Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй — восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий — девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.

Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия». Мы также никогда не узнаем, был ли этот узор эмблемой или символом чего-то или кого-то, имел ли он какое-то практическое значение или попросту его автор таким образом утолял тягу к прекрасному. Однако действия древнего «живописца» говорят, что он (или она) сознательно или бессознательно руководствовался перечисленными математическими понятиями. Ему помешали ограничения, накладываемые реальностью, и отсутствие подходящих технологий, но, как бы то ни было, этот узор — свидетельство существования математической мысли еще в доисторические времена.

К намного более позднему периоду относится кость бабуина с зарубками, найденная в 1960 году на стоянке Ишанго в тогдашнем Бельгийском Конго (ныне Демократическая Республика Конго). Ее возраст оценивается примерно в 20 тысяч лет. Изначально считалось, что кость использовалась для счета, так как на ней в несколько рядов сделаны зарубки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Кость Ишанго в двух ракурсах (Брюссельский музей естественных наук).

На кость в три ряда нанесены зарубки, сгруппированные следующим образом.

Столбец А: 11 + 13 + 17 + 19 = 60.

Столбец В: 3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7 = 48.

Столбец С: 11 + 21 + 19 + 9 = 60.

В столбце А записаны простые числа от 10 до 20. Сумма чисел в ряду равна 60 — это число имело очень большое значение, так как выступало основанием системы счисления в культурах Месопотамии, на землях между реками Тигр и Евфрат, 15 тысяч лет спустя. 60 — очень удобное число, так как оно имеет 12 делителей, среди них — шесть первых натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. В столбце В записаны числа и кратные им (3 и 6, 4 и 8, 5 и 10). К этим числам приписано 7, чтобы общая сумма была равной еще одному числу, кратному 12, а именно 48. В столбце С записана последовательность нечетных (но не простых) чисел, которые в сумме также дают 60.

Случайно ли суммы чисел в трех столбцах равны 60, 48 и 60? Значит ли это, что тем, кто сделал зарубки, уже были известны понятия кратности и делимости, которые проявляются в парах чисел 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10? Означает ли это, что авторы резьбы имели представление о неделимых, или простых, числах, в частности 3, 5, 7, 11, 13 и 19? Ответить на эти вопросы непросто, особенно если учесть, что зарубки имеют разную длину, а некоторые из них прерываются. Что означает прерывистая линия — одну единицу или две? А может, у того, кто сделал зарубки, просто дрогнула рука?

Наиболее вероятный математический феномен, который можно отметить при изучении зарубок на кости Ишанго, заключается в установлении соответствия «один к одному» между зарубками и какими-то другими объектами. Такое соответствие составляет основу счета.

Именно в этом заключается важнейшее отличие этих зарубок от петроглифа из южноафриканской пещеры Бломбос. Зарубки на кости Ишанго, по всей видимости, подчиняются не геометрической, а числовой закономерности. Петроглиф из пещеры Бломбос, напротив, описывается не числами, а законами геометрии.

Намного позже, чем южноафриканский петроглиф и конголезская кость с зарубками, на Европейском континенте было создано сооружение, в котором сочетаются числа и геометрия. Речь идет о мегалите Стоунхендж в долине Солсбери в Соединенном Королевстве. Стоунхендж имеет круговую структуру и состоит из четырех концентрических окружностей, образованных менгирами высотой в несколько метров, а сочетание дольменов и менгиров образует более сложную общую структуру.

Концентрические окружности Стоунхенджа (Соединенное Королевство).

Внешняя окружность мегалита диаметром 30 метров образована огромными камнями в форме прямых призм, которые сверху изначально были покрыты перекладинами. Внутри этой окружности расположена еще одна, состоящая из блоков меньшего размера, которые, в свою очередь, заключают в себе фигуру в форме подковы. Внутри этой подковы находится плита — алтарный камень. Стоунхендж, окруженный круглым рвом диаметром чуть больше 100 метров, был возведен примерно в 2500 году до н. э., хотя древнейшая часть сооружения датирована 3100 годом до н. э.

Цель строительства Стоунхенджа неизвестна. Среди приписываемых ему функций выделим три наиболее вероятных: место отправления культа, захоронение и астрономическая обсерватория. Следует отметить, что в те времена, когда был построен Стоунхендж, в дни летнего солнцестояния лучи солнца прочерчивали главную ось сооружения. На закате того же дня лучи солнца указывали ось так называемого Вудхенджа — памятника, расположенного неподалеку от Стоунхенджа, где были найдены многочисленные кости животных и другие предметы, которые, возможно, использовались во время религиозных или культовых церемоний.

Стоунхендж отличается от приведенных выше примеров тем, что имеет круглую форму. И все же существуют некоторые черты, которые роднят его с описанными выше культурными объектами: структура Стоунхенджа основана на ряде повторений, подчиняющихся общему закону, что придает сооружению особый характер. В петроглифе из пещеры Бломбос повторяются треугольники, на кости Ишанго — равноудаленные зарубки, в Стоунхендже — круги. Повторяющиеся круги Стоунхенджа образуют единую мощную структуру, так как имеют общий центр.

Можно пойти еще дальше и найти соотношение между диаметрами двух концентрических окружностей Стоунхенджа, которые равны примерно 30 и 24 м:

30 м/24 м = 5/4 = 1,25

Однако диаметры этих окружностей вполне можно принять равными 30,4 м и 24,1 м. В этом случае их соотношение будет таким:

Учитывая, что 1,26 — очень точное приближение кубического корня из 2, можно ли сделать вывод, что строителям Стоунхенджа были известны пропорции, а отношение диаметров окружностей действительно равно кубическому корню из 2?

Увы, никаких подтверждений этой гипотезы не существует.

Следует выделить три особенности Стоунхенджа: во-первых, он имеет уникальную геометрическую структуру, которая представляет собой ряд концентрических окружностей, во-вторых, в нем проявляется связь с астрономией, и, в-третьих, он служит примером того, как в сооружениях древней культуры проявляется геометрическая точность.

Еще до появления Стоунхенджа вавилоняне, жившие на землях между реками Тигр и Евфрат в Малой Азии почти за 2 тысячи лет до нашей эры, записывали свои мысли на глиняных табличках. Хотя использованные для этого петроглифы и имеют геометрический характер, их уже можно назвать знаками письменности. Многое из того, что нам известно о народах, населявших Месопотамию, — это не просто гипотезы, а результаты расшифровки древних записей.

В том же регионе примерно за 3 тысячи лет до нашей эры шумеры начали записывать слова с помощью идеограмм. Со временем эти идеограммы усложнялись, и спустя примерно тысячу лет из них образовалась система письма, которую мы сегодня называем клинописью. Клинопись начали использовать другие народы, и на ее основе был создан древний персидский алфавит.

Известно около двух тысяч символов клинописи, однако позднее использовалось не более 600. Далее представлены символы, которыми обозначались первые 39 чисел. По их форме четко видно, что вавилоняне использовали десятичную систему счисления.

Символы вавилонской системы счисления.

Однако вавилонская система счисления не сводилась к простой десятичной. На маленькой табличке YBC 729 изображен квадрат и две его диагонали. Рассмотрев рисунок, мы поймем, что вавилоняне использовали числа не только для счета.

Вавилонская глиняная табличка YBC 729.

Числа, приведенные на иллюстрации, могут обозначать длину отрезка, рядом с которым они записаны. Однако числа 42, 25 и 35, кажется, записаны далеко от стороны и диагонали квадрата. Каким соотношением связаны 30, 1, 24, 51, 10, 42, 25 и 35? Откуда взялись эти величины?

Предположим, что 30 единиц — это длина стороны с квадрата. Вычислим длину его диагонали D:

D = 30·√2 = 42,4264068…

Мы получили одно из чисел на табличке — 42. Однако вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. Переведем полученный результат в нее (необходимые действия можно выполнить на калькуляторе).

30·√2 —> 42°25′ 35,06".

Мы получили 42, 25 и 35. Можно смело предполагать, что тот, кто заказал или изготовил табличку, вычислил длину диагонали квадрата со стороной в 30 единиц и записал результат, найденный с удивительной точностью, в шести десятеричной системе счисления: 42°25′35″.

Осталось понять, откуда взялись числа 1, 24, 51 и 10. Что, если это частное, отношение между диагональю и стороной квадрата? Вычислим это отношение в шестидесятеричной системе счисления:

(D/c) = √2 — > 1°24′ 51,17".

Следовательно, число в шестидесятеричной системе, записанное над диагональю, — это приближенное значение квадратного корня из двух, вычисленное с удивительной точностью. Этот результат подтверждает предположение о том, что вавилоняне обладали знаниями геометрии и умели вычислять длину диагонали квадрата.

Как именно были получены указанные результаты, из таблички неясно. Из другой таблички под названием Плимптон 322 видно, что вавилонянам были знакомы пифагоровы тройки, и они умели вычислять пропорции между ними, то есть стороны прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. Однако это вовсе не означает, что им была известна теорема Пифагора, не говоря уже о ее доказательстве. Как же тогда были получены приведенные выше результаты? Быть может, древние применяли итеративный метод, в котором последовательность приближений сходится к столь точному значению квадратного корня из 2?

Вавилонская система счисления имела один важный недостаток — в ней не было символа, обозначавшего ноль. Как отличить 106 от 16 без ноля? Изначально ноль обозначался пробелом, однако это не решало всех сложностей. Как отличить три пробела в записи числа 10 006 от двух пробелов в записи 1006? Вавилоняне решили эту проблему, дополнив запись числа разделительными символами, однако в результате арифметические действия намного усложнились.

Пирамиды и папирусы

За полторы тысячи лет до Стоунхенджа и почти за тысячу лет до глиняных клинописных табличек были воздвигнуты египетские пирамиды.

Расположение пирамид Гизы (Египет).

Возможно, что мы никогда не узнаем, как именно были построены эти сооружения, но сама их форма, расположение и размеры наводят на мысль, что в проекте не обошлось без математики. Пирамиды представляли собой усыпальницы фараонов, обладавших полной и безграничной властью над своими подданными.

Древнейшую из пирамид, ступенчатую пирамиду Джосера в Саккаре, спроектировал Имхотеп около 2700 года до н. э. Спустя примерно 500 лет в долине Гизы близ Каира были воздвигнуты три великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина. Характеристики пирамиды Хеопса таковы.

Форма: пирамида с квадратным основанием,

Грани: равнобедренные треугольники.

Высота: 147 м.

Длина стороны основания: 230 м

Угол наклона граней: 52°

Угол наклона ребер: 42°

Направление сторон основания: север — юг.

Зная длину стороны основания и высоту пирамиды, нетрудно вычислить углы наклона ее граней и ребер. Однако при этом мы воспользуемся методами тригонометрии, неизвестными древним египтянам. Как же им удалось придать пирамиде желаемую форму и размеры?

Для ответа на вопрос решим три математические задачи.

1. Как были изготовлены каменные блоки в форме прямых призм?

2. Как на земле отмечались прямые углы квадратного основания пирамиды?

3. Как были возведены треугольные грани под углом в 52°?

Чтобы изготовить из каменного блока неправильной формы прямоугольную призму, мастера сначала отмечали на нем прямую линию. Для этого они могли натянуть смоченную краской веревку подобно тетиве лука. Веревка указывала на неровной поверхности направление распила. Проверить направление можно было по деревянной рейке и визирной линии. Далее мастер выполнял эти же действия с другого края блока так, чтобы отмеченные линии были параллельны. Параллельность определялась на глаз. Этих линий было достаточно для того, чтобы сформировать первую плоскую сторону блока. Даже сегодня некоторые строители считают, что по визиру линии определяются точнее, чем с помощью натянутой веревки.

При помощи угольника аналогичные построения можно провести для следующей грани и так далее. Как видите, изготовить прямоугольный блок непросто, а потери материала у неопытного мастера могут достигать половины объема исходного блока.

Теперь, возможно, вы задумались, как мастера изготавливали угольники и обеспечивали перпендикулярность сторон? Этот вопрос приводит нас ко второй задаче — задаче о построении прямого угла на земле. Как египтяне 4 тысячи лет назад строили прямые углы?

Треугольник со сторонами длиной 3, 4 и 3 м называется египетским. Предполагается, что он использовался для построения прямых углов еще во времена фараонов и до сих пор по-прежнему применяется в разных странах мира, в частности в Испании, Аргентине и Швеции, пусть и в пропорционально уменьшенном виде (со сторонами 30, 40 и 50 см). Возможно, именно так египтяне размечали прямые углы основания великой пирамиды.

Еще один возможный метод построения — метод Евклида. Этот математик жил намного позже, спустя примерно 2 тысячи лет после того, как были построены великие пирамиды, но описанный им метод построения перпендикуляра к отрезку, возможно, был известен задолго до того, как Евклид привел его доказательство.

Это же можно предположить и о знаменитой теореме, носящей его имя. Египтяне 4 тысячи лет назад, возможно, действовали следующим образом. Вершина прямого угла в основании пирамиды помещалась в точке Р. Затем строилась прямая r, проходившая через Р в том же направлении, что и будущая сторона пирамиды. Далее на прямой r обозначались две точки Q и Q', равноудаленные от Р (эти точки можно отметить с помощью веревки). Наконец, при помощи той же веревки той же мерой PQ = PQ' (хотя могла использоваться и любая другая) строились две дуги окружности. Точка пересечения этих дуг располагалась на перпендикуляре к прямой, как показано на рисунке.

Питер Ходже и некоторые другие специалисты по строительству, изучавшие методы древних египтян, считают более вероятным иной способ. Одно из приводимых ими объяснений заключается в том, что в Древнем Египте прямой угол имел первостепенное значение и вряд ли связывался с окружностями. Вспомним, к примеру, что египетские фрески нарисованы поверх прямоугольных сеток, а многие здания, в том числе построенные значительно позже, также имеют форму прямоугольников.

Возможно, прямые углы строились следующим образом. Сначала, как и в предыдущем случае, через точку Р — будущую вершину квадрата — проводилась прямая r, на которой отмечались точки Q и Q', равноудаленные от Р. Затем на веревке s, одним концом привязанной к Р, отмечалась точка R. Когда расстояние RQ становилось равным RQ' веревка s располагалась перпендикулярно прямой r.

Иными словами, угол α становился прямым.

Этот метод основан на построении равнобедренного треугольника, в котором отрезок PR является высотой.

И наконец, как египтяне возвели грани пирамид под углом в 52 °? Смысл этого вопроса, сформулированного в терминах современной математики, состоит в следующем: как египтяне обеспечили нужный наклон граней пирамиды? Специалисты предполагают, что наклон определялся скорее как отношение между высотой и основанием пирамиды, а не как угол. Учитывая, что тангенс угла определяется именно как отношение высоты пирамиды к половине ее основания, получим

Значит ли это, что строители великой пирамиды стремились обеспечить именно такой угол наклона граней? Быть может, за основу был взят угол наклона ребер, равный 42°?

Но почему выбраны именно такие углы? Может быть, они как-то связаны с египетскими традиционными мерами длины и равнялись какому-то круглому числу пальцев, ладоней или локтей? Ответить на эти вопросы сложно, ведь соотношение этих мер и современных мер длины в разных источниках отличается. К примеру, египетский царский локоть, который использовался при строительстве пирамиды Хеопса, по всей видимости, был равен 52,4 см. В последующие тысячелетия локоть составлял от 31,6 до 51 см. Если считать, что царский локоть действительно имел указанную длину, то высота великой пирамиды составит 280 локтей, а длина стороны основания — 440 локтей. Соотношение между этими величинами равно 7/11.

Почему выбрано именно такое соотношение — также загадка. Мы можем однозначно утверждать лишь то, что в Древнем Египте эпохи пирамид существовали точные математические методы построения прямых, параллельных и перпендикулярных линий, и только благодаря им удалось построить эти впечатляющие монументы. К счастью, до наших дней дошли папирусы, из которых мы знаем, как египтяне решали математические задачи.