Помоги проекту - поделись книгой:
Дѣйствительныя, подлинныя арабскія цифры не имѣютъ никакого отношенія къ нашимъ, которыми мы пользуемся теперь. Прежде всего надо сказать, что первоначальное письмо арабовъ было грубо и некрасиво, и едва ли до VII в. по Р. X. были у нихъ какія-нибудь цифры. Только со временъ Магомета, когда сразу былъ данъ чрезвычайный толчекъ развитію арабскаго могущества и образованности, стало у нихъ процвѣтать и письмо. Арабы особенно любили выражать числа такъ, чтобы писать полныя числительныя имена; отсюда естественно вытекаетъ, что съ теченіемъ времени они перешли къ первымъ буквамъ числительныхъ именъ; впослѣдствіи, подобно грекамъ, они стали примѣнять буквы въ алфавитномъ порядкѣ.
Около 773 года по Р. X. арабы приняли индусскую систему цифръ и стали обозначать числа такъ, какъ ихъ обозначали индусы. Сдѣлать это было тѣмъ болѣе легко и естественно, что Индія граничила съ владѣніями арабскихъ халифовъ, и между сосѣдями постоянно были близкія сношенія и торговыя, и научныя.
Заслуга индусовъ въ развитіи ариѳметики громадна и неисчислима. Во-первыхъ, они сильно уменьшили количество цифръ и довели его до 10, считая въ томъ числѣ и нуль; между тѣмъ, у грековъ, у евреевъ, у сирійцевъ и т. д. цифръ было не менѣе 27; правда, римляне умѣли обходиться 7-ю цифрами, но за то у нихъ была маса мелкихъ значковъ, которые только спутывали и мѣшали. Во-вторыхъ въ индусской системѣ ясно проглядываетъ необыкновенная простота, точность и объединенность: каждый разрядъ выражается обязательноі одной цифрой, а не нѣсколькими; значеніе цифры легко угадать по мѣсту, которое она занимаетъ, и не надо задумываться ни надъ сложеніемъ, ни надъ вычитаніемъ сосѣднихъ знаковъ, какъ это бываетъ въ другихъ системахъ; кромѣ того, десятки, сотни, тысячи и милліоны и высшіе разряды пишутся точно такъ же, какъ простыя единицы, поэтому не надо изобрѣтать особенныхъ правилъ для высшихъ разрядовъ, а можно безконечно прилагать одно и то-же правило. Всѣ эти выгоды настолько ясны и безспорны, что всякій народъ, какъ только ознакомится со способомъ индусовъ и пойметъ его, то перемѣняетъ свою систему на ихъ систему. Такъ было и съ арабами, и съ Западной Европой, и съ нами русскими.
Главное преимущество индусской системы заключается въ томъ, что значеніе каждой цифры вполнѣ опредѣляется ея мѣстомъ, т.-е. если, наприм., цифра стоитъ на 4-мъ мѣстѣ справа, то она выражаетъ тысячи, и, слѣд., чтобы написать тысячу, надо только поставить цифру 1 на 4-е мѣсто, но не перемѣнять ея формы и не припиеывать какого-нибудь особеннаго слова или значка. Въ глубокой древности встрѣчались и среди иныхъ народовъ геніальные умы, которые какъ-то смутно догадывались, что значеніе цифры лучше всего опредѣляетсяется мѣстомъ, но всѣ они становились въ тупикъ передъ такимъ сомнѣніемъ: а какъ же быть, если какой-нибудь разрядъ въ числѣ пропущенъ, напр., если число состоитъ только изъ единицъ и сотенъ и не содержитъ десятковъ? Чѣмъ замѣщать недостающіе разряды? Индусы отвѣчали коротко и ясно: надо замѣщать нулемъ. И мы теперь, когда отвѣтъ извѣстенъ, пожалуй, удивляемся, чего тутъ труднаго, и какъ же было не смекнуть; но жизнь доказываетъ лучше всякихъ словъ, что самыя простыя и общія идеи всегда и самыя мудреныя. Вотъ что говоритъ относительно этого извѣстный французскій математикъ Лапласъ:
«Мысль выражать всѣ числа 9-ю знаками, придавая имъ, кромѣ значенія по формѣ, еще значеніе по мѣсту, настолько проста, что именно изъ-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Какъ нелегко было прійти къ этой методѣ—мы видимъ ясно на примѣрѣ величайшихъ геніевъ греческой учености, Архимеда и Аполлонія, для которыхъ эта мысль осталась скрытой».
Всѣ величайшія открытія никогда не являются вдругъ и сразу, наоборотъ для нихъ необходима продолжительная подготовка. Какъ же могли индусы прійти къ идеѣ обозначенія чиселъ? какъ они придумали нуль? Вѣрнѣе всего послѣ счета нагляднаго, т.-е. счета на пальцахъ, камешкахъ и черточкахъ они перешли къ спеціальнымъ счетнымъ приборамъ, именно къ шарикамъ и косточкамъ на проволокахъ и шнурахъ; затѣмъ естественно было чертить колонны на пескѣ, дощечкахъ и бумагѣ и въ эти колонки или желобки класть тѣ же косточки и шарики. Дальнѣйшая ступень: въ колоннахъ чертятся значки или кладутся въ нихъ костяшки съ награвированными цифрами; теперь остался одинъ шагъ и до того, чтобъ цифрамъ придавать значеніе по мѣсту; дѣйствительно, если всѣ колонны заняты, то ихъ края, пожалуй, можно и стереть, потому что и безъ нихъ можно догадаться, что первая справа костяішка обозначаетъ единицы, сосѣдняя, т.-е. вторая, десятки и т. д. Получится гладкая, ровная поверхность, на которой подрядъ лежатъ костяшки, или начерчены значки; но какъ же быть съ той колонной, въ которой нѣтъ значка, потому что въ данномъ числѣ нѣтъ соотвѣтствующихъ единицъ? Подобную колонну стирать нельзя, потому что иначе смыслъ всѣхъ другихъ, лежащихъ влѣво, измѣнится, но ее-то одну именно и достаточно начертить, положимъ въ такой формѣ: || или II или 0. Слѣдовательно, нуль образовался изъ фигуры пустой колонны.
Вотъ тотъ нормальный путь, которымъ можно постепенно отъ счета на предметахъ придти къ нулю. Путь этотъ очень продолжителенъ. Нужны тьсячелѣтія, чтобы отъ пальцевъ перейти къ счетнымъ приборамъ, и отъ нихъ къ письму.
Цифры индусовъ произошли, навѣрное, отъ первыхъ буквъ числительныхъ именъ; это тѣмъ болѣе возможно, что 9 первыхъ числительныхъ именъ въ ихъ языкѣ (въ санскритскомъ языкѣ) всѣ начинаются съ различныхъ буквъ. Индусская система разстановки цифръ отъ правой руки къ лѣвой по разрядамъ ведетъ начало съ III ст. по Р. X. Арабы ее переняли въ VIII столѣтіи и принесли въ Европу въ IX вѣкѣ, но до XIII вѣка она распространялась въ христіанскихъ государствахъ очень слабо, потому что сначала, какъ и все новое, была встрѣчена съ недовѣріемъ и съ трудомъ проникала въ народную массу. Нулемъ индусы стали пользоваться гораздо позже, около VІІ-го или VШ-го вѣка по Р. X. и во всякомъ случаѣ не ранѣе V-го. Опредѣленное извѣстіе о нулѣ мы встрѣчаемъ въ первый разъ въ 738 г. по Р. X.
Наши цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 получили, какъ признаетъ болынинство ученыхъ, начало отъ индусовъ, но это вовсе не значитъ, что цифры индусовъ имѣли именно такой видъ, какой онѣ имѣютъ у насъ.
Въ теченіе вѣковъ, переходя отъ народа къ народу и отъ ученаго къ ученому, измѣняясъ подъ вліяніемъ практики и удобства, онѣ успѣли почти совершенно потерять свою прежнюю форму и вылиться въ новую, непохожую; отъ старинныхъ первоначальныхъ индусскихъ цифръ остались только слабые намеки въ цифрахъ 1, 5, 8, да и то послѣдняя цифра писалась въ горизонтальномъ положенiи, вмѣсто вертикальнаго; но во всякомъ случаѣ совершенно возиожно прослѣдить, какъ изъ первоначальныхъ фигуръ постепенно получились дальнѣйшія; и вотъ эта-то возможность прослѣдить и доказываетъ намъ, что цифры получили начало у индусовъ. Въ XIII столѣтіи, когда индусская система сдѣлалась извѣстной всѣмъ европейскимъ математикамъ, мы видимъ 1, 3, 6, 8, 9, 0 въ той самой формѣ, въ какой онѣ употребляются и теперь, а остальныя четыре цифры не похожи на наши нынѣшнія. Въ XV столѣтіи окончательно выработались цифры 2 и 4, но 7 упорно продолжало писаться въ видѣ ижицы или угла. 5 дольше всѣхъ не получало нынѣшняго своего облика и продолжало изображаться схоже съ 4-мя. Едва въ XVI столѣтіи можно въ первый разъ встрѣтить систему 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 въ ея нынѣшнемъ, всѣмъ намъ извѣстномъ видѣ. Всю эту измѣнчивость цифръ легко объяснить тѣмъ, что до 1471 года, когда было отпечатано въ первый разъ математическое сочиненіе типографскимъ шрифтомъ, всѣ книги переписывались ручнымъ способомъ, и вліяніе переписчиковъ на измѣненіе формъ цифръ могло быть громаднымъ. Кромѣ того, надо принять во вниманіе, что развитіе цифровыхъ фигуръ шло въ теченіе многихъ сотенъ лѣтъ, и въ немъ принимали участіе почти всѣ образованные народы того времени. И если въ наши дни, когда образованіе достигло высокой степени объединенія, когда печатные шрифты получили устойчивую форму, все-таки замѣчается разнообразіе въ печатныхъ буквахъ и въ различныхъ почеркахъ, то, тѣмъ болѣе оно должно было проявляться въ средніе вѣка, когда произволу переписчиковъ открывалась широкая возможность. (Образцы различныхъ типовъ цифръ мы помѣщаемъ въ приложеніи 10-мъ въ концѣ книги).
Итакъ, мы изложили, какъ постепенно изъ индусскихъ цифръ образовались наши нынѣшнія. Однако же не всѣ ученые согласны съ тѣмъ, что дѣло шло именно такъ, а не иначе. Нѣкоторые изъ нихъ обратили вниманіе на то, что первыя 4 цифры древнихъ египтянъ, которыми выражаютъ порядковыя числительныя, и, кромѣ того, цифра 9 сильно напоминаютъ индусскія цифры. Если это такъ, то, значитъ, изобрѣтателями цифръ скорѣе надо счесть египтянъ, а не индусовъ. На это мы отвѣтимъ слѣдующее: подобное предположеніе очень возможно, тѣмъ болѣе, что есть въ исторіи намеки на какой-то древнѣйшій, миѳичеекій народъ—кушитовъ, обитателей Эѳіопіи и южной части Аравіи, они легко могли быть посредниками между Египтомъ и Индіей и передать цифры отъ египтянъ къ индусамъ.
Второе возраженіе ученыхъ касается того, что истиннымъ посредникомъ въ переносѣ индусскихъ цифръ въ Европу можно бы считать греческаго ученаго Пиѳагора, жившаго за 500 лѣтъ до Р. X. Въ такомъ случаѣ изобрѣтеніе цифръ отодвигается очеиь далеко. И это предположеніе опять можно допустить, потому что есть преданіе, что Пиѳагоръ много путешествовалъ, заходилъ въ далекіе края Азіи и вывезъ оттуда немало цѣнныхъ научныхъ изобрѣтеній. Но съ другой стороны, гораздо лучше дать вѣру иному предположенію, именно, что цифры индусовъ заимствовалъ не Пиѳагоръ, а его позднѣйшiе ученики, такъ наз. новопиѳагорейцы, жившіе въ Александріи, въ Египтѣ, во II–III ст. по Р. X. Они согласно этому предположенію сообщили цифры арабамъ, властителямъ сѣвернаго берега Африки и Испаніи, — маврамъ, а отъ арабовъ могли заимствовать испанцы и итальянцы.
Послѣдняя догадка, касающаяся нашихъ цифръ и, надо сказать, очень неосновательная, хотя и распространенная, заключается въ слѣдующемъ.
Будто бы каждая цифра образовалась изъ столькихъ точекъ или изъ столькихъ черточекъ, сколько въ этомъ числѣ единицъ. Если такъ, то цифра 4 состоитъ изъ Ч,
Но этого никакъ не можетъ быть, потому что это чрезвычайная натяжка и одна только игра остроумія. Такимъ путемъ можно всякую цифру привести къ столькимъ черточкамъ или точкамъ, къ сколькимъ угодно.
Конечно, единица подходитъ подъ эту гипотезу, и римскія цифры I, II, III, ІІІІ совершенно соотвѣтствуютъ ей, но съ индусскими цифрами ничего не сдѣлать. Лучшимъ же доказательствомъ несообразности является историческое развитіе цифръ, при которомъ онѣ много, много разъ мѣняли свою форму, дѣлались неузнаваемыми, походили одна на другую, и только точное изслѣдованіе историковъ могло разобраться и доказать, какъ изъ одной первоначальной формы вылилась другая окончательная, путемъ многихъ и долгихъ преобразованій. Да и странно было бы думать, что изобрѣтатели цифръ такіе глубокіе мудрецы, что вложили въ каждую цифру таинственный символъ и образовали цифры изъ соотвѣтствующаго числа черточекъ и точекъ.
Какъ сказано уже нами выше, цифры индусовъ были принесены въ Европу въ IX в. по Р. X., но до XIII в. онѣ распространялись очень слабо.
Причиной этого является недовѣріе, съ которымъ ученые среднихъ вѣковъ встрѣтили новинку, хотя бы и полезную. Средневѣковая школьная ученость (схоластика), правда, не гнушалась свѣтскими науками, но въ то же время она слишкомъ высоко ставила латинскій языкъ и римскую цивилизацію.
Западная Европа явилась преемницей и носительнщей научныхъ идей древняго Рима, поэтому-то такъ натурально вышло, что средневѣковая ариѳметика пользовалась исключительно римскимъ абакомъ и римскими цифрами; хотя едва ли римляне оставили другое болѣе неудачное и несовершенное наслѣдіе, чѣмъ ихъ система ариѳметики. Во всякомъ случаѣ преданіе, инерція превозмогли все, и долго, долго не рѣшались ученые среднихъ вѣковъ порвать связь съ абацистами, т.-е. послѣдователями римской ариѳметики, и превратиться въ «алгоритмиковъ», поклонниковъ учености арабской. Несмѣлыми шагами и тайкомъ, боясь навлечь на себя страшное обвиненіе въ еретичествѣ, пробирались сильные умомъ и волею ученые монахи въ Испанію, чтобы тамъ, въ центрахъ мавританской учености, въ Барселонѣ и Толедо, напитаться открытіями свѣжей и новой, чуждой имъ, образованности. Такъ сдѣлалъ Гербертъ, свѣтлый умъ своего времени, достигшій папскаго престола подъ именемъ Сильвестра II, (┼ 1003). Крестовые походы, съ ихъ массовымъ передвиженіемъ цѣлыхъ народовъ изъ странъ Европы въ государства Азіи, много содѣйствовали усвоенію науки греческой, арабской, персидской и индусской. Можно сказать, что ариѳметика едва ли въ такой степени обязана своимъ развитіемъ другому историческому движенію, въ какой она обязана Крестовымъ походамъ. И замѣчательно, что итальянцы, эти посредники въ сношеніяхъ Европы съ Азіей, особенно чувствовавшіе вліяніе Крестовыхъ походовъ, такъ какъ чрезъ нихъ лилась волна народа въ Азію, явились въ то же время и лучшими математиками. Индусы дали зерно настоящей ариѳметики, а итальянцы его выростили.
По роду своихъ занятій прикосновенные къ морской торговлѣ (недаромъ Христофоръ Колумбъ былъ родомъ итальянецъ), они особенно нуждались въ ариѳметикѣ для своихъ коммерческихъ вычисленiй, примѣняли ее въ банкахъ, конторамъ и т. д. и увѣковѣчили свое имя въ терминѣ «итальянская бухгалтерія». Индусы любили ариѳметику безкорыстно, какъ искусство, и до того ею увлекались, что даже устраивали цѣлые турниры и состязанія въ рѣшеніи ариѳметическихъ задачъ, итальянцы же приспособили ее прежде всего для цѣлей узкожитейскихъ.
Еще нѣсколько словъ объ индусахъ: имъ мы такъ обязаны усовершенствованіемъ ариѳметики. Это былъ народъ высококультурный, склонный къ отвлеченному мышленію. Едва ли какой-нибудь другой народъ на цѣломъ свѣтѣ любилъ настолько жить въ мірѣ идей, какъ это видимъ у индусовъ. Ихъ чистые созерцатели «факиры» пользуются всемірной извѣстноетью. Обѣ самыхъ распространенныхъ религіи Азіи, буддизмъ и браманизмъ, получили свое начало въ Индіи. Согласно съ этимъ, математика отличалась у индусовъ идейнымъ, отвлеченнымъ характеромъ и носила алгебраичеекую окраску, въ противоположность грекамъ, поклонникамъ природы и наглядности, которые болѣе любили устремляться на геометрическія построенія. Въ полетѣ своей математической фантазіи индусы явились изобрѣтателями даже не одной, а многихъ ариѳметическихъ системъ. Такъ, напр., индусъ Аріабгатта, ученый V в. по Р. X., бралъ 25 согласныхъ буквъ и ими выражалъ всѣ числа, начиная съ единицы и оканчивая 25-ю, особыми же буквами обозначалъ онъ и полные десятки до 100; а чтобы обозначить сотни, тысячи и т. д., онъ къ предыдущимъ знакамъ придавалъ гласныя буквы, при чемъ особая гласная обозначала сотни, особая тысячи и т. д. Наиримѣръ, «д» значитъ три, «да»—300, «ди»=30 000, «де» 30 000 000 000. Математики Южной Индіи для каждаго изъ однозначныхъ чиселъ имѣли по нѣскольку особыхъ значковъ, — буквъ, также имѣлось нѣсколько особыхъ знаковъ въ видѣ буквъ и для нуля. И вотъ, когда имъ приходилось обозначать разряды какого-нибудь длиннаго числа, она старались вмѣсто цифръ подставить буквы такъ, чтобы изъ нихъ составилось какое-нибудь слово, имѣющее смыслъ. Мало того, когда имъ приходилѳсь запоминать не одно число, а нѣсколько, то они рядъ чиселъ замѣняли цѣлой фразой, которая, опять-таки, имѣла смыслъ. И наконецъ, что всего удивительнѣе, при длинномъ рядѣ чиселъ, когда изъ нихъ составлялось нѣсколько фразъ, индусы ухитрялись сочинять цѣлые стихи и такимъ образомъ запоминать длинныя таблицы; для этого, конечно, нужна большая сноровка и многолѣтнія упражненія. И въ наше время среди индусовъ встрѣчаются такіе виртуозы, что въ умѣ совершаютъ головоломнѣйшія вычисленія, не прибѣгая къ помощи цифръ. Главный секретъ успѣха заключается въ этомъ случаѣ въ томъ, что они при устномъ счетѣ легко запоминаютъ всѣ промежуточные результаты, не теряютъ ихъ и не сбиваются, какъ это непремѣнно случилось бы съ нами; кромѣ того, конечно, помогаетъ имъ и привычка къ искусственнымъ и сокращеннымъ пріемамъ вычисленія, когда возможно столько упрощеній.
Распространеніе индусскихъ цифръ въ Россіи
Какія были цифры у нашихъ предковъ до введенія христіанства? Вѣрнѣе всего никакихъ.
Для своихъ небольшихъ разсчетовъ, надо полагать, они пользовались или пальцами, или нарѣзками на палочкахъ, иначе сказать бирками, которыми и сейчасъ пользуется темное крестьянство. Знакомство съ греками, введеніе христіанства и переводъ священныхъ книгъ на славянскій языкъ привели къ тому, что въ Россіи появилась своя славянская система цифръ, какъ простая копія и сколокъ греческой системы. Нерадостна и незавидна была участь ариѳметики въ Россіи. Нужды въ ней никакой особой не чувствовалось, по отсутствію образованности и торговли, и примѣнять ее необходимо было развѣ для вычисленія пасхаліи, т.-е. для опредѣленія дня Пасхи и другихъ переходящихъ праздниковъ. Наоборотъ, надо сказать, на ариѳметику смотрѣли косо, неласково и съ подозрѣніемъ; она была на замѣчаніи вмѣстѣ съ «Остронумѣей», ежеесть «звѣздочетье», и «волхвованіемъ». По мнѣнію проф. Бобынина, появленіе въ Россіи первыхъ ариѳметическихъ рукописей должно быть отнесено къ началу XII вѣка. Среди нихъ самая извѣстная: «Кирика діакона и доместика Новгородскаго Антоніева монастыря ученіе, имже вѣдати человѣку числа всѣхъ лѣтъ». Подлинники старинныхъ рукописей, къ большому сожалѣнію для науки, утерялись постепенно въ теченіе столѣтій, а также не перестаютъ утериваться и въ наши дни. Такъ, во время пожара Москвы въ 1812 году погибла древнѣйшая ариѳметика (XVI в.). «Сія книга рекома по-гречески Ариѳметика, а по-нѣмецки Алгоризма, а по-русски Цифирная Счетная мудрость». Самою замѣчательною изъ сохранив-шихся рукописей Бобынинъ признаетъ ариѳметику XVII в. съ такимъ характернымъ предисловіемъ:
«Пятая мудрость въ семи великихъ мудростѣхъ нарицается Ариѳметика. Начало мудростемъ: Грамматика, Геометрія, Астрономія, Музыка. Тѣ 4 мудрыя книги. Сія мудрость есть изыскана древними философи остропаримаго разума, нарицается ариѳметика, сирѣчь счетная—ариѳмосъ по-гречески счетъ толкуется. Безъ сея мудрости ии единъ философъ, ни докторъ не можетъ быти. По сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товарѣхъ и въ торгѣхъ силу знаютъ, и во всякихъ вѣсахъ и въ мѣрахъ, и въ земномъ верстаніи, и въ морскомъ теченіи. Сія мудрость есть многихъ въ прикуиѣхъ корысти сподобляетъ и честь да-руетъ и умъ человѣческій высокопаривъ творитъ, и память укрѣпляетъ, и острыхъ острѣе творитъ въ разумъ. И сего ради слыши сію мудрость и вонми яже глаголетъ. Ариѳметика. Азъ есмь отъ Бога свободная мудрость высокозрительнаго и остромысленнаго разума и добродатное придарованіе человѣческое. Мною человѣкъ превосходитъ безсловесное неразуміе. Азъ бо есмь своима легкима крылома парю выспрь подъ облаки, аще и нѣсть мя тамо. Азъ заочныя, невидимыя и предъочныя дѣла объявляю; въ солнечномъ же и въ лунномъ теченіи разумъ многимъ подаваю; и въ морскомъ плаваніи и въ земномъ верстаніи наставляю и мѣру указую; и въ купеческихъ вещѣхъ, и во всякихъ числѣхъ недоумѣніе разрѣшаю. И сего ради отъидете отъ меня иже меламколіею обдержаны суть, и у которыхъ мозги съ черною желчью смѣшаны, а моимъ ученикомъ достоитъ имѣти суптильный чистый и высокій разумъ».
Такія пышныя предисловія составляютъ характерную черту ариѳметикъ этого періода. Текстъ въ нихъ писанъ славянскими буквами, и цифры употребляются въ большинствѣ славянскія. Индусскія цифры сдѣлались извѣстными въ Россіи съ 1611 года и появились первоначально въ тѣхъ славянскихъ книгахъ, которыя печатались въ юго-западныхъ типографіяхъ. Здѣсь сказывается польское вліяніе: оно энергично воздѣйствовало на Россію въ XVII ст. и много сообщило намъ такого, что само получило отъ западно-европейской культуры.
Первоначально индусскія цифры употреблялись только для обозначенія страницъ въ книгахъ, а самый текстъ довольствовался славянскими цифрами. Въ 1647 г. въ Москвѣ издали книгу подъ заглавіемъ: «Ученіе и хитрость строенія пѣхотныхъ людей», въ ней цифры уже новыя, а не старыя—церковно-славянскія. Въ «Юрналѣ объ осадѣ Нотебурга» (1702 г.) половина экземпляровъ имѣла «числа русскія», т.-е. со славянскими цифрами, а другая «цифирныя».
Классическій и знаменитый трудъ по части ариѳметики —
«Ариѳметика, сирѣчь наука числительная. Съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведеная, и во едино собрана и на двѣ книги раздѣлена.
Сочинися сія книга чрезъ труды Леонтіа Магницкаго».
Это извѣстная ариѳметика Магницкаго (1703 г.), по которой учились всѣ во времена Петра Великаго; по ней работалъ самоучкой и нашъ великій Ломоносовъ. Это книга большого формата, напоминающая своей формой и шрифтомъ церковное Евангеліе или скорѣе Апостолъ. Въ ней болѣе 300 страницъ. Весь шрифтъ и обозначеніе страницъ — славянскіе, вычисленія же производятся на индусскихъ цифрахъ. Нумерація прямо и рѣшительно къ нимъ и переходитъ, минуя совершенно старые славянскіе знаки.
«Что есть нумераціо; нумераціо есть счисленіе еже совершенно вся числа рѣчію именовати, яже въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ содержатся и изображаются сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0».
Во времена послѣ-петровскія совершенно исчезаютъ славянскія цифры и славянскій текстъ. Книги принимаютъ такой шрифтъ и такую форму, какими мы пользуемся и теперь. Напоминаетъ лишь о старыхъ временахъ тяжелый слогъ и неупотребительныя въ настоящемъ литературномъ языкѣ выраженія. Вотъ выдержка изъ руководства къ ариѳметикѣ «для употребленія гимназіи при императорской академіи наукъ», переведеннаго въ 1740 г. съ нѣмецкаго языка «чрезъ Василья Адодурова, академіи наукъ адъюнкта»:
«Всякое число какъ бы оно велико ни было, изъявляется весьма коротко и способно слѣдующими знаками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которыхъ знаменованіе, когда оныя порознь разсуждаются, довольно извѣстно, и того ради никакова изъясненія больше не требуетъ».
Почти то же самое говоритея и въ сочиненіи Румовскаго (1760 г.):
«При счисленіи чиселъ больше не употребляется, какъ десять слѣдующихъ знаковъ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которыхъ знаменованіе всякому извѣстно».
Замѣчательно, что у Румовскаго совершенно то же выраженіе, что и у Адодурова «которыхъ знаменованіе довольно извѣстно». Вотъ какъ любятъ авторы черпать одинъ у другого не только доказательства и мысли, но и случайныя фразы. Неудивительно поэтому, что въ нашихъ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ все еще рѣшаютъ по ариѳметикѣ такія задачи, какія были въ сборникахъ тысячу лѣтъ тому назадъ.
Приведемъ еще небольшія выписки.
«Знаки, употребляемые въ исчисленіи, суть слѣдующіе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9».
Въ руководствѣ къ ариѳметикѣ, для употребленія въ народныхъ училищахъ Россійской Имперіи, изданномъ «отъ Главнаго училищъ правленія», 1825 г., говорится такъ:
«Знаки чиселъ суть слѣдующіе 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Еъ симъ еще принадлежитъ знакъ единицы 1, и знакъ 0, который по себѣ ничего не значитъ и потому нулемъ называется. Всѣ сіи знаки цифрами именуются».
Какъ видимъ, въ этой книжкѣ новшество, именно знакъ 1 стоитъ отдѣльно. Объяснить такой фактъ можно вліяніемъ нѣкоторыхъ математиковъ, ко-торые, согласно съ Пиѳагоромъ, учили, что единица сама по себѣ не есть число, но только образуетъ другія числа. Впрочемъ, подобное новшество скоро опять пропадаетъ, и уже въ 1834 году въ ариеметикѣ, составленной Павломъ Цвѣтковымъ, мы читаемъ совершенно по-просту и безъ затѣй:
«Всевозможныя числа изображаются десятью знаками или цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая изъ сихъ цифръ означаетъ опредѣленное и постоянное число единицъ».
Виды чиселъ
Какую цѣль преслѣдуетъ ариѳметика въ нашихъ школахъ? Очевидно, она желаетъ научить дѣйствіямъ и рѣшенію практическихъ задачъ. Но не всегда эта цѣль такой и была, потому что въ различные вѣка и при разныхъ научныхъ системахъ она то суживалась, то расширялась, то уклонялась въ сторону. Она суживалась до вычисленія одной только пасхаліи въ средневѣковыхъ христіанскихъ школахъ; она расширядась до изученія алгебры у индусовъ и арабовъ, до извлеченія корней въ недавнее время и до пропорцій въ наши дни; и корни, и пропорціи такъ же чужды настоящей ариѳметикѣ и ея цѣлямъ, какъ «раздѣленіе вѣтровъ во оризонтѣ» и «изображеніе кумпаса», пріютившіяся въ ариѳметикѣ Магницкаго. Но самымъ уродливымъ уклоненіемъ нашей науки съ ея истиннаго пути было то, когда вмѣсто вычисленій и дѣйствій ученые занимались классификаціей чиселъ и открытіемъ ихъ таинственныхъ свойствъ. А стремленіе къ такимъ занятіямъ не разъ прорывалось наружу, особенно у людей, настроенныхъ мистически. Среди нихъ первое мѣсто занимаетъ греческій философъ Пиѳагоръ и его послѣдователи. Онъ жилъ за 500 лѣтъ до Р. X. въ знаменательное время, когда приблизительно жили и дѣйствовали основатели новыхъ религій, Зороастръ въ Персіи и Конфуцій въ Китаѣ. То было мистически настроенное время, и Пиѳагоръ оказался усерднымъ его дѣтищемъ, такъ какъ вникалъ въ числа и искалъ въ нихъ ихъ внутренняго смысла. Онъ искалъ священныхъ чиселъ и выше всего ставилъ число 36, какъ символъ «всей вселенной», на томъ основаніи, что число 36 равно суммѣ первыхъ четырехъ четныхъ и первыхъ четырехъ нечетныхъ чиселъ: 36 = 1+3+5+7+2+4+6+8; числомъ 36 пользовались ученики Пиѳагора, какъ торжественной формулой клятвы. Число 9 было у нихъ символомъ постоянства, такъ какъ всѣ кратныя 9-ти имѣютъ суммой цифръ все-таки 9, именно: у дважды девяти, т.-е. у 18, сумма цифръ 1+8=9, у трижды девяти, т.-е. у 27-ми, 2+7=9, у 36-ти 3+6=9 и т. д. Число восемь было символомъ смерти, потолу что кратныя 8-ми, т.-е. 16, 24, 32, 40 имѣютъ все меньшую и меньшую сумму цифръ: 7, 6, 5, 4. Единица, по Пиѳагору, обозначала духъ, изъ котораго проистекаетъ весь видимый міръ. Изъ единицы происходитъ двойка, символъ матеріальнаго атома. Принимая въ себя опять единицу, двойка, или матеріальный атомъ, становится тройкой или подвижной частицей. Это символъ живого міра. Живой міръ плюсъ единица, слѣд., четверка, образуетъ цѣлое, т.-е. видимое и невидимое. Такъ какъ 10=1+2+3+4, то оно выражаетъ собою «Все». Пиѳагорейцы провозглашали число началомъ и основаніемъ всѣхъ вещей, такъ какъ, по ихъ словамъ, природа числа не допускаетъ никакого обмана, она закономѣрна и неизмѣнна, она проникаетъ въ неизвѣстное.
Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пиѳагореіцы; они не были въ этомъ случаѣ одинокими, потому что извѣстно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ариѳметики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ видѣ прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ суммѣ квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, имѣлъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 вѣка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII столѣтія и далѣе. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».
Христіанская средневѣковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. рѣшалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?
«А потому, — отвѣчаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».
Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ рѣшеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно суммѣ первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отвѣчаетъ.
Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслѣдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содѣйствовали теоріи ариѳметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ онѣ отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мѣсто въ элементарной ариѳметикѣ.
Дѣленіе чиселъ на четныя и нечетныя извѣстно было еще въ древнемъ Египтѣ; оно же было вполнѣ извѣстно и Пиѳагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кромѣ того, пиѳагорейцы раздѣлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ дѣлителей, а составными тѣ, которыя можно представить въ видѣ произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрѣли и на ариѳметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дѣйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случаѣ на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмѣръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.
Еще пиѳагорейцы выдѣлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосѣднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дѣленіемъ на 2; вотъ примѣры треугольныхъ чиселъ: 10=4·5/2, 15=5·6/2, 21=6·7/2, 28=7·8/2, 36=8·9/2 и т. д.
Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слѣдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.
Кромѣ того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумѣлись такія, которыя равны суммѣ всѣхъ своихъ дѣлителей, считая единицу; самый легкій примѣръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примѣромъ можетъ служить число 496; если сложить всѣхъ его множителей, считая и единицу, то въ суммѣ получимъ опять 496; множители слѣдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.
Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно суммѣ дѣлителей другого; лучшимъ примѣромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ дѣлители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмѣстѣ 284, а у второго дѣлители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ суммѣ число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нѣкій Мадштрити, умершій въ Мадридѣ въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цѣляхъ существующаго» пытается увѣрить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себѣ расположить. Другой авторитетный человѣкъ, нѣкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дѣйствительно эти числа имѣютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дѣлѣ это испытали и увѣрились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опытѣ въ этомъ же увѣрился.
Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что всѣ эти подраздѣленія и всѣ формулы разрабатывались въ школѣ Пиѳагора и уже отъ позднѣйшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практикѣ и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись замѣчать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отмѣчались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:
1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;
10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,
20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,
30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены
и т. д.
Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на раздѣленіи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, всѣ остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).
Когда свѣтъ христіанства распространился изъ Рима на всю Западную Европу, то вмѣcтѣ съ этимъ разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская ариѳиетика, но, за неимѣніемъ лучшей, она царила безраздѣльно во всей Европѣ до XIII–XIV вѣка, со своимъ абакомъ, римскими цифрами и пальцевымъ счетомъ. Скудна и бѣдна была теоретическая часть ариѳметики, но она цѣнилась тѣмъ выше, чѣмъ была бѣднѣе. Вслѣдствіе этого и раздѣленіе чиселъ на пальцевыя, суставныя и сочиненныя бережно хранилось, какъ что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось отъ одного ученаго къ другому даже тогда, когда Европа ознакомилась съ арабской ариѳметикой, и дошло почти до нашихъ дней, по крайней мѣрѣ, проявляло признаки жизни въ XVIII вѣкѣ, когда пропалъ и абакъ, в пальцевый счетъ. Римскія цифры оказались еще болѣе живучими, такъ что помѣщаются въ нашихъ ариѳметикахъ и проходятся въ школахъ по сегодняшній день. Въ послѣдній разъ мы видимъ пальцевыя, суставныя и сочиненныя числа въ славянской ариѳметикѣ Магницкаго (1703 г.). Въ ней говорится:
«Персты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Сія изображенія отъ многихъ называютея персты, а толико ихъ числомъ, елико и перстовъ есть по разумѣнію нѣкоторыхъ. Составы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200. Сія числа имянуются составы, зане цифрою 0 всегда въ десятеро составляютъ. Сочиненіе: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27. Сія числа сочиненія называются, понеже они изъ перстовъ и составовъ сочиняются».
Какъ видимъ, въ этихъ объясненіяхъ недостаетъ убѣдительности, да и примѣры-то взяты непослѣдовательно и односторонне. Впрочемъ, авторъ добавляетъ еще объясненіе, которое, пожалуй, не столько уясняетъ, сколько запутываетъ:
«Умствовати же вышеобъявленная перстовая, составная и сочиненная числа, въ сотни, въ тысящы и вящще, сочиненіе отъ правыя руки къ лѣвой изчисляя впредь въ десятеро»
Выговариваніе цифръ и чиселъ
Прежде всего, что значитъ слово «цифра»? Могу поспорить съ вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро рѣшите этотъ вопросъ и скажете: слово «цифра» значитъ знакъ (а можетъ-быть, вы скажете—знакъ числа). Но это совершенно невѣрно. Слово «цифра» имѣетъ совсѣмъ другое значеніе и притомъ довольно нео-жиданное: по-русски это будетъ «ничто». Какъ-же такъ „ничто“? вѣдь это нуль, а кромѣ нуля есть еще и значащія цифры, къ которымъ ужъ совсѣмъ нельзя примѣнить смысла «ничто»?
Объяснимъ все это недоразумѣніе подробно.
Изобрѣтатели нуля индусы дали ему названіе «суніа» (Sunya), что значитъ «пустое», и этимъ указали на смыслъ нуля, замѣняющаго пустыя колонны или пустые разряды.
Арабы, перенявши нуль и примѣняя его въ своей ариѳметикѣ, перевели кстати и индусское слово «пустое» на свой языкъ: по-арабски пустое будетъ ас-сифръ. И долго, очень долго сохранялся первоначальный смыслъ этого термина, такъ что цифрой называли только кружокъ, т.-е. нуль. Сравнительно недавно рѣшились оставить цифрѣ нуль ея латинское имя (нуль по-латыни значитъ ничто), арабскій же терминъ распространить на всѣ 10 знаковъ индусской системы. Даже въ ариѳметикѣ Магницкаго, о которой мы говорили на предыдущихъ страницахъ, подъ цифрой разумѣется только нуль, кружокъ, или какъ его называли въ XVII в., «онъ» (буква о). Вотъ какъ говоритъ Магницкій:
«Вся числа въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ содержатся, изъ нихъ же девять назнаменовательны суть, послѣднее-же 0 (еже цифрою или ничемъ именуется) егда убо (оно) едино стоитъ, тогда само о себѣ ничто-же значитъ, егда-же коему оныхъ знаменованій приложено будетъ, тогда умножаетъ въ десятеро».
Какъ видите, читатель, здѣсь вмѣсто слова цифра употребляется знаменованіе, а цифрой называется одинъ только нуль.
Таково происхожденіе слова «цифра». Чтобы перейти къ выговариванію чиселъ, прежде всего скажемъ, что всякій народъ, какой бы системой счета онъ ни пользовался, всегда дѣлилъ многозначныя числа, для удобства выговариванія и письма, на классы. Греки въ основу класса полагали 4 разряда: это, такъ наз., счетъ миріадами. Римляне же составляли классъ изъ 3 разрядовъ. Нашъ настоящій порядокъ, во всей его основѣ, примѣняться сталъ съ XVI столѣтія, при чемъ въ нѣкоторыхъ странахъ классъ составляется не изъ Зхъ, а изъ 6-ти разрядовъ, подраздѣляющихся, въ свою очередь на два подкласса, по 3 разряда въ каждомъ. Подобная система въ 6 разрядовъ ведетъ свое начало отъ голландскаго математика Альберта Жирара (1629 г.). Кстати можно вспомнить, что и у грековъ было нѣчто въ этомъ родѣ. Напр., великій математикъ Архимедъ, когда ему надо было выговаривать большія числа, считалъ въ каждомъ классѣ по 8 разрядовъ, вмѣсто 4-хъ.
Классы отдѣлялись другъ отъ друга при письмѣ различно: то между ними ставили черточки, то оставляли промежутки, иногда пользовались дугами, точками. Въ старинныхъ нѣмецкихъ учебникахъ можно чаще всего встрѣтить точки, и при томъ между 1 и 2 классомъ ставилась одна точка, между 2 и 3—двѣ и т. д., все больше и больше. Это помогало выговариванію. Въ самое послѣднее время (съ 8 окт, 1877 г.) принято въ Германіи и даже утверждено Союзнымъ совѣтомъ, чтобы классъ отъ класса отдѣлялся промежутками, но никакъ не точкой, запятой и черточкой. Съ тѣхъ поръ во многихъ математическихъ книгахъ стали пользоваться именно этимъ порядкомъ.
Названіе большихъ чиселъ, начиная съ милліона, стали объединяться и вырабатываться прежде всего въ Италіи, которая въ началѣ новыхъ вѣковъ справедливо могла считаться колыбелью математики. Такъ, терминъ «милліонъ» вошелъ тамъ въ употребленіе въ концѣ XV вѣка. Слово «милліардъ», въ смыслѣ тысячи милліоновъ, образовалось во Франціи въ первой половинѣ XIX вѣка. Билліонъ и трилліонъ введены въ XVII столѣтіи; но къ новымъ терминамъ привыкаютъ очень медленно, а поэтому и въ XVI столѣтіи можно было натолкнуться на такое чтеніе: 23 раза по тысячью тысячѣ тысячъ, 456 разъ по тысячѣ тысячъ, 345 тысячъ 678: все это равно числу 23 456 345 678
Число и порядокъ дѣйствій, знаки и опредѣленія
На вопросъ, сколько ариѳметическихъ дѣйствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школѣ, можетъ отвѣтить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. Но не всегда было такъ; прежде дѣйствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ариѳметики, но съ раздѣленіемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое дѣйствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выдѣлялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ дѣйствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.
Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разумѣть подъ дѣйствіемъ. Мы разумѣемъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за дѣйствіе.
Удвоеніе числа и дѣленіе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и дѣленія, а особымъ дѣйствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому въ борьбѣ новой арабской ариѳметики со старой римской, когда въ XIII–XIV вв. столкнулись латинская схоластика съ индусской математикой, удвоеніе и раздвоеніе стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались въ качествѣ очень полезной и важной мѣры для лучшаго усвоенія дѣйствій. Ученый англичанинъ Сакро-Боско, жившій въ XIII столѣтіи, рекомендовалъ начинать дѣленіе пополамъ справа, т.-е. съ низшихъ разрядовъ, подобно сложенію и вычитанію, а удвоеніе—слѣва, съ высшихъ разрядовъ, какъ это дѣлалъ онъ и въ умноженіи вообще и въ дѣленіи. Сейчасъ намъ совершенно непонятно, какія такія удобства могли бы представиться, если бы начинать дѣленіе справа, а умноженіе слѣва; мы, по крайней мѣрѣ, стали бы производить эти дѣйствія совершенно наоборотъ. Навѣрное, такія же причины заставили и средневѣковыхъ математиковъ поглубже вдуматься, есть ли, дѣйствительно, польза отъ того, чтобы удвоеніе и раздвоеніе отличать отъ простого умноженія и дѣленія; пришлось сознаться, что это только частные случаи главныхъ дѣйствій; первый, кто авторитетно заявилъ объ этомъ, былъ итальянецъ Лука Пачіоло (1500 г.). Онъ перешелъ къ нашему обыкновенному способу дѣленія.
Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ариѳметики почти до самаго послѣдняго времени. Эти два правила помѣщались въ ариѳметикѣ до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго[6] столѣтія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, слѣд., лучшее имъ мѣсто въ алгебрѣ.
Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ариѳметики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за дѣйствіе и принималъ только слѣдующія шѣсть: сложеніе, вычитаніе, дѣленіе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и дѣленіе. Послѣдовательность дѣйствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой долѣ цѣлесобразности, въ смыслѣ перехода отъ легкаго къ болѣе трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали послѣ сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ дѣленіемъ. И они поступали въ этомъ случаѣ основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а дѣленіе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію дѣлителя изъ дѣлимаго.
Въ только что минувшемъ XIX столѣтіи нѣкоторые нѣмецкіе педагоги придумали изъ одного дѣленія образовать 2 дѣйствія, именно, во-первыхъ, когда требуется раздѣлить число на нѣсколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое раздѣленіе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе нѣтъ 2-хъ различныхъ дѣйствій, а есть только два вида одного дѣйствія, при чемъ въ первомъ видѣ отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отдѣльные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: дѣлимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или дѣлимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все дѣлимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.
Поговоримъ теперь о знакахъ ариѳметичесвихъ дѣйствій и прежде всего отмѣтимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи нѣчто въ родѣ нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ концѣ книги). Позднѣе (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вмѣсто знака равенства букву і, начальную букву слова «ισοι», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случаѣ, когда количества писались рядомъ, потому что, дѣйствительно, здѣсь можно подразумѣвать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ видѣ цѣлаго слова, которое, въ переводѣ на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили налѣво, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно всѣмъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ лѣвой, а не отъ лѣвой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть послѣдняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только дѣйствіе, но и порядокъ дѣйствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ родѣ:
26
X
34
Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отдѣльныхъ произведенія: 20×4, 6×30, 6×4, 20×30, изъ нихъ два вертикально и два крестъ на крестъ. Этотъ способъ иначе называется хіазмомъ, потому что косой крестъ походитъ на греческую букву χ (хи), и самый знакъ умноженія назывался иногда «хи». Замѣчательно, что онъ же продолжительное время служилъ и знакомъ дѣленія дробей, такъ какъ въ этомъ случаѣ тоже приходится выполнять дѣйствіе крестъ накрестъ: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христіанъ Вольфъ въ XVIII ст. предложилъ обозначать умноженіе точкой. Наши знаки плюсъ и минусъ въ ихъ нормальной формѣ встрѣчаются въ первый разъ около 1489 г. въ ариѳметикѣ лейпцигскаго профессора Видмана. Съ 1600 г. уже во всѣхъ четырехъ дѣйствіяхъ можно видѣть настоящіе знаки.
Теперь поведемъ рѣчь объ опредѣленіяхъ дѣйствій. Что показываетъ опредѣленіе? Оно указываетъ смыслъ дѣйствія и его сущность. Такъ, напр., опредѣленіемъ умноженія цѣлыхъ чиселъ служитъ слѣдующее: «умноженіемъ называется такое ариѳметическое дѣйствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числѣ». Надо сказать, что опредѣленія въ первоначальной арабской ариѳметикѣ были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ дѣйствительно являлась надобность, т.-е. когда дѣйствіе безъ опредѣленія представлялось неяснымъ и смѣшивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, средневѣковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опредѣленіямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опредѣленій даже и въ тѣхъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не смѣшиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжеловѣсно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ цѣлымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ грудѣ которыхъ нерѣдко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опредѣлевія не мало мучили учащихся; средневѣковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало содѣйствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни замѣтно еще нѣкоторое вліяніе средневѣковой схоластики, особенно въ нѣмецкой школѣ. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:
«Для нѣмца недостаточно понимать вещь: но ему непремѣнно нужно опредѣлить ее и дать ей мѣсто въ системахъ своихъ знаній. Опредѣленіями пустѣйшихъ и ничтожнѣйшихъ предметовъ набиты кипы нѣмецкихъ учебниковъ. Безъ опредѣленія для нѣмца и вещь не вещь».
Приведемъ нѣсколько примѣровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опредѣленія. Въ русской ариѳметикѣ Румовскаго (1760 г.) относительно дѣленія сказано такъ:
«Дѣленіе есть способъ изъ данныхъ двухъ чиселъ D и M находить третіе E, въ которомъ бы столько разъ содержалась единица, сколько разъ одно изъ данныхъ двухъ чиселъ D въ другомъ данномъ M содержится».
Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зрѣнія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ цѣлью такъ затемнилъ смыслъ яснаго дѣйствія дѣленія; вѣдь пятилѣтніе ребята, если имъ дать яблоко и велѣть раздѣлить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ рѣшатъ задачу, но авторъ этой ариѳметики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ содѣйствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опредѣленія Грамматеуса (XVI в.):
«Сложеніе, или суммированіе, показываетъ сумму нѣсколькихъ чиселъ. Умноженіе, или увеличеніе, описываетъ, какъ умножать одно число на другос или увеличивать. Вычитаніе, или отниманіе, открываетъ, какъ число вычитать, или какъ одно число отнимать отъ другого, чтобы видѣть остатокъ».
Здѣсь только одна замѣна словъ и нѣтъ никакой помощи для смысла.
Сложеніе цѣлыхъ отвлеченныхъ чиселъ
Поделиться книгой: