Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Далее Датта заключает, что площадь нового пустого угла, квадратика со стороной х, пренебрежимо мала, и выполняется соотношение:

Возможно, именно так рассуждал индийский автор Шульба-Сутр, однако приведенные алгебраические методы и пренебрежение малыми величинами кажутся не слишком уместными при поиске все более точных значений. Чтобы поставить себя на место индийского автора и понять ход его рассуждений, нужно найти геометрическое обоснование этого необычного знаменателя, то есть числа 34. Разделим квадратный пустой угол со стороной 1/12 на столько частей, сколько раз этот квадрат укладывается на верхней и правой сторонах фигуры, то есть на 16 + 16 = 32 части. Отсечем от каждого из 16 квадратиков, расположенных вдоль стороны фигуры, полосу шириной 1/(12·32) и получим новый многоугольник, вписанный в квадрат. Длина стороны этого многоугольника будет равна:

Площадь этого квадрата намного ближе к искомому значению:

Число 34 по-прежнему не появляется. Поступим иначе: вместо того чтобы уменьшить стороны изображенного выше неправильного многоугольника, рассечем квадрат со стороной 1 + 1/3 + 1/12 вдоль верхней и правой стороны. На каждой из них маленький квадратик в углу укладывается ровно 17 раз.

Разрежем этот маленький квадратик на 34 полосы, а затем отсечем 17 полос из верхней и столько же — из правой стороны большого квадрата. Мы исключили излишек в форме маленького квадрата, длина стороны которого равна: 1/(12·34)

Полученная фигура вновь будет неправильным многоугольником, вписанным в квадрат. Длина стороны этой фигуры в точности равна приближенному значению, приведенному в Шульба-Сутрах.

По всей видимости, если мы отбросим 34 квадратика, это будет слишком много, если отбросим 33 — слишком мало, чем и объясняется чередование чисел 33 и 34 в последующих приближенных значениях, полученных по индийскому методу:

В продолжение рассуждений, параллельных индийскому методу, заметим: если разделить исходный квадрат не на три, а на пять частей, то первое приближение будет более точным.

Подобная схема рассуждений не вписывается в евклидову геометрию. Несмотря на всю ее логичность, эти рассуждения не основаны на аксиомах и не приводят к доказательству уже известного результата. Мы видим перед собой не теорему, доказательство и вывод, а поиск некоторого объекта, природу которого мы узнаем лишь по мере приближения к нему.

Математика как культурный феномен

Математическая мысль усложняется в культурах, которым известна письменность, и напрямую связывается с ней. Мы гораздо больше знаем о тех культурах, от которых до нас дошли письменные свидетельства.

В египетских пирамидах мы видим квадрат, а не круг. В Стоунхендже мы видим круг, а не квадрат. Быть может, форму квадрата должны были иметь монументы, имевшие отношение к загробному миру, подобно пирамидам? Быть может, круг имеет большее отношение к астрономии и ритуалам-, связанным с Солнцем и Луной?

Культуры, о которых мы рассказали в этой главе, давно прекратили свое существование. Математические идеи в них зародились намного раньше, чем возникла так называемая западная культура. Развитие этих идей носило локальный характер: все народы занимались математикой по-своему и независимо друг от друга решали практические задачи. Эта математика была этноматематикой.

Мы имеем некоторое представление о том, что такое математика, как она создается, и наше представление опирается на идею непрерывности пространства и времени. Но, по всей видимости, эта идея возникла лишь с появлением нашей культуры. А что происходит и происходило за ее пределами? В доколумбовой Америке существовали народы, создавшие важные математические знания. Этот процесс не прекращается в самых разных культурах с момента открытия нового континента и до наших дней — именно благодаря ему эти культуры смогли выжить и дойти до нас. Обо всем этом мы и поговорим дальше.

* * *

СЕЛЬСКАЯ МАТЕМАТИКА

В конце 1980-х годов профессор Гвида де Абреу изучила математические методы, которые применяли крестьяне на северо-востоке Бразилии. Расхождения между этими методами и сугубо академическими представлениями препятствовали внедрению новых аграрных технологий.

К примеру, площади треугольников крестьяне вычисляли как произведение среднего арифметического длин двух сторон треугольника на половину третьей, то есть по формуле (х + у)·z/ 4.

Этот метод имеет свои недостатки. Для равностороннего треугольника со стороной х площадь будет равна S = х2/2, что отличается от фактического значения, равного (х2√3)/4. Для прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 и 40 метров и гипотенузой длиной 50 метров в зависимости от выбора сторон возможны три разных результата. Истинное значение площади составляет 600 м2, а значения, полученные по методу бразильских крестьян, равны: S₁ = 800 м2, S₂ = 875 м2, S₃ = 675 м2.

В последнем случае мы вычислили среднюю длину двух больших сторон треугольника и получили наиболее точный результат. Возможно, так и следует действовать во всех случаях, тем более что этот метод, несомненно, намного удобнее применять на практике, чем тригонометрические расчеты. Кроме того, основой системы мер, которую использовали крестьяне, были единицы под названием брага, куб и конта. Брага, стандартная мера длины, составляла от 2 до 2,20 м и измерялась при помощи посоха. Куб определялся как площадь квадрата с длиной стороны в одну брагу, конта — как площадь квадрата с длиной стороны в 10 браг.

Глава 2

Как считать быстрее и лучше

Письменный счет и вычисления

Что бы вы подумали, если бы увидели на тротуаре бумажку с такими надписями?

Это свободная интерпретация шумерской таблички возрастом более 4600 лет, найденной в городище Шуруппак на территории Ирака. Как отмечает Джордж Ифра (Марракеш, 1947), эта табличка представляет собой древнейшую запись деления чисел. Математик и историк Джордж Ифра — автор объемных и очень подробных трудов о системах счисления во всем мире, созданных задолго до появления математической науки.

В табличке идет речь о разделе ячменя между несколькими людьми. В левом столбце указано исходное количество ячменя, которое нужно разделить: один амбар и семь сил (один амбар равнялся 1152 000 сил). В правом столбце приведены необходимые расчеты. Смысл текста на табличке таков: после того как амбар ячменя был разделен между несколькими людьми, каждому досталось по 7 сил. Всего было 164571 человек, 3 силы оказались лишними.

Числа на табличке записаны при помощи геометрических фигур. Маленький конус обозначал единицу, круг — 10 единиц, большой конус — 60 единиц, большой конус с отверстием — 600, большой круг — 3600, большой круг с отверстием — 36 000 единиц.

Делимое 1152000 раскладывается на степени 60 следующим образом:

1152 000 = 5·603 + 2·10·602.

Но вместо того, чтобы записать его в таком виде, автор таблички, который не умел представлять большие числа, применил самое большое число, известное в ту эпоху, то есть 36000. Если мы хотим записать число 1152000 при помощи кругов с отверстиями, нам потребуются 32 круга:

1152 000 = 32·36 000.

Разделив эти 32 круга на 7 частей, получим, что в каждой части будет по 4 круга и еще 4 круга окажутся лишними. Четыре круга, доставшихся каждому человеку, составляют частное и записаны в верхней правой части таблички. Четыре оставшихся круга представляют собой остаток от первого деления. Их нужно снова разделить на 7 частей. Так как остаток равен 4·36 000 сил, получим:

4·36 000 = 144 000 = 40·3600,

то есть 40 больших кругов без отверстий. Разделим их на группы по 7 и получим, что частное — 5 кругов, остаток — тоже 5 кругов. Оставшиеся круги, обозначающие 5·3600 единиц, делятся на большие конусы с отверстиями по 600 единиц:

5·3600 = 18 000 = 30·600.

Имеем 30 больших конусов с отверстиями, которые нужно разделить на семь частей. Частное равно 4, остаток — 2. Таким образом, остались 2 больших конуса с отверстиями, то есть 2·600 = 1200 единиц, которые снова нужно разделить на 7 частей. Для этого используем следующую единицу измерения — конус без отверстий, обозначающий 60 единиц:

1200 = 20·60.

Эти 20 конусов, в свою очередь, снова делятся на 7. Результат деления равен 2, остаток — 6. Таким образом, лишними оказались 6 * 60 = 360 единиц. Они обозначаются 36 шарами по 10 единиц каждый:

360 = 36·10.

* * *

ВЫЧИСЛЕНИЯ ШУМЕРОВ

На латыни слово calculus означало маленькие камни или кусочки глины, которые в зависимости от формы и размера обозначали разные величины. От этого слова произошло современное «калькулятор»». Шумеры использовали для обозначения величин не камни, а маленькие конусы и шарики, в которых проделывали отверстия. Современные врачи называют «calculus renalis» камни в почках — небольшие плотные образования, возникающие в результате кальцификации.

* * *

Результат деления 36 на 7 равен 5, остаток — 10 единиц, или, что аналогично, 10 маленьких конусов. Разделим их на 7 частей и получим последний остаток в 3 единицы, или 3 маленьких конуса. Все описанные выше действия приведены в таблице.

Фигурам, изображенным в верхней правой ячейке глиняной таблички, соответствуют числа в третьем столбце таблицы. Под этими фигурами на табличке изображены три маленьких конуса, обозначающие остаток от деления (им соответствует четвертый столбец таблицы). Разумеется, деление было проведено по всем правилам.

Древние египтяне, жившие в 2000 году до н. э., с легкостью выполняли умножение и деление на 10 — для этого им было достаточно заменить символы, обозначавшие цифры исходного числа, меньшими или большими символами соответственно.

На следующем рисунке в качестве примера показано, как записывались числа 48 и 480 (напомним, что египтяне писали справа налево).

При умножении на другие величины они использовали не алгоритм, подобный нашему, а последовательное умножение или деление на 2. Так, чтобы умножить 117 на 14, они записывали числа в два столбца. В левом столбце записывались последовательные степени двойки, в правом — числа, кратные 14. Запись прекращалась, когда следующая степень двойки превышала число, на которое умножалось 14, то есть 117.

Теперь нужно выбрать из правого столбца числа, которые в сумме дают 117:

1 + 4 + 16 + 32 + 64 = 117.

Следовательно, результат умножения равен сумме чисел из правого столбца, соответствующих этим слагаемым:

14 + 36 + 224 + 448 + 896 = 1638.

Действия, выполняемые в левой колонке, равносильны представлению большего из множителей в двоичной системе счисления:

117 = 1·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1110 101 _{(в двоичной системе)}

Это выражение определяет результат. Египтяне, жившие 4 тысячи лет назад, при умножении, по-видимому, неосознанно переводили числа в другую систему счисления. Их метод оказался успешным потому, что из левого столбца всегда можно выбрать числа таким образом, что их сумма будет равна требуемому числу. Иными словами, натуральное число всегда можно выразить в двоичной системе счисления.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих, почему это так:

12 = 22·3 = 22·(2 + 1) = 23 + 22.

15 = 3·5 = (2 + 1)·(22 + 1) = 23·22 + 2 + 1.

Первые натуральные числа также обладают этим свойством:

1 = 20, 2 = 21, 3 = 21 + 20, 4 = 22, 5 = 22 + 1, 6 = 22 + 21, 7 = 22 + 21 + 20…

Если п — натуральное число, обладающее этим свойством, то следующее за ним число, n + 1, также будет обладать этим свойством. В самом деле, если n четное, то ни одно из составляющих его слагаемых не будет равно 20 = 1. Следовательно, именно эту степень двойки нужно будет добавить к n, чтобы получить следующее число, n + 1. Таким образом, n + 1 будет суммой степеней двойки. Если же n нечетное, то его разложение на сумму степеней двойки будет оканчиваться 20. Чтобы получить из n следующее число, n + 1, к нему нужно будет добавить единицу, то есть 20. Но в разложении этого числа уже есть одна единица, поэтому получим 20 + 20 = 1 + 1 = 2 = 21. Если слагаемое 21 уже фигурировало в разложении, мы получим новое слагаемое, равное 22 и так далее. Результат в любом случае будет представлять собой сумму степеней двойки.

Запишем первые 10 натуральных чисел в виде сумм степеней двойки, чтобы вы могли увидеть закономерность, которой они подчиняются.

Древние египтяне выполняли деление по схожему алгоритму, но в обратном порядке, то есть с помощью умножения. К примеру, при делении 92 на 9 они определяли число, на которое нужно умножить 9, чтобы получить 92. Сначала необходимо составить таблицу чисел. В левом столбце запишем последовательность степеней двойки, в правом столбце будем раз за разом удваивать 9, пока оно не превысит 92.