Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Индейцы майя жили в одно время с ацтеками, но артефакты их культуры сохранились лучше. Как и ацтеки, майя сообразовывали архитектуру своих зданий с астрономическими наблюдениями. Они первыми в Америке открыли метод построения куполов. Пирамиды майя также имели ступенчатую форму и достигали 70 м в высоту. Однако их основания не имели форму идеальных квадратов. Пирамида Кукулькана в Чичен-Ице, известная как «замок», имеет квадратное основание и девять ступенчатых уровней, которые оканчиваются храмом в форме куба. К храму ведут четыре лестницы из 91 ступеньки, по одной лестнице на каждой грани пирамиды. Любопытно, что 4·91 = 364. Это почти равно числу дней в году, поэтому некоторые усматривают в лестницах пирамиды модель календаря.

Прибыв в Перу около 1300 года, конкистадоры обнаружили огромную империю инков, простиравшуюся вдоль всей горной цепи Анд. Их технологии были самыми совершенными во всей Мезоамерике — возможно, потому, что инки больше других народов уделяли внимание практическим вопросам. Уже в X веке им были известны методы изготовления тканей и выплавки золота и меди, оросительные системы и террасное земледелие.

В XIII веке столицей государства инков был город Куско, располагавшийся на «царском пути в горах» — окруженной стенами дороге длиной 6 тысяч километров, которая соединяла города империи. Увидев эту дорогу, испанцы не могли сдержать восхищения. Сооружения инков строились из огромных каменных блоков, уложенных с точностью до миллиметра.

Инки не испытывали особого пристрастия к прямым углам — так, окна и дверные проемы в их жилищах имели трапециевидную форму. Каменная кладка стен также не образовывала сетку из прямых углов, скорее наоборот — в ней можно увидеть самые разные углы, а каменная кладка выполнена столь искусно, что стала символом культуры инков. Для нее характерна удивительная параллельность линий: каждая грань каждого камня так точно стыкуется с соседней, словно мастер шлифовал их друг о друга до тех пор, пока они не стали идеально совпадать. Грани и ребра каменных блоков, невидимые для нас, параллельны, что, по всей видимости, было результатом искусной работы мастеров.

Инкская каменная кладка в Куско (Перу).

Исламская архитектура

Большая мечеть в Самарре (Ирак) была построена в IX веке и на протяжении столетий оставалась крупнейшей в мире. Сегодня от нее сохранились лишь остатки прямоугольной изгороди, стен мечети и впечатляющий минарет спиралевидной формы высотой 50 м. Изгородь мечети, как и других сооружений того времени, была построена так, что соотношение ее сторон составляло 3:2. Снаружи вдоль стен располагались 44 контрфорса в виде цилиндрических колонн. Колонны, расположенные вдоль боковых сторон, имели полукруглые основания, четыре угловые колонны — основания в форме трех четвертей круга.

В этой мечети мы находим те же геометрические элементы, что и в других храмах, — это прямоугольники, квадратное основание минарета, параллельные и перпендикулярные линии, вдоль которых располагаются колонны внутреннего двора.

Однако в мечети в Самарре круг и квадрат сочетаются, образуя спираль.

Спираль как символ встречалась уже в буддийских ступах (см. иллюстрацию в начале этой главы), однако минарет мечети в Самарре представляет собой спираль, устремленную в небо. Чтобы подняться на его вершину, нужно семь раз обойти вокруг центральной оси по винтовой лестнице. Угол наклона лестницы не постоянен — предпоследний виток наклонен сильнее прочих. Сама лестница представляет собой не цилиндр, а конус, и сходится к вершине.

План мечети в Самарре (Ирак).

Подняться на минарет непросто: на винтовой лестнице нет перил, идти по внешней части ступеней опасно, и у некоторых может закружиться голова. Подниматься ближе к центру лестницы безопаснее, и в этом случае становится заметной любопытная особенность всех винтовых лестниц: в отличие от обычных ступеней, имеющих постоянный наклон независимо от того, по какой их стороне мы идем, наклон винтовых лестниц меняется, хотя все их ступени одинаковы. Связано это с тем, что ступени винтовой лестницы во внешней части шире. Каждая ступенька отстоит от предыдущей на одинаковую высоту (расстояние по вертикали), однако расстояние между соседними ступеньками по горизонтали во внешней части увеличивается. При этом отношение расстояний по вертикали и по горизонтали уменьшается, и наклон становится меньше, но длина пройденного пути возрастает. Таким образом, если подниматься по внутренней части винтовой лестницы, путь будет короче, но тяжелее, а если пойти по внешней части, путь окажется длиннее, но потребует меньше усилий.

Священные подношения

До сих пор мы говорили о математических идеях, имеющих отношение к культовым сооружениям. Далее мы рассмотрим вопрос, крайне важный во всех религиях, — вопрос жертвоприношений. Все верующие обращаются к своему богу или богам в молитвах и в большинстве регионов совершают подношения — пищу или подарки, чтобы утихомирить гнев божества, успокоить демонов или злых духов или попросить об удаче в делах.

Если и есть в мире место, где вся жизнь вращается вокруг религии, так это индонезийский остров Бали. В то время как в остальной Индонезии преобладает ислам, жители Бали унаследовали от индийцев индуизм. На острове повсеместно расположены бесчисленные храмы и алтари самых разных размеров. Здесь не найдется ни одного дома, где не было бы алтаря. Алтари и храмы строятся на святых местах и в потенциально опасных участках, к примеру на пересечениях дорог или автомагистралей.

День жителя Бали начинается с сесажена. Это непродолжительный ритуал, который, как правило, выполняют женщины три раза в день перед едой. Они произносят молитву и ставят на пол рядом с домашним алтарем, у входа в дом или на перекрестке подношения — еду, приготовленную накануне. Эти подношения называются «чана» и представляют собой крошечные порции вареного риса, немного мяса, печенье, цветы, благовония и святую воду. На этот импровизированный банкет, пользуясь случаем, всегда слетаются птицы.

* * *

ДЕНЬГИ И МАТЕМАТИКА

Банкноты всех стран имеют одно общее свойство: они должны быть очень хорошо защищены от подделки. Для этого в бумагу внедряются металлические элементы, на которых могут быть записаны идентификационные коды. На катарской банкноте в 1 динар можно увидеть цепочки сплетенных друг с другом многоугольных узлов, обладающие симметрией восьмого порядка, и парусник, воспроизведенный в двух местах с сохранением всех пропорций. Симметрией обладают арки, изображенные на банкноте, и их опоры, волны и сабли, на которые они опираются, а неправильный шестиугольник белого цвета, изображенный на денежной купюре, получается отсечением углов квадрата.

На монетах Брунея изображены спиралевидные узоры, типичные для народов, живущих в джунглях Борнео. Первое, с чем мы сталкиваемся за границей, — это местная математика, зафиксированная на монетах и банкнотах страны.

Аверс катарской банкноты в 1 динар и брунейская монета в 10 сен.

* * *

Подношение божеству следует совершать со всем старанием. Боги заслуживают уважения, и оно должно проявляться не только в общении с ними, но и в том, как и в какой посуде подносятся дары. Емкости для подношений изготавливаются из нежных листьев банана и коксовых пальм, которым заранее придаются определенная форма и размеры.

Чана в ритуале сесажен на острове Бали (Индонезия).

Эти емкости могут иметь самые разные формы — наиболее популярные вы можете видеть на фотографии. Эти формы появились не случайно. Каждый день женщины всех возрастов складывают и сплетают из листьев коробочки и конверты для даров. Но как женщинам удается складывать коробочки квадратной формы и сворачивать конверты с заданным углом?

К счастью, нам не нужно высказывать гипотезы и делать предположения — мы располагаем информацией из первых рук. Чуть дальше вы сами увидите, как именно женщины с острова Бали складывают эту квадратную посуду.

Сначала они нарезают нежные листья кокосовой пальмы на полоски одинаковой ширины вдоль волокон. Приняв за единицу измерения расстояние от конца указательного пальца до большого пальца, они делают на листе четыре пометки. Затем лист складывается так, чтобы последняя метка совпала с первой. Несколько листов банана, нарезанных на полоски того же размера, складываются в большой лист, который вставляется внутрь четырехугольного листа кокосовой пальмы. Посуда готова.

1. Мерка.

2. Полоски листьев кокосовой пальмы с четырьмя отметками.

3. Листья сгибаются.

4. Полоска бананового листа длиной в одну единицу.

5. Несколько полосок банановых листьев складываются и образуют дно посуды.

6. Дно укладывается в посуду. Посуда готова.

Женщины знают, что посуда имеет квадратную форму: во-первых, это очевидно, во-вторых, посуда сложена из четырех равных частей, что, однако, обеспечивает равенство всех четырех сторон, но не равенство углов. Если быть точным, то посуда имеет форму ромба, а квадрат получается только после вставки банановых листьев.

Так как полоски банановых листьев по длине равны стороне квадрата, высота ромба становится равной его стороне, и он принимает форму квадрата. Из бесконечного множества всех возможных ромбов (четырехугольников с равными сторонами) только один является квадратом и, более того, имеет наибольшую площадь.

Описанный выше метод сам по себе не гарантирует правильность решения. Однако женщина, складывая посуду, применяет на практике следующую теорему: ромб, высота которого равна его стороне, — квадрат.

Доказать эту теорему несложно. Высота определяет прямоугольный треугольник, в котором угол, противолежащий высоте, будет углом ромба. Так как катет этого прямоугольного треугольника (высота ромба) равен его гипотенузе (стороне ромба), длина второго катета равна нулю. Высота и сторона ромба параллельны.

Следовательно, две стороны, сходящиеся в вершине, перпендикулярны — это отличительное свойство квадрата.

Из таких же полосок меньших размеров, подготовленных должным образом, изготавливается множество узоров, которые прилагаются к подношениям. Они также образованы из геометрических фигур, а некоторые из них напоминают цветы и складываются посредством сгибов и поворотов полосок на одинаковые углы.

На рисунках ниже показан процесс изготовления посуды из прямоугольника, вырезанного из бананового листа. Длина этого прямоугольника должна быть примерно в два раза больше его ширины. На нем отмечаются центр и серединный перпендикуляр, после чего прямоугольник складывается так, что его нижние углы накладываются друг на друга. В результате верхняя сторона приобретает форму кривой и образуется «карман», куда и складываются подношения.

Серединный перпендикуляр, отмеченный на прямоугольном банановом листе формата 2:1.

Первый сгиб вдоль диагонали прямоугольника.

После второго сгиба вдоль диагонали получается конверт, куда вкладываются подношения.

Иными словами, нужно согнуть прямоугольник вдоль нижних частей двух диагоналей, как показано на рисунке ниже. Так как в полученном прямоугольном треугольнике один катет в два раза длиннее другого, тангенс угла сгиба будет в два раза больше соотношения между катетами.

Однако описанный способ далеко не единственный, и в зависимости от местных обычаев или способностей мастера посуда может принимать самую разную форму. Кроме того, подобным образом складывается не только посуда, но и декоративные украшения, например спираль из тонких волокон листьев. Четыре сплетенных волокна, которые образуют спираль, изображенную на фотографии, имеют ширину 3 мм.

Ее витки направлены вокруг оси. Спираль опирается на ось только в начальной и конечной точке. Углы при вершинах спирали почти прямые и образуются скручиванием волокна на пол-оборота до сгиба. Волокна листьев переплетены, как показано на следующей схеме. Угол а определяет угол между двумя последовательными вершинами (он равен 180° — α) и число секторов на каждом обороте спирали.