Помоги проекту - поделись книгой:
Пифагорейцы считали, что реальность состоит из точек: точки образуют прямые, прямые — поверхности, поверхности — трехмерные тела. Зенон не принимал этого мнения, указывая, что поскольку точки не имеют размеров, то все составленное из них также не может иметь размеров, то есть не может существовать. Кроме того, все составленное из точек можно разделить на части бесконечное число раз, что ведет к множеству абсурдных ситуаций.
* * *
ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ОБРАЗ МЫШЛЕНИЯ
Парадокс — это особая форма аргументации. Его суть заключается в том, что некоторое утверждение принимается в качестве исходного, после чего путем корректных логических рассуждений из него выводится противоречащий здравому смыслу результат, тем самым правильность исходного утверждения ставится под сомнение. Логические парадоксы, впервые появившиеся в элейской школе, основывались на логических высказываниях, которые могли быть как истинными, так и ложными. Один из популярнейших парадоксов древности — так называемый «парадокс лжеца», изложенный Эпименидом Критским. Этот парадокс гласит: «Все критяне — лжецы».
Эпименид не может говорить правду, так как он критянин, но в то же время если он лжет, его высказывание будет верным, и в результате возникает противоречие.
* * *
Парадоксы имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя ключевую роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности. Изначально считалось, что Зенон создал более сорока парадоксов, посвященных этой теме, но из всех дошедших до наших дней наиболее известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепахи, парадокс стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмотрим ниже.
Дихотомия
Этот парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его невозможность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В, сначала необходимо переместиться на половину этого расстояния, затем — половину оставшейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний, которое должно преодолеть тело, нельзя пройти за конечное время. Следовательно, движение невозможно.
Ахиллес и черепаха
Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они стартуют одновременно, то Ахиллес очевидно придет к финишу первым. Все изменится, если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно ни было. В этих условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в которой изначально находилась черепаха. Но когда он достигнет этой точки, черепаха уже отойдет на некоторое расстояние. Ахиллесу снова придется пробежать расстояние, отделяющее его от черепахи. Однако за то время, пока он будет бежать, черепаха отойдет еще дальше, и Ахиллес по-прежнему не сможет догнать ее. Так как этот процесс повторяется бесконечно, он никогда не догонит черепаху.
Может показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи, однако между ними существует небольшая разница: в первом случае пространство делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и черепахе — на все более мелкие части.
Стрела
Этот парадокс — самый неоднозначный из четырех. Историки указывают, что исходный текст дошел до нас не полностью и его пришлось восстанавливать. Суть парадокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она удаляется от нас, но в действительности она не движется, так как стрела, как и всякий другой объект, занимает пространство, равное самой себе, но для этого она должна находиться в покое. Если время состоит из неделимых мгновений, стрела не может занимать два или более места в пространстве одновременно.
Если в двух первых парадоксах речь идет о невозможности бесконечного деления пространства, то этот парадокс посвящен неделимости времени, в частности существованию того, что мы называем «мгновение», так как если оно неделимо, оно не имеет длительности, и, следовательно, движение невозможно. Мгновение, понимаемое таким образом, подобно точке в геометрии.
Стадион
Допустим, что время — дискретная величина, и его основной единицей является произвольная сколь угодно малая величина t. Это означает, что не существует единицы времени, меньшей t, которая, следовательно, является неделимой. Можно представить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица времени.
Рассмотрим четыре равных тела А1, A2, А3, и А4 которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идет о шеренге из четырех солдат):
и четыре других тела B1, B2, B3, и А4, точно соответствующие предыдущим четырем, движущиеся вправо:
Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:
Рассмотрим теперь третий ряд тел C1, C2, C3, и C4, также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:
Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:
то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:
Но это означает, что C1 сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что противоречит исходному утверждению о ее неделимости.
Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.
В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвящен делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д.
В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости геометрических фигур.
* * *
Зенон Элейский (ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В монизме считается, что все сущее неизменно и никакие изменения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времен сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы — простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения математики…» («Начала математики», книга 1,1903)
* * *
Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.
Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки: как нечто бесконечно протяженное и как нечто бесконечно делимое. В первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бесконечности, в определенном смысле несовместимые: так называемая потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.
Мы очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым смыслом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных технологий, можно определить как средства фиксации и обработки окружающей нас реальности.
Нечто является разумным в той степени, в которой на это указывают наши ощущения. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полет стрелы, органы чувств ясно указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону это было прекрасно известно, но ему также было известно, что чувства не всегда могут служить надежной опорой разуму.
Он рассуждал так: подобно тому, как у вещи либо есть размеры, либо нет, предмет издает или не издает звук. Корзина, полная зерен пшеницы, издает определенный звук, когда мы тянем ее по земле. Зенон задавался вопросом: издает ли звук одно-единственное зерно? Если да, то издает ли звук половина зерна? Как можно предположить, если и далее последовательно делить зерно на части, наступит момент, когда этот звук будет неразличим. Исходя из этого факта, можно утверждать, что сумма элементов, равных нулю, всегда будет нулевой, то есть если мы соберем вместе множество предметов, не издающих звук, то и их совокупность также не будет издавать звуков.
Целью Зенона было показать, что в определенных рассуждениях мы не можем доверять нашим органам чувств — они должны уступить место интуиции, что часто и происходит при математических рассуждениях. Однако, как вы увидите далее на примере теорий Кантора, интуиция также может быть обманчивой, и мы не можем руководствоваться ею тогда, когда бесконечность является реальным объектом, с которым можно работать так же, как с натуральными числами.
Зенон считал, что нечто может состоять из бесконечного числа элементарных частей только тогда, когда каждая из этих частей не имеет размера: в противном случае эти части можно разделить, и они не могут считаться элементарными. Однако если части объекта не имеют размеров, то не имеет размеров и сам объект, так как сумма величин, не имеющих размера, также не может иметь размер.
Так греки определили термин «апейрон», который пришел на смену понятию «бесконечность». Апейрон означал отсутствие четко определенного предела. Это соответствовало идее, согласно которой предмет бесконечен, поскольку может иметь сколь угодно большие размеры. Апейрон не относился, например, к бесконечному числовому ряду, в котором не существует последнего числа. Аналогичным образом определялись бесконечно малые величины, которые могут иметь сколь угодно малые размеры. Этому понятию было дано строгое определение в математическом анализе лишь в XIX веке.
Задачам на построение с помощью циркуля и линейки, известным с античных времен, в Древней Греции уделялось большое внимание. Разнообразие этих задач очень велико — они могут быть очень простыми, очень сложными, а порой и вовсе не имеющими решения. Наиболее известны из них задачи о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга — сложность последней вошла в поговорку.
Когда речь идет о построениях с помощью циркуля и линейки, следует придерживаться определенных правил, так как в противном случае задачи становятся тривиальными. Например, найти середину отрезка с помощью линейки, на которую нанесены миллиметровые деления, очень просто — для этого даже не потребуется циркуль. Но определим, что мы будем понимать под «линейкой» при решении этих задач. Линейка — это идеальный предмет с абсолютно ровной границей, который служит для проведения прямых. На ней отсутствуют какие-либо отметки, позволяющие измерить расстояние. Циркуль представляет собой обычный циркуль, раствор которого может быть любым. Логично, что его нельзя использовать для нанесения меток, с помощью которых можно измерить расстояние.
* * *
ЦИРКУЛЬ
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки всегда занимали почетное место среди занимательных задач. Одна из наиболее любопытных публикаций на эту тему принадлежит землемеру Уильяму Лейбурну, который в 1694 году опубликовал книгу Pleasure with Profit («Приятное с полезным»), где описал всевозможные математические «игры с линейкой и вилами» (под вилами имелся в виду циркуль с фиксированным раствором). Одно из величайших открытий, связанных с задачами такого типа, было совершено в 1794 году, когда итальянский геометр Лоренцо Маскерони в своей работе Geometria del Compasso доказал, что любое построение, которое можно совершить с помощью циркуля и линейки, также можно выполнить с помощью только циркуля (разумеется, раствор которого не фиксирован). Так как провести прямую с помощью циркуля невозможно, Маскерони считал, что она определяется двумя точками, заданными пересечением дуг.
* * *
Определив правила игры, можно приступить к решению задач. Рассмотрим, например, как можно провести перпендикуляр к отрезку в его середине. Допустим, дан отрезок АВ. Сначала нужно провести окружность с центром в точке А и радиусом АВ. Далее нужно построить другую окружность такого же радиуса, но с центром в точке В. Прямая, соединяющая точки пересечения окружностей, и будет требуемым перпендикуляром.
Следует предостеречь читателя от бесплодных попыток решить задачу о квадратуре круга: в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число 71 является трансцендентным, поэтому эта задача не имеет решения.
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна площади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоретически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонт из Афин (ок. 480–411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: будем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем в данную окружность шестиугольник.
Нам известно, что задача о квадратуре шестиугольника имеет решение, то есть мы можем построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого будет равна площади заданного шестиугольника. Будем увеличивать число сторон многоугольника, вписанного в окружность, и для каждого из этих многоугольников задача о квадратуре по-прежнему будет иметь решение. Разница между площадью окружности и площадью вписанного многоугольника будет последовательно уменьшаться. По сути, она может быть сколь угодно малой. Представим себе, например, многоугольник, число сторон которого равняется нескольким квадриллионам.
Любая из его сторон будет очень близка к дуге окружности, так что их будет очень и очень сложно отличить. Антифонт считал, что таким способом можно решить задачу о квадратуре круга.
Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключается в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.
Окружность — это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Пока этого не происходит, речь идет о потенциальной бесконечности.
* * *
КВАДРАТУРА СТОЛА
Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.
Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.
Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.
Без чисел 1, 2, 3, …» которые мы обычно используем при счете, во время измерений не обойтись. Если мы возьмем, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесем на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.
Допустим, что наша единица измерения задается отрезком ОА, и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.
Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.
Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.
Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображенный на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.
Поделиться книгой: