2. Пространство. Время. Движение

Таблица 19.2 · моменты инерции, полученные из табл. 19.1

§ 4. Кинетическая энергия вращения

Продолжим изучение динамики вращения. При обсуждении аналогии между линейным и угловым движением в гл. 18 мы использовали теорему о работе, но ничего не говорили о кинети­ческой энергии. Какова будет кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью w? Используя нашу аналогию, можно немедленно угадать правильный ответ. Момент инерции соответствует массе, угло­вая скорость соответствует обычной скорости, так что кине­тическая энергия должна быть равна 1/₂ Iw2. Так оно и есть на самом деле, и сейчас мы покажем это. Предположим, что тело вращается вокруг некоторой оси, так что каждая точка движет­ся со скоростью wr,-, где r_i — расстояние от данной точки до оси. Если масса этой точки равна m_i, то полная кинетическая энергия всего тела равна просто сумме кинетических энергий всех частиц

а поскольку w — постоянная, одна и та же для всех точек, то

В конце гл. 18 мы отмечали, что существуют очень интерес­ные явления, связанные с вращением не абсолютно твердого тела, способного изменять свой момент инерции. Именно, в примере с вращающимся столом у нас был момент инерции I₁ и угловая скорость w₁ при вытянутых руках. Согнув руки, мы изменили момент инерции до I₂, а угловую скорость — до w₂. Так как у нас нет никаких моментов сил относительно оси вра­щения стола, то момент количества движения должен остаться постоянным. Это означает, что I₁w₁=I₂w₂. А что можно ска­зать об энергии? Это очень интересный вопрос. Согнув руки, мы начинаем вращаться быстрее, но момент инерции при этом умень­шается и может показаться, что кинетическая энергия должна остаться той же самой. Это, однако, неверно, потому что в дей­ствительности сохраняется Iw, а не Iw2. Сравним теперь кине­тические энергии в начале и в конце. В начале кинетическая энергия равна 1/₂/Iw2₁=1/2Lw₁, где L=I₁w₁=I₂w₂— момент количества движения. Точно таким же образом кинетическая энергия в конце равна Т=1/₂Lw₂,а поскольку w₂>w₁, то кинетическая энергия в конце оказывается большей, чем в на­чале. Итак, вначале, когда руки были вытянуты, мы вращались с какой-то кинетической энергией, затем, согнув руки, мы стали вращаться быстрее и наша кинетическая энергия возросла. А как быть с законом сохранения энергии? Ведь должен же кто-то произвести работу, чтобы увеличить энергию? Это сделали мы сами! Но когда, в какой момент? Когда мы держим гантели гори­зонтально, то никакой работы не производим. Выпрямляя руки в стороны и сгибая их, мы тоже не можем произвести никакой работы. Это, однако, верно только, пока нет никакого вращения! При вращении же на гантели действует центробежная сила. Они стремятся вырваться из наших рук, так что, сгибая во время вращения руки, мы преодолеваем противодействие центробеж­ной силы. Работа, которая на это затрачивается, и составляет разницу в кинетических энергиях вращения. Вот откуда бе­рется этот добавок.

Существует еще одно очень интересное явление, которое мы рассмотрим только описательно, чтобы просто иметь о нем представление. Хотя изучение этого явления требует несколько большего опыта, но упомянуть о нем стоит, ибо оно очень любо­пытно и дает много интересных эффектов.

Возьмем снова эксперимент с вращающимся столиком. Рас­смотрим отдельно тело и руки, с точки зрения человека, вра­щающегося на столике. Согнув руки с гантелями, мы стали вращаться быстрее, но заметьте, что тело при этом не изменило своего момента инерции; тем не менее оно стало вращаться быстрее, чем прежде. Если бы мы провели вокруг тела окруж­ность и рассмотрели только предметы внутри этой окружности, то их момент количества движения изменился бы; они закрути­лись бы быстрее. Следовательно, когда мы сгибаем руки, на тело должен действовать момент силы. Однако центробежная сала не может дать никакого момента, так как она направлена по радиусу. Это говорит о том, что среди сил, возникающих во вращающейся системе, центробежная сила не одинока: есть еще и другая сила. Эта другая сила носит название кориолисовой силы, или силы Кориолиса. Она обладает очень странным свой­ством: оказывается, что если мы во вращающейся системе дви­гаем какой-то предмет, то она толкает его вбок. Как и центро­бежная сила, эта сила кажущаяся. Но если мы живем во вра­щающейся системе и хотим что-то двигать по радиусу, то для этого мы должны тянуть его несколько вбок. Именно эта «бо­ковая» сила создает момент, который раскручивает наше тело.

Перейдем теперь к формулам и покажем, как кориолисова сила работает на практике. Пусть Мик сидит на карусели, ко­торая кажется ему неподвижной. С точки зрения Джо, который стоит на земле и знает истинные законы механики, карусель крутится. Предположим, что мы провели радиальную прямую на карусели и пусть Мик двигает прямо по этой линии какую-то массу. Я хочу показать, что для того, чтобы все было так, как мы описали, необходима боковая сила. Это можно увидеть, обратив внимание на момент количества движения вращающейся массы. Она крутится все время с одной и той же угловой ско­ростью w, поэтому ее момент количества движения равен

L=mv_тавгr=mwr·г=mwг2.

Если масса расположена близко к центру, то он сравнительно мал, но если мы передвигаем ее в новое положение и если мы увеличиваем r, то масса mприобретает больший момент количества движения, т. е. во время движения по радиусу на нее должен действовать некоторый момент силы. (Чтобы на кару­сели двигаться по радиусу, нужно наклониться и толкаться вбок. Попробуйте как-нибудь сами проделать это.) Поскольку момент силы равен скорости изменения L во время движения массы mпо радиусу, то

где через f_k обозначена сила Кориолиса. В действительности мы хотели узнать, какую боковую силу должен прилагать Мик, чтобы двигать массу mсо скоростью v_r=dr/dt. Как видите, она равна F_K=т/r=2mwv_r.

Теперь, имея формулу для кориолисовой силы, давайте рас­смотрим несколько более подробно всю картину в целом. Как можно понять причину возникновения этой силы из элементар­ных соображений? Заметьте, что кориолисова сила не зависит от расстояния до оси и поэтому действует даже на оси! Оказывает­ся, что легче всего понять именно силу, действующую на оси вращения. Для этого нужно просто посмотреть на все происхо­дящее из инерциальной системы Джо, который стоит на земле. На фиг. 19.4 показаны три последовательных положения массы m, которая при t=0 проходит через ось.

Фиг. 19.4. Три последовательных положения движущейся по радиусу точки вращающегося столика.

Из-за вращения карусели масса, как мы видим, движется не по прямой линии, а по некоторому кривому пути, касающемуся диаметра в точке r=0. Но для того чтобы она двигалась по кривому пути, долж­на действовать ускоряющая сила. Это и есть кориолисова сила.

Однако с кориолисовой силой мы встречаемся не только в подобных ситуациях. Можно показать, что если предмет дви­жется с постоянной скоростью по краю диска, то на него тоже действует кориолисова сила. Почему? Мик видит предмет дви­жущимся со скоростью v_м, а Джо видит его движущимся по окружности со скоростью v_д=v_м+wr, поскольку предмет вдо­бавок переносится каруселью. Как мы уже знаем, действующая в этом случае сила будет, в сущности, полностью центробежной силой скорости v_д, равной тv2_Д/r. Но, с точки зрения Мика, она должна состоять из трех частей. Все это можно записать в сле­дующем виде:

Итак, F_r — это сила, которую измеряет Мик. Попытаемся по­нять, откуда что берется. Может ли Мик признать первый член? «Конечно,— сказал бы он,— даже если бы я не вращался, то та­кая центробежная сила должна возникнуть, если побежать по кругу со скоростью v_м». Итак, это просто центробежная сила, появления которой Мик ожидает и которая не имеет ничего общего с вращением карусели. Вдобавок Мик думает, что долж­на быть еще одна центробежная сила, действующая даже на неподвижные предметы на его карусели. Это дает третий член. Однако в дополнение к ним существует еще один член — второй, который опять равен 2 mwv_м. Раньше, при радиальной ско­рости, кориолисова сила f_k была тангенциальна. Теперь же, при тангенциальной скорости, она радиальна. В самом деле, одно выражение отличается от другого только знаком. Сила всег­да имеет одно и то же направление по отношению к скорости независимо от того, куда направлена скорость. Она действует под прямым углом к скорости и равна по величине 2mwv.

Глава 20

ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

§ 3. Гироскоп

§ 4. Момент количества движения твердого тел

§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

В этой главе мы рассмотрим одно из наи­более замечательных и забавных следствий за­конов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Од­нако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных слу­чаев.

Прежде всего хочу отметить, что для враще­ния в трех измерениях твердого тела или како­го-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xF_y-yF_xтак и остается моментом силы «в пло­скости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения вели­чины хр_y-ур_х; если вы вспомните вывод урав­нения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обсто­ятельства, что движение плоское, и просто диф­ференцировали величину хр_у-ур_хи получали xF_y-yF_x, так что эта теорема остается верной. Величину хр_у-ур_хмы называли моментом ко­личества движения в плоскости ху, или момен­том количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать дру­гие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yF_z-zF_yи yp_z-zp_{yбудет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее}

zF_x-xF_z=d/dt(zp_x-xp_z).

Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хр_у—ур_х, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плос­костей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плос­костях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказыва­ется, что если мы в комбинации x'F_y'-y'F_x'для «косой» плос­кости выразим величины x', F_y'и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего но­вого. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комби­нации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', z' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным

x'F_y'-y'F_x' и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно ре­шить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» — спросите вы. Действительно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подоб­ных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать t_yz=zF_y-yF_z? Этот вопрос связан с тем обстоятель­ством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у t_{xy, можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:}

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.

Пусть одна система координат повернута на угол q по отноше­нию к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол q ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то про­исходящим внутри системы координат. Это просто связь меж­ду осями, используемыми одним человеком, и осями, исполь­зуемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоян­ным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

x'=xcosq+ysinq,

y'=уcosq-хsinq, (20.3)

z'=z.

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобра­зуются как х, у и z

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х', у' и z' выражение (20.3), а для F_x' , F_y', и F_z'-— выражение (20.4). В результате для t_x'y' получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xF_y-yF_x, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для t_V'Z' . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y'z', то получим

И наконец, для плоскости z'x'

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно за­помнить это правило? Если внимательно посмотреть на урав­нения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать t_хуz-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора t, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора t, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF_y-yF_{xможно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе круче­ния. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.}

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Соглас­но правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Од­нако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределен­ный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кру­чением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трех­мерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) допол­нительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного век­тора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих мате­матических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axb_y-a_yb_x, где а и b — векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c_z, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то матема­тическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначе­нием: c=aXb. Таким образом, в дополнение к обычному ска­лярному произведению в векторном анализе мы получили про­изведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=aXb это то же самое, что

c_x=a_yb_z-а_гb_у,

c_y=a_zb_x-a_xb_z, (20,9)

с_г=а_хb_у -а_уb_х.

Если переменить порядок векторов а и b, т. е. вместо aXb взять bXa, то знак вектора с при этом изменится, ибо c_zравно b_ха_у-b_уа_х. Векторное произведение поэтому не похоже на обыч­ное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произ­ведения bXa=-aXb. Отсюда немедленно следует, что если а=b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аXа=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, b и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить сле­дующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с пер­пендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сXа и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведе­нию абсолютных величин векторов b и а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении век­тора с. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и b вектор нового типа аXb по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные век­торы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, мо­гут служить момент силы t и момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свой­ствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпи­шем все правила с участием векторного произведения. Впослед­ствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

а) aX (b+c)=aXb+aXc,

б) (aa)Xb=a (aXb),

в) a· (bXc)=(aXb)·c, (20.10)

г) aX (bXc)=b(a·c)—c(a·b),

д) аXа=0,

е) а·(aXb)=0.

§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произ­ведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конеч­но, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сра­зу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

t=rXF. (20.11)

Это просто краткая запись трех уравнений: т_x=yF_z-zF_yи т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произ­ведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

L=rXp. (20.12)

Векторная форма динамического закона вращения в трехмер­ном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со вре­менем вектора момента количества движения

t=dL/dt. (20.13)

Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохране­ния момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества дви­жения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг неко­торой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предпо­ложим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть най­дена следующим образом. Если вращение в плоскости ху пред­ставить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направ­ленного вдоль оси y, изобразить скорость вращения в плоско­сти, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим ре­зультат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту го­воря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоуголь­ные проекции на эти плоскости.