Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

Кость Ишанго в виде диаграммы, показывающей распределение насечек по трем столбцам. Кость, вероятно, использовалась для выполнения математических расчетов.

Напомним, что понятие простого числа требует абстрактного мышления, выходящего за рамки простого счета.

Вопрос о существовании математических истин независимо от человека имеет третий компромиссный ответ, который допускает возможность того, что действительно существуют математические идеи, которые могут быть открыты, но они являются «психическими понятиями», предопределенными нашим генетическим наследием. Если это так, некоторые примитивные формы этих понятий должны существовать в природе. Например, существует несколько видов животных, которые совершенно точно могут считать. Одиночные осы могут подсчитывать количество живых гусениц, которых они оставляют рядом со своими яйцами в качестве пищи для вылупившихся личинок: это всегда в точности 5, 12 или 24. У ос рода Eumenes мы встречаем еще более удивительные примеры. Оса знает, какая особь вылупится из отложенного яйца: мужская или женская. Неясно, как ей удается установить пол будущего потомства, так как норки, в которых она откладывает яйца, совершенно одинаковы. Но самое удивительное, что оса оставляет пять гусениц рядом с яйцом мужской особи и десять — рядом с яйцом женской особи. Причина такого различия в том, что женские особи вырастают до гораздо больших размеров, чем мужские.

Для иллюстрации существования в природе более сложных понятий, таких как простые числа, можно привести любопытный пример некоторых видов так называемых периодических цикад, а именно Magicicada septendecim и Magicicada tredecim.

Названия видов septendecim и tredecim означают соответственно 17- и 13-летний жизненные циклы насекомых. Оба числа являются простыми, и зоологи разработали различные теории для объяснения выбора простого числа для жизненного цикла этих насекомых.

Возьмем, к примеру, вид Magicicada septendecim. Личинка цикады живет под землей и питается соками корней деревьев. Она проводит 17 лет в таком состоянии, а затем выходит на поверхность, чтобы превратиться во взрослое насекомое. Эта стадия длится всего несколько дней, во время которых цикада размножается и после этого умирает. Теория, объясняющая такой жизненный цикл цикады, выглядит следующим образом: взрослое насекомое защищается от паразита с жизненным циклом два года.

Если бы жизненный цикл цикады был кратен 2, оба вида встречались бы каждые 2, 4, 8 лет и так далее. Однако если жизненный цикл цикады является достаточно большим простым числом, например, 17, паразит и цикада могут встретиться раз в 34 года, так как 34 — первое число, кратное 17 и 2. Если бы, к примеру, жизненный цикл паразита составлял 16 лет, они бы могли встретиться раз в 16 х 17 = 272 года.

Вполне вероятно, что со временем при исследовании поведения животных найдутся еще примеры видов, которые обладают умением считать. Нас не должна смущать простота приведенных примеров, ибо факт остается фактом: несмотря на то что математические понятия, такие как простые числа, являются творением человека, исследователи в разных областях науки могут привести примеры существования этих понятий в природе независимо от нас.

Самки некоторых одиночных ос откладывают яйца в норках, где также складывают несколько парализованных гусениц, которые будут служить пищей для личинок осы после того, как те вылупятся. Самое удивительное, что эти осы знают, из каких яиц вылупятся мужские особи, а из каких женские, и оставляют для них определенное количество гусениц.

Решето Эратосфена

Поиск простых чисел всегда был сложной задачей. Один из первых известных методов приписывают Эратосфену из Кирены (273–194 до н. э.), древнегреческому математику, астроному и географу, который также заведовал Александрийской библиотекой. Метод получил название решета Эратосфена. Давайте посмотрим, как с помощью этого метода можно найти простые числа в первой сотне натуральных чисел.

Во-первых, составим таблицу со всеми натуральными числами от 1 до 100. Затем вычеркнем все числа, кратные двум: 4, 6, 8, 10 потом вычеркнем все числа, кратные трем: 6 (уже вычеркнули), 9, 12, 15. Затем проделаем то же самое для чисел, кратных пяти и семи.

Остались только простые числа.

Обратите внимание, что «просеивание» закончилось на числе 10, квадратном корне из 100. В общем случае, чтобы найти все простые числа, меньшие, чем заданное число N, нужно «просеять» все числа, которые меньше или равны квадратному корню из N. Это и дает метод нахождения простых чисел, который используется и сегодня, спустя более чем 2000 лет после изобретения, для поиска «малых простых чисел»: так называются простые числа, которые меньше 10 млрд.

* * *

РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ

Имя Эратосфена связано с методом нахождения простых чисел. Однако этот метод вовсе не является его самым важным достижением. На самом деле Эратосфен вошел в историю науки как первый человек, вычисливший размер Земли. Используя методы, доступные в III в. до н. э., он смог посчитать длину полярной окружности с погрешностью менее одного процента.

Карта мира, каким он был известен Эратосфену. Греческий ученый был первым, кто разделил изображение мира на равные части, проведя параллели, хотя его меридианы были расположены неравномерно.

* * *

Сколько существует простых чисел?

Если мы хотим изучать природу простых чисел, чтобы найти соотношения, связывающее их, или правила, позволяющие предсказать, когда появится следующее простое число, то в первую очередь нам необходимо иметь довольно большой набор простых чисел. В приведенном ниже списке, полученном с помощью решета Эратосфена, можно видеть простые числа из первой тысячи натуральных чисел.

С первого взгляда видно, что простые числа совершенно непредсказуемы. Например, между 1 и 100 простых чисел больше, чем между 101 и 200. Всего в первой тысяче 168 простых чисел. Можно предположить, что если продолжить нашу таблицу, то с каждой тысячей количество простых чисел будет увеличиваться. Но это не так. Уже известно, что, например, среди тысячи чисел между 10100 и 10100 + 1000 находится лишь два простых числа. И эти числа состоят более чем из ста цифр!

Казалось бы, чтобы найти закономерность, надо составить таблицу, которая содержит все простые числа. Все? А что, если их очень много? Хотя, имея в распоряжении современные методы, можно проделать с числами всевозможные тесты, позволяющие найти закономерности. Ведь понятно, что в случае конечных множеств, даже очень больших, закономерность может быть найдена или, по крайней мере, можно придумать правило, которое для данного множества будет работать. Однако ситуация радикально меняется, если мы имеем дело с бесконечными множествами, поэтому мы должны сначала выяснить, является ли множество простых чисел бесконечным. Эта задача также была решена Евклидом. Его метод так остроумен, элегантен и прост, что стоит рассмотреть его подробнее.

Возьмем ряд последовательных простых чисел, например: 2, 3, 5.

Затем перемножим их:

2 х 3 х 5 = 30.

Теперь добавим к результату единицу:

2 х 3 х 5 + 1 = 30 + 1 = 31.

Ясно, что если разделить 31 на любое простое число из этого ряда — 2, 3, 5, — то в остатке получится 1:

31/2 = 15 + 1

31/3 = 10 + 1

31/5 = 6 + 1.

Это означает, что число 31 не делится на наши числа. Это справедливо и в общем случае: если взять ряд последовательных простых чисел, перемножить их и добавить единицу, то полученное число не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел. Этот простой факт и лежит в основе доказательства Евклида.

Число 31 тоже простое число, но его нет в первоначальном списке, который, следовательно, является неполным. Возьмем следующий ряд чисел в качестве примера:

{2, 3, 5, 7, 11, 13}.

Перемножим их и добавим единицу:

2 х 3 х 5 х 7 х 11 х 13 + 1 = 30 030 + 1 = 30 031.

Результат не является простым числом, так как может быть разложен в произведение двух других чисел:

30 031 = 59 х 509.

Евклид уже доказал, что любое натуральное число может быть единственным образом разложено в произведение простых множителей. В случае с числом 30 031, которое является составным числом, ясно, что для его разложения в произведение простых множителей чисел в списке {2, 3, 5, 7, 11, 13} будет недостаточно, то есть этот список неполон.

Мы пришли к следующему выводу: каким бы ни был первоначальный ряд простых чисел, при их перемножении и добавлении единицы получается новое число одного из двух типов:

1) простое число, которого нет в списке;

2) составное число, при разложении которого на простые множители получаются простые числа, не входящие в список.

Таким образом, первоначальный ряд простых чисел всегда является неполным, если он не является бесконечно длинным.

К сожалению, этот метод не позволяет найти все простые числа, хотя он является важной отправной точкой, так как указывает на масштаб проблемы и позволяет разрабатывать различные стратегии для ее решения. Можно было бы подумать, что не так уж важно доказывать, что множество простых чисел бесконечно, ибо это подсказывает нам интуиция. Однако с простыми числами нужно быть очень осторожными, ведь они настолько «редко» встречаются, как будто могут закончиться в любой момент. Тем не менее, теорема Евклида убедительно доказывает, что этого не произойдет.

Глава 2

Простые числа: ускользающие правила

Как мы уже говорили, простые числа представляют из себя одну из важных тем, которые возвращают нас к самым истокам математики, а затем по пути возрастающей сложности приводят на передний край современной науки. Таким образом, было бы очень полезно проследить увлекательную и сложную историю теории простых чисел: как именно она развивалась, как именно были собраны факты и истины, которые в настоящее время считаются общепринятыми. В этой главе мы увидим, как целые поколения математиков тщательно изучали натуральные числа в поисках правила, предсказывающего появление простых чисел, — правила, которое в процессе поиска становилось все более и более ускользающим. Мы также подробно рассмотрим исторический контекст: в каких условиях математики работали и в какой степени в их работе применялись мистические и полурелигиозные практики, которые совсем не похожи на научные методы, используемые в наше время. Тем не менее медленно и с трудом, но была подготовлена почва для новых воззрений, вдохновлявших Ферма и Эйлера в XVII и XVIII вв. Эти теории мы подробно рассмотрим в следующей главе.

Гении по наследству

Как и в истории математики в целом, с великими открытиями в теории простых чисел связаны имена нескольких человек. Но эти математики не смогли бы достичь таких результатов без богатого наследия, оставленного предшествующими учеными: гении не появляются из ниоткуда. Поэтому мы не должны игнорировать ту систему воззрений, на которой это наследие было построено, а также культурные традиции, которые помогли добиться таких научных результатов.

В 1930 гг. специализированные книжные магазины начали продавать учебники математики ранее неизвестного автора Николя Бурбаки. Эти книги сразу завоевали определенный успех в математическом сообществе. Среди прочего они содержали первое хорошее изложение теории математического анализа.

Однако их цель заключалась не только в обеспечении рынка новыми учебниками, но и в объединении отдельных областей математики, например, алгебры и анализа, где царил хаос из-за огромного количества новых результатов, полученных за последние годы. Но многие были удивлены, узнав, что математика Николя Бурбаки никогда не существовало и что этот псевдоним выбрала для себя небольшая группа математиков, в числе которых были Анри Картан (1904–2008) и Андре Вейль (1906–1998), решившие из благих побуждений реконструировать математику.

Труды группы Бурбаки хорошо документированы, потому что этот математический коллектив существовал совсем недавно. Но то же самое нельзя сказать о других школах древности, таких как школы Пифагора и Евклида: их работы сегодня приписываются одному человеку. Правда, многие полагают столь же вероятным, что эти труды были результатом сотрудничества нескольких человек.

* * *

ГЕНЕРАЛ-МАТЕМАТИК

Откуда взялся псевдоним «Бурбаки»? По версии одного из самых выдающихся членов группы, Андре Вейля, в его студенческие годы произошел такой забавный случай. Как-то раз Картан и Вейль посетили лекцию, которую читал странного вида математик с непроизносимым скандинавским именем и с неопределенным акцентом. Он рассказал об удивительной и невероятной теореме Бурбаки, автором которой был французский генерал Шарль Дени Бурбаки (1816–1897), знаменитый герой франко-прусской войны. Лекция оказалась шуткой другого студента, Рауля Хасона, но Картана и Вейля вдохновило имя генерала: греческое происхождение имени делало его идеальным псевдонимом, под которым можно было опубликовать «евклидову реконструкцию» математики. Так Бурбаки и стал великим математиком.

Генерал Дени Бурбаки, вдохновлявший патриотов и математиков.

* * *

Информационные центры

Замечательный факт состоит в том, что достижения в области научного знания, как в целом, так и в математике, никогда не зависят лишь от одного человека. Это правда, что некоторые люди совершают великие открытия, но они сами являются продуктом математического сообщества. Для нового открытия также необходимо, чтобы существовали журналы, читались лекции, проводились конференции, на которых может быть получена новая информация и установлены связи между учеными. В настоящее время, конечно, обмен информацией достиг беспрецедентного пика эффективности. Благодаря общению через интернет научное открытие оказывается в пределах досягаемости каждого, кто только пожелает получить к нему доступ. Однако потребность в сохранении информации (чтобы ею могли воспользоваться другие) существовала во все времена: это одна из культурных связей, объединяющих общество. В этом смысле простые числа являются необычным предметом исследования. Еще на заре истории они привлекали внимание исследователей и продолжают это делать до сих пор. Проследив историю этих исследований, мы не только получим информацию об их математической природе, но и сможем развивать такие точки соприкосновения, которые с использованием современной терминологии можно было бы назвать «информационными центрами». Александрийская библиотека является классическим примером одного из них.

Александрия

Птолемей I, известный также как Сотер («Спаситель»), был первым правителем Александрии. Привлекая лучших архитекторов мира, город превратился в архитектурное чудо. Длинная дамба соединила город с островом Фарос, на котором был построен маяк, указывающий путь средиземноморским морякам в течение тысяч лет. Затем была создана библиотека, слава которой сохраняется на протяжении всей истории человечества. Маяк и библиотека сделали Александрию одним из самых важных информационных центров древнего мира; этой цели Птолемей хотел добиться любой ценой. Его первым шагом было возвращение из ссылки тирана Деметрия, которого Кассандр, один из трех наследников Александра Великого, назначил правителем Афин. Именно Деметрий поддерживал работу лицея, основанного Аристотелем. Несмотря на политическую деятельность, истинным призванием Деметрия была наука, и поэтому он был рад получить приглашение Птолемея основать библиотеку в Александрии, в которой были бы собраны и систематизированы все знания цивилизованного мира.

Гавань Александрии состояла из небольших островов, защищенных дамбами, с единственным выходом к морю через большой канал, по которому могли входить и выходить корабли. Это надежно защищало гавань от атак с моря. Одним из самых важных районов был Брухеион, расположенный прямо в центре города, где находились наиболее важные общественные здания, в том числе музей, посвященный музам музыки и науки, то есть мелодиям, ритмам и цифрам. Когда Деметрий узнал, что этот центр знаний находится под покровительством одного из самых могущественных правителей в мире, он, не колеблясь, согласился стать его директором.

Первым делом он попросил у Афин рукописи наиболее выдающихся мыслителей и писателей Древней Эллады. Он приказал скопировать рукописи, вернул Афинам копии и оставил на хранение оригиналы вместе с текстами, которые Птолемей захватил в качестве трофеев во время военных кампаний.

Такой метод пополнения библиотеки оказался весьма эффективным, хотя и довольно неортодоксальным: все оригинальные документы, с которыми суда входили в гавань Александрии, реквизировались, копировались, оригиналы помещались в библиотеку, а копии возвращались владельцам. Именно так возникла так называемая «корабельная библиотека». Но вскоре богатые купцы Средиземноморья узнали об этой хитрости и отказались привозить рукописи. Тогда Деметрий сделал торговцам такое предложение: если они хотят торговать на рынках в порту Александрии, они должны привозить из своих городов рукописи в качестве пропуска в порт Александрии. Не имело значения, какие вопросы рассматривались в этих документах: техника, философия, искусство, математика или музыка, лишь бы они способствовали накоплению знаний. Идея заключалась в том, что с текстов будут сняты копии: оригиналы останутся в библиотеке, а копии будут возвращены торговцам. Эти копии возвращались владельцам в оригинальных переплетах, так что большинство торговцев даже не замечали разницы, а если и замечали, многих из них это не слишком беспокоило. Известно, что в то время Александрия содержала крупнейший в мире штат переписчиков книг.

Но Александрия была не только центром хранения информации: город стал местом, где информация обрабатывалась. Александрия быстро привлекла многих специалистов по всем дисциплинам, которые давали лекции и делились знаниями с другими учеными. Для этих целей строились учебные комнаты, жилье, галереи и парки.

Логично предположить, что появились научные школы, в том числе школа Евклида, которая, как и группа Бурбаки два тысячелетия спустя, собирала математические знания того времени и превратилась в учение, или, другими словами, в систему математических понятий и методов, достижения которой актуальны и сегодня.

Заметим, что две тысячи лет спустя в современной средней школе преподается та же геометрия, которая родилась в классных комнатах и садах древней Александрии.

Александрия была самым важным информационным центром древнего мира. На рисунке сверху: гравюра, изображающая ученых во время работы в знаменитой библиотеке. Внизу: римские монеты с изображением маяка на острове Фарос, еще одного чуда Александрии.

Большие пробелы

Одной из первых особенностей простых чисел, которая привлекла внимание древних математиков, было отсутствие правила, с помощью которого можно было бы предсказать их появление в последовательности натуральных чисел. Более того, даже их непоявление так же непредсказуемо. Они могут располагаться достаточно близко друг к другу или, наоборот, очень далеко друг от друга. Например, если взглянуть на простые числа из первой сотни натуральных чисел: