Помоги проекту - поделись книгой:
Однако Лаплас был очень и очень далек от истины. В своих уравнениях, описывавших систему «Солнце-Юпитер-Сатурн» (задачу трех тел) ученый пренебрег одним слагаемым, которое он счел слишком малым. Но это слагаемое могло неограниченно возрастать и вести к потере устойчивости Солнечной системы. В отличие от Лагранжа, крайне скрупулезного в расчетах, Лаплас был подобен лису, заметавшему собственные следы хвостом. Он часто забывал указывать источники, из которых брал те или иные результаты, и создавалось впечатление, что все они принадлежали ему лично. Математические задачи, с которыми Лаплас сталкивался в физических исследованиях, он решал так же небрежно. Американский астроном, который перевел «Трактат о небесной механике» на английский язык, говорил, что каждый раз, когда он видел фразу «нетрудно видеть, что…», то понимал: для восстановления пропущенного потребуется несколько часов упорного труда.
Многие физики и математики XIX века посвятили себя поискам полного решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Со времен великого Ньютона до 1900 года на эту тему было написано более 800 работ.
Среди математиков, пытавшихся справиться с этой задачей, нашелся и человек, сыгравший ключевую роль в создании теории хаоса, — гениальный
Еще в детстве Пуанкаре проявлял живой интерес к математике, однако в остальном он был неуклюжим и рассеянным. Он считается последним математиком-универ салом: в отличие от узких специалистов, Пуанкаре интересовало буквально все — он занимался анализом, дифференциальными уравнениями, группами, топологией, небесной механикой и математической физикой, а также философией, преподаванием и просветительской работой. Разумеется, он был первым математиком, кто столкнулся лицом к лицу с хаосом при решении задачи трех тел.
«Мысль — это всего только молния в ночи. Но в этой молнии — все».
Знаменитая работа Пуанкаре, посвященная этой задаче, была опубликована в 1890 году, когда ученому было всего 36 лет, однако ее история началась раньше.
В 1885 году европейские математики узнали, что под покровительством Оскара II, короля Швеции и Норвегии, пройдет важный международный математический конкурс. Оскар II, изучив ряд математических дисциплин в университете, чувствовал, что математике нужно придать новый толчок. В рамках международного конкурса была учреждена премия для того, кто сможет решить задачу трех тел и открыть путь к изучению устойчивости Солнечной системы.
В 1884 году
Подобрать членов жюри и организационного комитета конкурса было совсем не просто. Миттаг-Леффлер хотел избежать споров и обвинений в предвзятости, поэтому выбрал тех, с кем был знаком лично: своих бывших преподавателей, Шарля Эрмита и Карла Вейерштрасса как представителей французской и немецкой математической школы, а также Софью Ковалевскую, блестящую ученицу Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса.
С помощью Миттаг-Леффлера члены организационного комитета сформулировали четыре вопроса, один из которых касался решения задачи n тел: «Для данной системы, состоящей из произвольного числа материальных точек, взаимодействующих друг с другом согласно законам Ньютона, предлагается выразить координаты каждой точки с помощью ряда, содержащего известные функции времени, которые бы равномерно сходились для любого значения времени.
По-видимому, эта задача, решение которой расширит наши знания об устройстве Вселенной, может быть решена известными на сегодня методами анализа. Это следует предполагать по меньшей мере потому, что незадолго до смерти Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле сообщил своему другу, математику Леопольду Кронекеру, что обнаружил метод интегрирования дифференциальных уравнений механики и успешно применил его для доказательства устойчивости нашей Солнечной системы. К сожалению, нам ничего не известно об этом методе, хотя почти со стопроцентной уверенностью можно предполагать, что он не подразумевал каких-либо объемных и сложных расчетов, а основывался на некой простой идее. Разумно ожидать, что эту идею можно будет обнаружить вновь в ходе более тщательного и серьезного исследования.
Если никому не удастся решить предложенную задачу в указанные сроки, премия может быть присуждена работе, посвященной любой другой задаче механики, которая будет рассмотрена указанным образом и полностью решена».
Когда новость о проведении конкурса была опубликована в журнале
В конце концов воодушевленный Пуанкаре начал развивать свои идеи, касавшиеся качественной теории дифференциальных уравнений. Эту теорию Пуанкаре разработал в 1881–1885 годах и изложил в четырех статьях, важнейшая из которых носила название «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями». В этих работах были рассмотрены линейные и нелинейные дифференциальные уравнения не столько с количественной, сколько с качественной точки зрения (иными словами, он стремился найти не решения в явном виде, а описать их общую динамику и устойчивость), для чего обратился к недавно созданной дисциплине — топологии, которая в то время называлась анализом размещения (лат.
В отличие от Лагранжа, который хвастался тем, что его «Аналитическая механика» не содержала ни одной иллюстрации, Пуанкаре смело использовал геометрические методы.
Понимая невозможность решить большинство дифференциальных уравнений (для нелинейных уравнений метод возмущений не работал), Пуанкаре рассмотрел их геометрически. Начал он с того, что рассмотрел дифференциальное уравнение
где производная у по х равна отношению двух произвольных функций Р и Q. Ученый подробно изучил так называемые особые точки, то есть точки с координатами (х, у), в которых Р(х, у) = Q(x, у) = 0. Иными словами, особые точки — это точки, в которых производная у по х равна нулю, разделенному на ноль, то есть точки, в которых возникает неопределенность, ведь операция деления на 0 не имеет смысла. Именно поэтому такие точки называются особыми.
* * *
РЕЗИНОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Топология — это раздел математики, изучающий исключительно форму и расположение геометрических объектов без учета их количественных свойств, в частности размеров. Например, схемы метро дают информацию о станциях и пересадках, но искажают расстояния. Важнейшую роль в развитии топологии сыграл Пуанкаре, благодаря которому она обрела популярность как «качественная геометрия». Предоставим слово самому Пуанкаре:
«Так называемый «анализ размещения», analysis situs, это целая доктрина, которая привлекала внимание крупнейших геометров и в которой одна за одной появилось несколько важных теорем. Отличие этих теорем от теорем классической геометрии в том, что они носят качественный характер и остаются корректными даже тогда, когда фигуры неумело срисует неопытный чертежник, исказив их пропорции и заменив прямые более или менее криволинейными отрезками».
Топологию часто сравнивают с геометрией резиновых лент: если бы геометрические фигуры были изготовлены из эластичной резины, их можно было бы превращать друг в друга. Так, с точки зрения топологии сфера и куб неразличимы, и не важно, что поверхность сферы гладкая, а куб имеет ребра. Говорят, что тополог — это математик, не способный отличить бублик от чашки кофе, так как его невнимательный взгляд замечает лишь то, что и чашка, и бублик имеют единственное отверстие (бублик — дырку, чашка — отверстие в ручке). Мы можем отличить бублик от апельсина, так как в бублике дырка есть, а в апельсине — нет. Но как мы отличили бы бублик от апельсина, если бы были совсем маленькими и жили на их поверхности? (Этот вопрос вовсе не так прост, ведь сферическая поверхность Земли кажется нам плоской.) Один из методов, позволяющий избавиться от сомнений, заключается в изучении группы Пуанкаре для нашего пространства. Допустим, что мы привязали собаку к крыльцу дома очень длинным резиновым поводком и оставили ее на несколько дней. Если мы живем на поверхности бублика, то, когда мы вернемся домой, поводок скорее всего будет натянут, так как собака наверняка пройдет через отверстие бублика. Если же мы живем на поверхности апельсина, то, когда мы вернемся, поводок будет висеть свободно, и мы сможем смотать его обратно.
Пуанкаре был автором знаменитой гипотезы, носящей его имя: «Является ли трехмерная сфера единственным трехмерным многообразием, на поверхности которого любая петля стягивается в точку?». Эта обобщенная гипотеза была доказана Фридманом для четырех измерений и Смэйлом — для большего числа измерений. Полное доказательство гипотезы Пуанкаре для трех измерений привел российский математик Григорий Перельман в 2003 году.
* * *
Далее Пуанкаре рассмотрел их с точки зрения топологии: он изучил поведение кривых, заданных дифференциальным уравнением, в окрестности этих точек, поскольку решения исходного дифференциального уравнения — это функции, которые можно представить на плоскости графически. Точнее говоря, для этих функций можно построить график в так называемой фазовой плоскости. Термин «фаза» изначально появился в электротехнике и обозначает состояние или место, в котором находится определенное решение. На фазовой плоскости изображается семейство кривых, которые описывают решения дифференциального уравнения. Эти кривые часто называются траекториями или, по аналогии с движением планет, орбитами.
Пуанкаре разделил особые точки на четыре класса: центр, фокус, узел, седло. Названия классов заимствованы из гидродинамики, так как траектории (орбиты) на фазовой плоскости можно сравнить с потоком жидкости, распространяющимся по ней. Центры — это особые точки, окруженные периодическими орбитами; фокусы — особые точки, которые притягивают близлежащие траектории (они подобны водостокам фазовой плоскости); узлы, напротив, являются неустойчивыми, так как отталкивают близлежащие траектории (продолжая аналогию с гидродинамикой, такие точки можно сравнить с кранами, из которых льется вода на фазовую плоскость); наконец, седла — особые точки, которые являются устойчивыми и неустойчивыми одновременно. Седла — это точки, в которых словно бы сталкиваются два потока воды. Траектории, которые пересекаются точно в седле, называются сепаратрисами.
Седла Пуанкаре называл гомоклиническими точками, сепаратрисы — двоякоасимптотическими. В конце главы вы узнаете, почему он выбрал именно такие названия.
Позднее Пуанкаре сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пуанкаре — Бендиксона (в честь шведского математика, закончившего ее доказательство). Согласно этой теореме, наряду с предельными циклами (замкнутыми кривыми, притягивающими соседние траектории) указанные выше разновидности особых точек являются единственно возможными на плоскости. Так как в двух измерениях существуют только центры, фокусы, узлы, седла и предельные циклы, то можно сказать, что количество траекторий, которые описывают решения дифференциальных уравнений, невелико: они могут описывать витки вокруг центра или предельного цикла, удаляться от узла, проходить вблизи седла или приближаться к фокусу. Все возможные варианты траектории можно пересчитать по пальцам одной руки.
В 1881 году, за четыре года до проведения конкурса, Пуанкаре уже понимал, что созданную им новую качественную теорию можно использовать для решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Не напрасно лейтмотивом статьи «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» стали вопросы: «Описывает ли движущаяся точка замкнутую кривую? Всегда ли эта кривая будет находиться в определенной части плоскости? Иными словами, если использовать астрономические термины, является ли орбита устойчивой?».
За несколько лет до проведения конкурса, в 1878 году, американский астроном Джордж Уильям Хилл привлек всеобщее внимание к важности периодических решений (замкнутых кривых) задачи об устойчивости Солнечной системы. Периодическое (то есть повторяющееся) движение очень полезно при изучении устойчивости: при таком движении тело никогда не сойдет с орбиты, не столкнется с другим телом и не улетит бесконечно далеко. Хилл нашел периодическое решение задачи трех тел для случая, когда масса одного из них пренебрежимо мала по сравнению с остальными.
Проблема Хилла представляла собой частный случай задачи трех тел, в котором легкая планета движется под действием сил притяжения двух одинаковых звезд, лежащих в одной плоскости. Изучив проблему Хилла, Пуанкаре доказал: эту проблему, равно как и общий случай задачи трех тел, нельзя решить классическими методами решения дифференциальных уравнений — в отличие от задачи двух тел (ее решили Ньютон, Бернулли и Эйлер), не все интегралы движения можно решить при помощи законов сохранения (энергии, импульса и так далее). Пуанкаре сделал вывод: какого-то одного общего решения задачи трех тел, выраженного в простых и привычных функциях, не существует.
У Пуанкаре оставался последний шанс — метод возмущений. Применив его, он нашел решения в виде бесконечных степенных рядов. Тем не менее ничто не указывало, что эти ряды (аналогичные ряды ранее получили Эйлер, Лагранж и Линдстедт) сходились, пусть они и удовлетворяли уравнениям задачи трех тел. В конечном счете Пуанкаре оставил попытки найти аналитическое решение задачи.
Лишь в 1909 году, то есть более чем 20 лет спустя, математик Карл Зундман (1873–1949) наконец представил общее решение задачи трех тел в виде сходящегося ряда. Искомый ряд сходился крайне медленно, а решение Зундмана было настолько сложным, что на практике оказалось совершенно бесполезным, но если бы он добился своего результата 20 годами ранее, то, возможно, получил бы премию от короля Оскара II.
Пуанкаре, оставив анализ, обратился к топологии, решив, что если он рассмотрит вопрос с другой стороны, то докажет существование периодических решений.
Так как устойчивость решений нельзя было оценить путем изучения рядов, Пуанкаре решил использовать свою качественную теорию дифференциальных уравнений: описывают ли эти решения замкнутые кривые, то есть являются ли они периодическими? Если движущееся тело описывает замкнутую кривую, то есть цикл, то рано или поздно его движение повторится, следовательно, движение тела будет периодическим. Вооружившись своей новой теорией, в которой были объединены анализ и топология, Пуанкаре показал: существует бесконечно много замкнутых кривых, а следовательно, бесконечно много периодических решений.
На конкурс короля Оскара II двенадцать математиков представили двенадцать работ. Всего в пяти из них рассматривалась задача трех тел, но ни в одной не приводилось требуемого решения в виде степенного ряда. В итоге 20 января 1889 года, за день до шестидесятилетнего юбилея монарха, уважаемое жюри, получив одобрение короля, объявило победителем Анри Пуанкаре за статью «О задаче трех тел и уравнениях движения»: «Эта статья не может считаться полным решением предложенной задачи, однако она столь важна, что ее публикация откроет новую эру в истории небесной механики».
Французская пресса сочла Пуанкаре едва ли не героем, его победа расценивалась как триумф французской математики над немецкой, которой традиционно отдавалось первенство.
Однако вскоре стало понятно: что-то пошло не так. Когда Миттаг-Леффлер опубликовал статью Пуанкаре, астроном Йохан Аугуст Гуго Полден, подобно Немезиде, вместе с Леопольдом Кронекером незамедлительно провозгласил, что эта работа ничем принципиально не отличается от более ранней его работы, опубликованной в 1887 году.
Ситуация обострилась еще больше, когда несколько месяцев спустя, в июле 1889-го, на Пуанкаре с градом вопросов обрушился Эдвард Фрагмен, редактор журнала Acta Mathematica, который хотел прояснить непонятные моменты объемной статьи перед публикацией. Эрмит неспроста писал: «В этой работе, как и почти во всех остальных, Пуанкаре только показывает путь, однако требуется приложить немало усилий, чтобы устранить лакуны и закончить его работу».
Кроме того, в конце ноября сам автор обнаружил в статье грубую ошибку, о чем сообщил Миттаг-Леффлеру в письме, датированном 1 декабря:
«Сегодня утром я написал Фрагмену, чтобы сообщить о допущенной мной ошибке, но я сомневаюсь, что он даст тебе прочесть мое письмо. Однако последствия этой ошибки намного серьезнее, чем я изначально предполагал. Двоякоасимптотические решения [сепаратрисы, проходящие через седло] не являются замкнутыми кривыми… следовательно, не являются периодическими решениями. Верно лишь то, что две составляющие этой кривой [две сепаратрисы] пересекаются бесконечное число раз. Не буду говорить, какое беспокойство причинило мне это неприятное открытие. В статью необходимо внести много изменений».
Это письмо, несомненно, поразило редактора журнала и организатора конкурса: признание Пуанкаре серьезно подорвало авторитет жюри и организаторов. Миттаг-Леффлер оказался в крайне затруднительном положении. Он попытался изъять из обращения уже напечатанные копии статьи и не придавать огласке ошибку Пуанкаре, чтобы не повредить репутации ученого. Весь тираж очередного номера престижного журнала Acta Mathematica пришлось уничтожить — сохранился единственный экземпляр номера, который сейчас хранится в сейфе в Институте Миттаг-Леффлера. Между тем всего за два месяца, то есть за декабрь 1889-го и январь 1890 года, Пуанкаре полностью исправил все ошибки в своей работе, отправил ее в печать и оплатил публикацию из своего кармана, так как еще до участия в конкурсе согласился покрыть все накладные расходы. Пуанкаре заплатил более 3500 шведских крон при том, что в качестве премии он получил всего 2500 крон.
Прекрасный пример интеллектуальной честности.
В чем же заключалась ошибка Пуанкаре? Французский математик заявил, что нашел бесконечное множество периодических решений задачи трех тел, но потом обнаружил, что некоторые эти решения не были периодическими, так как не описывали замкнутые кривые. Именно благодаря этой грубой ошибке Пуанкаре смог обнаружить, что двоякоасимптотические решения, сепаратрисы, проходящие через седловые точки (эти точки Пуанкаре называл гомоклиническими), определяли хаотические орбиты.
Рассмотрим эту ситуацию подробнее. Пуанкаре и Бендиксон смогли доказать свою теорему на плоскости, в двух измерениях. Так как траектории на фазовой плоскости не могут пересекаться, число корректных траекторий невелико. Как мы уже показали, существует всего пять основных видов траекторий: они могут приближаться к особой точке, удаляться от нее (для фокусов, узлов и седел) либо периодически вращаться вокруг центра или вблизи предельного цикла.
В задаче трех тел, движущихся под действием сил взаимного притяжения, рассматривается трехмерное пространство, которое допускает куда больше сочетаний и возможных случаев. В фазовом пространстве все обстоит намного сложнее: траектории необязательно должны пересекаться — достаточно, чтобы они переплетались между собой. На плоскости, в отличие от трехмерного пространства, траектории не могут сплетаться. Кроме того, если число измерений пространства больше двух, система может иметь аттракторы, которые будут весьма заметно отличаться от особых точек (фокусов) и предельных циклов. Как вы узнаете из следующей главы, в многомерных пространствах возникают так называемые странные аттракторы, которые, как правило, сопутствуют хаосу.
Но как Пуанкаре справился с этими трудностями и нашел периодические решения в пространстве? Он применил метод, называемый сегодня сечениями Пуанкаре.
Так как изучать динамику на плоскости намного проще, чем в пространстве, ученый рассмотрел плоскость, заключенную в фазовом пространстве и полностью рассекающую трехмерный пучок траекторий. Нечто похожее мы делаем каждый день, когда проверяем, червивое ли яблоко: мы разрезаем его ножом и осматриваем поперечное сечение.
Допустим, что человек в течение всего дня носит с собой катушку ниток, разматывая ее. Нитка укажет траекторию этого человека. Теперь предположим, что мы неожиданно потеряли его след и не знаем, вернулся ли он домой. Как найти ответ? На помощь приходит топология, в частности теория Пуанкаре: плоскость, в которой располагается дверь дома нашего беглеца, станет сечением Пуанкаре.
Встанем у двери и сосчитаем, сколько нитей пересекает дверной порог. Если число нитей нечетно, наш незнакомец еще не вернулся, если же число нитей четно, он уже дома — это логично. Следовательно, если человек вернулся, то через дверной порог — наше сечение Пуанкаре — будет проходить четное число нитей. Выходит, изучение нитей (траекторий), пересекающих поверхность подобно тому, как нити пересекают порог (сечение Пуанкаре), дает важные результаты.
Пуанкаре указывал, что периодичность решения можно определить с помощью сечения Пуанкаре, если показать, что кривая в конечном итоге возвращается в ту же исходную точку, в которой пересекла сечение. Следовательно, сечение Пуанкаре фазового пространства отражает важнейшие аспекты решений дифференциального уравнения (в том числе их устойчивость).
По сути, Пуанкаре считал, что в каждом сечении будет наблюдаться типичная и не слишком сложная двумерная динамика, при которой траектории могут пересекаться только в особых точках. Однако он с ужасом обнаружил, что сепаратрисы седловых точек (две траектории, которые сталкиваются в гомоклинических точках) пересекаются, но не совпадают, а представляют собой две различные кривые, которые пересекаются снова и снова, образуя своеобразную решетку с бесконечным множеством точек пересечения. Оказалось, что трехмерная динамика, проекции которой содержатся в каждом сечении, невероятно сложна.
Поделиться книгой: