1. Современная наука о природе, законы механики

(6.4)

где символ п!, называемый «n-факториалом», обозначает про­изведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. 1 · 2 · 3 . . . (n-1)·п. Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность Р (k, n) выпадения k раз «орла»! в серии из nиспытаний. Полное число всех возможностей бу­дет 2" (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет () , так что

(6.5)

Поскольку Р (k, n) — доля тех серий испытаний, в кото­рых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k вы­падений «орла» ожидается 100 Р (k, n) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100 Р (k, 30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали полу­чить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а по­лучили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «пра­вилами игры».

Использованный здесь метод можно применять и в более об­щей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность резуль­тата П) должна быть равна (1-р). В серии из nиспытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна

(6.6)

Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.

§ 3. Случайные блуждания

Существует еще одна интересная задача, при решении кото­рой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «слу­чайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выгля­дит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х=0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем ре­шение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбра­сыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров слу­чайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D_{Nза N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.}

Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата

D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

(При построении их в качестве случай­ной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, при­веденные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожи­дать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятно­стью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение \D\? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блу­жданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D2_Nравна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величи­ной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов

блуждания. Эта величина обозначается как <D2_N> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного

шага D2всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D2₁> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

, Ожидаемая величина D2_Nдля N>1 может быть получена из d_n-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии D_N-1, то еще один шаг даст либо D_N=D_N--1+1, либо D_N=D_N-1 -1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятно­стью 舣/₂, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая вели­чина D2_Nбудет просто D2_N-1+1. Но какова величина D2_N_₁, вер­нее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <D2_N-1>, так что

<D2_N>=<D2_N-1+1. (6.8)

Если теперь вспомнить, что <D2₁>= 1, то получается очень простой результат:

<D2_N>=N. (6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризо­вать величиной типа расстояния (а не квадрата рас­стояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <.D2_N> и получить так называемое «среднее квадратичное рас­стояние» D_C-K:

D_C-K=Ц<D2> = ЦN. (6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D_Nбудет просто равно N_o-N_P, т. е. разности числа выпа­дений «орла» и «решки». Или поскольку N_o+N_p=N(где N — полное число подбрасываний), то D_N= 2N_o-N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого рас­пределения величины n_o[она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D. (Выпаде­ние каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между n_oи Dпоявляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D = 0, a k = 16 соответствует D= 2 и т. д.).

Отклонение n_o от ожидаемой величины N/2 будет равно

(6.11)

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

(6.12)

Вспомним теперь наш результат для d_c-k. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть рав­но V30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5:2 = 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если мо­нета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

<N_o>/N = 0,5. (6.13)

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2на величину порядка ЦN/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение N_o/N.

На фиг. 6.6 отложены числа N_O/N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше.

Фиг. 6.6. Доля выпадений «орла» в некоторой частной последовательности N подбрасываний монеты.

Как видите, при уве­личении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой дан­ной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная веро­ятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому 1/₂ЦN (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или ка­кого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не пред­сказуемых исхода наблюдения, например камень, который мо­жет упасть только на какую-то из двух сторон), имеется дос­таточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(O) как отношение <N_o>/N. Но что принять за величину <N_о>? Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое луч­шее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «ор­ла» в большой серии испытаний и взять <N_o> =N_o (наблюден­ное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, ну­жно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение P(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 1/₂ЦN [если Р(O)близко к половине], Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «эксперимен­тально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

(6.14)

При такой записи подразумевается, что существует некая «ис­тинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспери­ментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопре­деленности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

§ 4. Распределение вероятностей

Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением. Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага (+ или -) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, причем требуется выполнение одного-единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача уже боль­ше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага через S, которая, вообще говоря, может быть лю­бой, но наиболее часто будет принимать значения где-то «вбли­зи» единицы. Для большей определенности давайте положим <S2>=1, или, что эквивалентно, S_C-K= 1. Вывод выражения для <D2> при этом останется тем же, за исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь следующим образом:

<D2_N>=<D2_N-1>+<S2>=<D2_N-1>+1. (6.15)

Так что, как и прежде,

<D2_N>=N. (6.16)

Каково же в этом случае будет распределение расстояний! Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов D ока­жется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Вообще вероятность любой заданной величины D равна нулю. Действи­тельно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех шагов назад (при произвольной длине каждого из них) в точности скомпенсировалась шагами вперед. В этом случае мы уже не можем построить график типа изображенного на фиг. 6.2.

Если же, однако, не требовать, чтобы D было в точности равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого говорить о вероятности получения D где-то вблизи нуля, или единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг. 6.2. Назовем Р (х,Dx) вероятностью того, что D будет находиться где-то внутри интервала Dx в окрестности величины х (скажем, где-то между х и х+Dx). Если Ax достаточно мало, то вероятность того, что D попадет в этот интервал, должна быть пропорциональна его ширине, т. е. Ax. Поэтому мы можем утверждать, что

Р (х, Dx)=р(х)Dx;. (6.17)

Функция р(х) называется плотностью вероятности.

Вид кривой р(х) зависит как от числа шагов N, так и от рас­пределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю состав­ляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь зани­маться доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность p(х) одинакова для всех разум­ных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р(х) для различных N.

Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блуждании через N шагов на расстоянии D.

D измеряется в единицах средней квадратичной длины шага.

Заметьте, что «полуширины» этих кривых, как это и должно быть по нашим предыдущим расчетам, приблизительно равны Цn.

Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна ЦN. Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни «размазаны» больше, а другие — меньше, и, кроме того, площади, ограни­ченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х) Dx; это вероятность того, что D находится где-то внутри интервала Dx; (Ax мало). Как определить вероятность того, что D находится где-то между x₁ и x₂? Для этого разобьем интервал между х₁и х₂на узкие полоски шириной Ax; (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р (х) Dx; для каждой такой полоски.

Фиг. 6.8. Вероятность [заштри­хованная область под кривой р(х)] того, что при случайном блуждании пройденное расстояние D окажется между х₁ и х₂.

Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде Р (x₁< D<x₂)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем уже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать

Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероят­ности того, что D принимает какое-то значение между -Ґ и +Ґ. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.

(6.19)

Ну а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна ЦN, то, чтобы сохранить ту же площадь, их высота должна быть пропорциональна 1/ЦN.

Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто. Она известна также под названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде

(6.20)

причем величина s называется стандартным отклонением.

В нашем случае s = ЦN или ЦNS_c-k, если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обна­ружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стен­ку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятно­стное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходя­щее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что дан­ная молекула движется с какой-то скоростью между v и v+Dv, будет равна p(v)Dv, где р(v) — плотность вероятности, которая зависит от скорости v. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(v). Примерный вид функции p(v) показан на фиг. 6.9.

䚠ᢜ

Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения

<v>.

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1 л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N » 1022). Поскольку р(v)Dv — вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Dv, то, по определе­нию, ожидаемое число молекул <DN> со скоростью, находя­щейся в этом же интервале, будет равно

<DN>=Np(v) Dv. (6.21)

Поэтому Np (v) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями ско­ростей v_lи v₂ [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np(v)] представляет ожидаемое число молекул со скоростями между v₁ и v₂ . Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/ЦN), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между v₁и v₂равно площади заштрихованного участка».Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.

§ 5. Принцип неопределенности

Понятия вероятности оказались очень полезны при описа­нии поведения газа, состоящего из огромного количества мо­лекул. Немыслимо же в самом деле пытаться определить по­ложение и скорость каждой из 1022 молекул! Когда впервые теория вероятности была применена к таким явлениям, то это рассматривалось просто как удобный способ работы в столь сложной обстановке. Однако теперь мы полагаем, что вероят­ность существенно необходима для описания различных атомных процессов. Согласно квантовой механике, этой математической теории малых частичек, при определении положения частички и ее скорости всегда существует некоторая неопределенность. В лучшем случае мы можем только сказать, что существует ка­кая-то вероятность того, что частица находится вблизи точки х.

Для описания местоположения частицы можно ввести плот­ность вероятности р₁ (х), так что p₁ (x) Dx будет вероятностью того, что частица находится где-то между х и х+Dx. Если положение частицы установлено достаточно хорошо, то пример­ный вид функции P₁(x) может иллюстрировать график, при­веденный на фиг. 6.10, а.

Фиг. 6.10. Плотности вероят­ности координаты, (а) и скорости (6) частицы.

Точно такое же положение и со ско­ростью частицы: она тоже неизвестна нам точно. С некоторой вероятностью р₂ (v) Dvчастица может двигаться со скоростью, находящейся в интервале между v и v+Dv.