Помоги проекту - поделись книгой:
В мае 1923 года Гейзенберг вернулся в Мюнхен, чтобы закончить обучение и подготовить докторскую диссертацию. До этого он не уделял должного внимания курсу экспериментальной физики, который вел Вильгельм Вин. Вольфганг Паули в свое время посещал курсы Вина и Зоммерфельда одновременно: одному были посвящены четыре часа в неделю, другому – восемь. Однако Гейзенберг не проявил особого энтузиазма к экспериментальной физике и выбрал более короткую программу.
Основной интерес в курсе Зоммерфельда для него представляли дифференциальные уравнения в частных производных, которые требовались для работы над диссертацией. По просьбе службы водоснабжения Мюнхена Зоммерфельд исследовал движение воды в канализации. Диссертация Гейзенберга была посвящена теоретическому исследованию перехода от ламинарного потока к турбулентному – когда в потоке возникают завихрения. В 1880 году английский ученый Осборн Рейнольдс эмпирически обнаружил, что этот переход определяется сочетанием вязкости жидкости, скорости потока и его геометрическими характеристиками. При превышении этими величинами определенного значения возникает турбулентность. Гейзенбергу удалось подтвердить результаты Рейнольдса с помощью различных хитроумных приближений и упрощений.
Для получения докторской степени нужно было успешно сдать два экзамена. На первом испытании требовалось представить результаты исследовательской работы и ответить на вопросы экзаменаторов. С этим Гейзенберг справился без труда. Зоммерфельд подготовил необходимую характеристику, в частности он писал: «Гейзенберг вновь доказал свои выдающиеся способности: полное владение математическим аппаратом и четкое видение физики» и «Я не предложил бы столь сложную тему никому другому из моих учеников».
Второй экзамен, который назывался rigorosum, проходил в устной форме и заключался в оценке общих знаний кандидата. До экзамена Вильгельм Вин попросил Гейзенберга провести эксперимент в его лаборатории: требовалось измерить сверхтонкую структуру в эффекте Зеемана для ртути с помощью интерферометра Фабри – Перо. Как следует из названия, сверхтонкая структура описывает разделение линий спектра на гораздо меньших расстояниях, чем тонкая структура. Позднее было показано, что она определяется магнитным взаимодействием электронов. Вин остался недоволен студентом: Гейзенберг проделал работу небрежно и не вник в суть эксперимента. Так, он даже не подумал сфотографировать линии спектра, чтобы произвести более точные измерения. В результате на экзамене, который состоялся в конце июля 1923 года, Гейзенберг получил высший балл по теоретической физике и математике, на балл ниже – по астрономии и неудовлетворительную оценку по экспериментальной физике. Он не смог ответить на вопросы Вина о разрешающей способности интерферометра Фабри – Перо, телескопа или микроскопа (все эти вопросы Вин освещал в своем курсе). Также Гейзенберг не смог объяснить принцип действия аккумулятора. После долгой горячей дискуссии экзаменаторы решили поставить Вернеру минимальный проходной балл.
Эта оценка стала унизительной для юноши, и в ту же ночь, вместо того чтобы отпраздновать получение докторской степени с Зоммерфельдом и другими студентами, Гейзенберг сел на поезд и поехал в Гёттинген. Ему не терпелось узнать, не помешает ли низкий балл стать ассистентом Борна. Однако Борн, расспросив Вернера об экзамене, сказал, что не видит оснований менять планы, и обрадованный Гейзенберг отправился со своей скаутской группой на каникулы в Финляндию. В октябре 1923 года он вернулся в Гёттинген, где занял место помощника Борна и приступил к исследованиям, необходимым для хабилитации.
Глава 3 Квантовая неопределенность
Проблемы, связанные с атомной физикой и квантовой теорией, неожиданно нашли решение в период с 1925 по 1927 год.
Юный Гейзенберг сделал первый шаг к созданию квантовой механики – долгожданной теории, которая позволила бы понять явления, происходящие на атомном уровне. Он открыл знаменитые соотношения, описывающие квантовую неопределенность, и это стало самым известным его достижением в области физики. Одновременно с появлением квантовой механики возникли философские проблемы, связанные с интерпретацией ее законов.
Приезд Гейзенберга в Гёттинген совпал по времени с гиперинфляцией в Германии. К примеру, с января по ноябрь 1923 года курс американского доллара изменился с 17792 марок за доллар до астрономической цифры в 4,2 млрд марок за доллар. Зарплаты выплачивались каждые два дня, и люди без промедления покупали еду или любые товары, которые позднее можно было обменять на продукты. В этой ситуации основную роль в сохранении немецкой науки сыграла Чрезвычайная ассоциация немецкой науки. К примеру, Комиссии по электрофизике удалось получить пожертвования от американской компании General Electric не только на реализацию технических проектов и проведение экспериментов, связанных с электричеством, но и на исследования по атомной физике и квантовой теории. В заявлении Чрезвычайной ассоциации от 1926 года говорилось:
Таким образом, можно сказать, что руководство компании General Electric, не осознавая того, профинансировало создание квантовой механики.
В этой главе мы расскажем об интерпретациях квантовой механики, появившихся в период с 1923 по 1927 год, когда Гейзенберг работал то в Гёттингене с Максом Борном, то в Копенгагене с Нильсом Бором. В эти годы он также иногда приезжал в Мюнхен к родителям, а отпуски проводил в путешествиях по Европе с группой скаутов.
В сентябре 1923 года Гейзенберг прибыл в Гёттинген и стал ассистентом Борна, чтобы получить хабилитацию. Финансирование, выделяемое Чрезвычайной ассоциацией, не покрывало всех расходов, и университетские преподаватели были вынуждены самостоятельно искать средства на выплату зарплат ассистентам и стипендий докторантам. Борн пользовался поддержкой немецкого промышленника Карла Штилля и американского банкира Генри Голдмана (основателя банка Goldman Sachs).
Профессор продолжал свои исследования, взяв за основу результаты, полученные согласно законам небесной механики. Гейзенберг уже был знаком с этими работами Борна, но с трудом мог оценить их. Напомним, что молодой исследователь создал модель каркаса атома, чтобы объяснить удвоение и утроение линий атомного спектра. Когда было обнаружено новое деление линий спектра, проницательный Гейзенберг нашел схему, позволяющую воспроизвести их, применив так называемый принцип Зеемана ad hoc, что, вслед за Ницше, можно было назвать философствованиями с помощью молотка [1 От названия книги Ницше «Падение кумиров, или О том, как можно философствовать с помощью молотка» (также известна как «Сумерки идолов, или Как философствуют молотом»). В этом сборнике коротких эссе критикуется общественное понимание различных философских понятий. – Примеч. ред.]. Физики в то время при изучении линий атомного спектра действовали примерно так же, как зоологи и ботаники, классифицируя биологические виды. В отсутствие согласованной атомной теории данные о спектрах классифицировались на основе полуэмпирических правил со множеством поправок. Так же поступал и Гейзенберг: он связывал непрерывную энергию и дискретные переходы между состояниями с помощью достаточно произвольных правил, которые не соответствовали какой-либо общей схеме. Борн решил пойти от обратного: он взял за основу законы небесной механики, однако сколько-нибудь значимых результатов не получил.
В марте 1924 года Гейзенберг на несколько недель приехал к Нильсу Бору, в копенгагенский Институт теоретической физики.
Бор – первый ученый, который произвел на меня сильное впечатление как человек. Он всегда выступает с положительной критикой […], он намного больше, чем просто физик.
Гейзенберг много времени проводил в библиотеке над книгами по физике, чтобы «повысить общий уровень знаний». В этот период Бор был готов предположить, что на атомном уровне не выполняются даже фундаментальные физические законы, такие как закон причинно-следственной связи или сохранения энергии и импульса. Любопытно, что Бор не сразу принял гипотезу Эйнштейна о квантах света, экспериментально подтвержденную американским ученым Комптоном в 1923 году. Комптон доказал, что взаимодействие между лучом света и электроном объясняется точно так же, как и столкновение двух бильярдных шаров. Несмотря на это, Бор создал свою модель – модель Бора, Крамерса и Слэтера (БКС), в которой фундаментальные физические законы выполнялись лишь для большого числа соударений. Однако модель БКС отвергли в 1925 году, когда экспериментально было доказано, что эти законы выполняются и при отдельных столкновениях фотонов и электронов.
Гейзенберг общался с авторами модели БКС и пытался проникнуться духом физических идей Бора. По возвращении в Гёттинген он занялся написанием работы для хабилитации, посвященной модели Зеемана ad hoc. В июле 1924 года Гейзенберг получил право занять должность преподавателя в любом немецком университете. Ученому было всего 22 года.
Бор настоял на возвращении Гейзенберга в Копенгаген, чтобы получить финансирование от Фонда Рокфеллера на следующий год работы. Так как Борну также требовалось присутствие Гейзенберга в Гёттингене в течение второго семестра, пребывание ученого в Копенгагене разделилось на две части. В первой из них Гейзенберг столкнулся с определенными лингвистическими трудностями: он не говорил по-датски и едва знал английский. В доме, где он снял комнату, жил американский химик с похожей проблемой: он не говорил по-датски и едва знал немецкий. К счастью, хозяйка дома, знавшая все три языка, согласилась заниматься со своими жильцами.
В то время Бор был поглощен работой над своим принципом соответствия, в котором связывались квантовые и классические свойства атомов, а Гейзенберг начал сотрудничать с Крамерсом, ближайшим коллегой Бора. Крамере предположил, что атом можно рассматривать как совокупность воображаемых осцилляторов, которые характеризовались частотами, наблюдавшимися при атомных переходах. Он словно хотел описать музыкальный инструмент, например гитару, через множество всех возможных звуков, которые она может издавать, в том числе при изменении длины струн. Подобный подход может показаться нелепым, однако модель воображаемых осцилляторов помогла Гейзенбергу и Крамерсу создать новую модель атома. В январе 1925 года они писали: «В частности, получим, весьма естественным образом, формулы, содержащие только частоты и амплитуды, которые характеризуют атомные переходы, а все параметры, относящиеся к математической теории периодических систем, можно будет исключить». Этой несколько туманной фразой исследователи хотели сказать, что необходимо уйти от интуитивных моделей и уделять внимание только измеримым величинам.
Мне всегда нравился принцип соответствия Бора, так как он обладал той самой гибкостью, позволявшей получить реальные математические схемы.
Гейзенберг покинул Копенгаген, находясь в приподнятом расположении духа: перед ним забрезжили догадки, которые могли стать началом новой теории. Паули, напротив, был настроен крайне пессимистично. Примерно в то же самое время он пишет другу: «Физика […] слишком сложна для меня, и я хотел бы стать киноактером или кем-то еще, чтобы никогда больше о ней не слышать. Теперь я жду, что Бор со своей новой идеей спасет всех нас». Однако Бор не принял участия в этой спасательной операции, и ее главными действующими лицами стали Гейзенберг и Шрёдингер (1887-1961).
В конце апреля 1925 года Гейзенберг вернулся в Гёттинген, готовый продолжить работу над своими туманными идеями. Изначально он хотел изучить атом водорода, но тот оказался слишком сложным для проверки нечетких идей, и Гейзенберг рассмотрел более простые системы, в частности гармонический осциллятор (маятник или груз, подвешенный на пружине).
Если мы немного растянем пружину, возникнет компенсирующая сила, под действием которой груз будет стремиться занять исходное положение. Эта сила пропорциональна расстоянию, отделяющему груз от положения равновесия. Любая система при незначительном отклонении от положения равновесия ведет себя подобно гармоническому осциллятору, именно поэтому они так важны при изучении физики.
Когда Гейзенбергу удалось добиться некоторого прогресса, у него внезапно возникла аллергическая реакция на пыльцу, и в начале июня он отправился на лечение на остров Гельголанд в Северном море, где любую пыльцу сразу же уносили сильные ветра. Несколько недель ученый интенсивно работал над своими идеями. Его беспокоило, что в рассматриваемых условиях мог не выполняться закон сохранения энергии, и чтобы проверить это, потребовалось провести вычисления. Гейзенберг завершил работу около трех часов ночи и понял, что его схема верна. Заснуть от возбуждения он уже не мог, поэтому вышел из дома и стал ждать рассвета, сидя на берегу моря. Уже в июле редакция «Физического журнала» получила рукопись под названием «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений». В ней Гейзенберг хотел заложить основы квантовой механики, опираясь «исключительно на отношения между наблюдаемыми в принципе величинами».
Постараемся описать его рассуждения. Определить траекторию частицы в классическом смысле означает указать координату частицы х в любой момент времени t, что записывается как x(t). Траектория электрона является периодической, и подобное движение можно представить с помощью рядов Фурье. Здесь речь идет о сумме членов вида xn (t). Соответствующие им частоты кратны основной частоте. Если мы проанализируем звук, издаваемый музыкальным инструментом, с помощью ряда Фурье, то целое число п укажет соответствующий обертон, однако, помимо основной частоты, рассматриваемый звук будет включать множество обертонов.
Гейзенберг решил: чтобы описать эквивалентную величину в квантовой механике, одного целого числа будет недостаточно, так как наблюдаемые частоты соответствуют переходу между двумя квантовыми состояниями. Для простоты будем описывать каждое состояние единственным квантовым числом п. Следовательно, эквивалентом классического ряда Фурье будет сумма с двумя индексами – двойная сумма членов вида xmn(t). Иными словами, чтобы определить положение электрона в произвольней момент времени, нужно составить для каждого момента времени таблицу чисел. Количество ее строк и столбцов будет равно количеству состояний атома. Гейзенберг также предположил, что эта новая квантовая величина должна описываться теми же уравнениями, что и ее аналог в классической физике – например, законом Ньютона, согласно которому сила равна произведению массы на ускорение, или любой другой эквивалентной формулировкой. В простых случаях Гейзенбергу удалось получить выражения для расчета амплитуд, соответствующих величинам xmn(t), а также для вычисления энергии стационарных состояний.
Новая модель выглядела непротиворечивой, однако ученый все еще не был в ней уверен – в этой модели предполагалось, что существует некое странное свойство, связанное с произведениями двух величин, x(t) и y(t). Как представить таблицу для произведения чисел через таблицы чисел для каждого множителя? Гейзенберг сделал это так:
Согласно его гипотезе, «в то время как в классической теории x(t)y(t) всегда равно y(t)x(t), это соотношение необязательно выполняется в квантовой теории». Несмотря на всю странность этого вывода, Гейзенберг решил изложить свои идеи, расчеты и результаты письменно. Он передал рукопись Борну и попросил опубликовать ее, если тот будет согласен с написанным. После этого молодой ученый сразу же отправился в далекий путь: его ждали конференции в Голландии и Англии, отпуск в Скандинавии в компании скаутов и продолжение работы в Копенгагене.
Странное правило умножения, описанное Гейзенбергом, сбило Борна с толку. Он обдумывал новую модель несколько дней и наконец понял, что уже видел это правило, когда изучал математику в университете: таблицы Гейзенберга соответствовали матрицам, произведение которых не обладает коммутативностью. После того как Борн убедился в правильности рассуждений Гейзенберга, он отправил рукопись в «Физический журнал», где она была опубликована в сентябре 1925 года.
Вместе с новым ассистентом Паскуалем Йорданом Борн изложил теорию Гейзенберга на языке матриц. В объемной статье исследователи объяснили матричные методы и адаптировали их к квантовой физике. Кроме того, они переопределили переменные и функции классической механики с помощью квантовых матриц и обнаружили матричные аналоги почти для всех уравнений механики. Взяв за основу абстрактные матричные выражения, Борн и Йордан получили формулы расчета энергии стационарных состояний. Все это позволило «ожидать, что на основе новой теории будут сформулированы четкие физические законы». Борн и Йордан обнаружили крайне любопытное соотношение между матрицами, обозначающими положение и импульс частицы. Напомним, что импульс равен произведению массы на скорость, и в классической механике высокого уровня использовать импульс удобнее, чем скорость. Как правило, положение частицы и ее импульс обозначаются буквами q (вместо х, которую мы использовали до этого) и р соответственно. Обозначив соответствующие матрицы заглавными буквами, Борн и Йордан записали найденное ими соотношение следующим образом:
где i = sqrt(-1) – мнимая единица, h = h/2π – редуцированная постоянная Планка, I- единичная матрица. Элементы единичной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, все прочие – нулю. Это соотношение любопытно тем, что в нем присутствует число i. Оно было описано в XIX веке Коши и Гауссом и иногда используется в физике для упрощения некоторых формальных расчетов, однако в этой формуле мнимая единица появилась совершенно неожиданно, и в этом – еще одна особенность квантовой механики.
В сентябре Борн и Йордан отправили копию своей работы Гейзенбергу, который к тому времени уже находился в Копенгагене. Молодой ученый показал работу Бору со словами: «Здесь полно матриц, и я не представляю, что они означают». В результате Гейзенбергу пришлось срочно изучить матричную алгебру. Стремясь сформулировать новую механику, он переписывался с Борном и Йорданом. Результатом совместной работы стала статья под названием «О квантовой механике, часть II», законченная в ноябре 1925 года и подписанная Борном, Гейзенбергом и Йорданом в алфавитном порядке. Это была знаменитая Dreimannerarbeit («работа трех») с изложением основ новой теории на языке математических выкладок. В статье были по-новому сформулированы начальные постулаты квантовой теории: в ней описывалось существование стационарных энергетических состояний атомов и квантовые скачки между состояниями, сопровождающиеся излучением или поглощением света. Авторы называли свою теорию «истинной теорией дискретного». Она позволяла провести все необходимые расчеты для любой системы с периодическим движением и описать свойства атомов с помощью новой матричной механики.
Многие физики отнеслись к матричной механике прохладно; собственно, большинство из них даже не знали, что такое матрица. Эйнштейн писал своему другу Мишелю Бессо:
Матричная теория была слишком абстрактной, и большинство ученых с облегчением приняли более доступную волновую механику, описанную Шрёдингером несколько месяцев спустя.
Напомним, что в 1923 году Луи де Бройль предположил, что электрону свойственен корпускулярно-волновой дуализм, то есть он ведет себя и как частица, и как волна, и разрешить этот дуализм можно с помощью законов оптики. При описании интерференции и дифракции света необходимо использовать волновые уравнения физической оптики. Однако при описании движения света в различных средах достаточно рассмотреть прямолинейные траектории, как если бы речь шла о движении частиц с разной скоростью в зависимости от среды. Задачи этого типа решаются в геометрической оптике. С XIX века было известно, каковы геометрические пределы физической оптики и когда следует рассматривать лучи света вместо волн. Де Бройль предположил, что в этом математическом формализме классической физики можно найти аналогию с квантовым дуализмом. Австрийский физик Эрвин Шрёдингер решил тщательно рассмотреть эту аналогию для квантовых частиц, в частности электрона. В 1926 году он опубликовал шесть статей, в которых описал основы иной формулировки квантовой механики – волновую механику. В ее первом абзаце было сказано:
На языке математики электрон в атоме описывается волновой функцией, обозначаемой греческой буквой (пси). Эта функция является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Шрёдингера.
Возможно ли, что природа столь абсурдна, как нам кажется во время экспериментов по атомной физике?
Этим вопросом часто задавался Гейзенберг после обсуждения квантовой механики с Бором.
Эйнштейн написал Шрёдингеру такие строки: «Я убежден, что вы, предложив свою формулировку квантового состояния, совершили решающий прорыв, равно как я убежден в том, что метод Гейзенберга – Борна ошибочен». Однако Эйнштейн оказался неправ: сам Шрёдингер отмечал, что матричная и волновая механика с математической точки зрения абсолютно эквивалентны, несмотря на различия в предпосылках, идеях и методах. В матричной механике электрон считается частицей. Классические непрерывные переменные в ней заменялись матрицами, зависящими от двух целочисленных индексов, а классические уравнения замещались алгебраическими. Волновая механика – это, напротив, теория непрерывного, в которой электрон рассматривается как волна. Динамическое уравнение – это уравнение в частных производных, содержащее загадочные квантовые условия старой классической квантовой теории. Однако и матричная, и волновая механика приводили к одинаковым результатам. Как подчеркнул Шрёдингер, превосходство одной теории над другой было «по сути, второстепенным вопросом, связанным с удобством вычислений».
Эквивалентность матричной и волновой механики независимо друг от друга доказали два физика: Паули ограничился тем, что сообщил об этом Йордану в письме, а американский физик Карл Эккарт опубликовал свое доказательство в научном журнале. Подобное часто происходило в науке: когда несколько ученых одновременно работают над одной задачей, они могут найти решение независимо друг от друга и даже предложить совершенно разные формулировки основной идеи новой теории. И действительно, за короткий период было создано несколько различных формулировок квантовой механики. К примеру, необычные правила умножения, описанные Гейзенбергом, в которых результат зависит от порядка множителей, привлекли внимание английского физика Поля Дирака, который сразу же увидел в них аналогию со скобками Пуассона – одним из способов записи классических уравнений движения. На основе этой аналогии Дирак разработал собственную квантовую механику. Борн получил копию рукописи Дирака вскоре после того, как Гейзенберг и Йордан завершили строгое описание матричной квантовой механики. «Я прекрасно помню, что это стало одним из величайших сюрпризов во всей моей научной работе». И действительно, многие результаты, полученные в Гёттингене, Дирак вывел совершенно иначе. Спустя некоторое время, в 1926 году, Дирак и Йордан, вновь независимо друг от друга, разработали более общую формулировку, в которой состояния и наблюдаемые величины описывались соответственно с помощью векторов и операторов в рамках гильбертового пространства. Матричная и волновая формулировки представляли собой частные случаи этой абстрактной концептуальной схемы. Позднее, в 1942 году, Ричард Фейнман в своей докторской диссертации представил еще одну формулировку квантовой механики, в которой одновременно рассмотрел все возможные траектории, вдоль которых следует частица при перемещении из одной точки в другую. Как видите, фундаментальные физические законы могут быть сформулированы разными, но полностью эквивалентными способами.
Шрёдингер считал, что его волновая механика поможет разрешить проблему квантовых скачков. Для него волновая функция электрона в атоме водорода должна была включать суперпозицию волн с очень близкими частотами, которые на техническом языке называются волновым пакетом. Объем, связанный с этим пакетом, должен был в некотором роде соответствовать размеру электрона. Шрёдингер был убежден, что квантовый переход – это простой обмен энергией между двумя различными видами колебаний. Для него эта модель больше соответствовала интуитивным представлениям, чем электрон, «перепрыгивающий» с одного уровня на другой. Однако эта интерпретация была несогласованной, так как волновой пакет со временем расширяется и в конечном итоге электрон должен будет занять все доступное пространство. При всей эквивалентности матричной и волновой формулировок интерпретации их авторов были несовместимы.
Изначально Гейзенберг отнесся к волновой теории довольно неприязненно. Возможно, это было связано с соперничеством, желанием защитить свое творение. В июле 1926 года Зоммерфельд пригласил Шрёдингера в Мюнхен, чтобы тот рассказал о своих заключениях. Гейзенберг отменил поездку к родителям и специально приехал на эту встречу, чтобы выступить с критикой Шрёдингера, подчеркнув те моменты, которые, по его мнению, нельзя было разрешить с помощью волновой механики. Однако матричная механика также не давала необходимых ответов. Вильгельм Вин, присутствовавший в зале, пришел в ярость. Он сказал, что чувства Гейзенберга понятны: неприятно видеть, что несогласованная матричная квантовая механика оказалась устаревшей. Однако, добавил он, Гейзенбергу предстоит еще многое узнать, так что будет лучше, если он сядет на место и замолчит. Как видите, Вин не забыл о провале Гейзенберга во время защиты докторской.
Борн смотрел на ситуацию иначе. Он сразу понял, что формализм Шрёдингера намного лучше, чем матричная механика, подходил для описания частицы, направленной в мишень. Однако Борн также выступил с критикой физических моделей Шрёдингера, так как, по его мнению, ученый попытался вернуться к классической непрерывной теории. Борн предложил «сохранить только формальную сторону этой теории и наделить ее новым физическим смыслом». В июне 1926 года он опубликовал работу о столкновениях квантовых частиц, в которой впервые описал понятие квантовой вероятности. Борн считал, что при изучении столкновений следует отказаться от детерминистского подхода и говорить исключительно о вероятности, с которой частица будет отклоняться в заданном направлении.
Гейзенберг на конференции, 1924 год.
Поделиться книгой: