусса состояла в том, чтобы связать распределение простых чисел с логарифмами по основанию е. Казалось, что эта идея буквально вспыхнула в его живом математическом уме, однако на самом деле она вынашивалась годами, а полученные результаты надолго пережили ученого.
В 14 лет Гаусс получил в подарок книгу о логарифмах — необходимом инструменте для любого, кто интересуется арифметикой. С появлением математических калькуляторов логарифмы утратили часть своего значения, и сейчас их изучают не так интенсивно, как это было десятки лет назад. Причина в том, что логарифмы позволяли очень упростить математические операции.
Поделиться книгой: