Мир в ореховой скорлупке [илл. книга-журнал]

Волновая функция определяет вероятности того, что частица будет иметь разные положения и скорости, таким образом, что Ах и Av удовлетворяют принципу неопределенности.

Волновая функция — это числовое значение в каждой точке пространства, которое дает вероятность того, что частица обнаружится в данном месте. Быстрота, с которой волновая функция изменяется от точки к точке, говорит нам о том, насколько вероятны различные скорости частицы. Некоторые волновые функции имеют четкий пик в определенной точке пространства. В таких случаях существует лишь небольшая неопределенность в положении частицы. Но из диаграммы видно, что в этом случае волновая функция быстро меняется в окрестности данной точки — поднимается с одной стороны и падает с другой. Это означает, что распределение вероятности для скорости является очень широким. Иными словами, велика неопределенность скорости. Рассмотрим, с другой стороны, непрерывную череду идущих друг за другом волн. Теперь велика неопределенность положения, но мала неопределенность скорости. Так что описание частицы при помощи волновой функции не имеет хорошо определенного положения или скорости. Оно удовлетворяет принципу неопределенности. Теперь понятно, что волновая функция — это все, что поддается точному определению. Мы не можем даже предположить, что частица имеет положение и скорость, которые известны Богу, но скрыты от нас. Подобные теории со «скрытыми переменными» дают предсказания, которые не согласуются с наблюдениями. Даже Бог ограничен принципом неопределенности и не может знать сразу и положения, и скорости — только волновую функцию.

Скорость, с которой волновая функция изменяется во времени, задается так называемым уравнением Шрёдингера (рис 4.5).

Рис. 4.5 Уравнение Шредингера

Эволюция во времени волновой функции Ψ определяется оператором Гамильтона Н, который связан с энергией рассматриваемой системы.

Зная волновую функцию в один момент времени, можно использовать уравнение Шрёдингера, чтобы вычислить ее в любой другой момент — прошлый или будущий. Таким образом, детерминизм сохраняется в квантовой теории, но в меньшем объеме. Вместо того чтобы предсказать сразу и положение, и скорость, мы можем предсказать только волновую функцию. Это позволяет нам точно предсказывать либо положения, либо скорости, но не то и другое. Так что в квантовой теории возможность делать точные предсказания ровно вдвое меньше, чем в классической лапласовской картине мира. Тем не менее в этом ограниченном смысле можно по-прежнему утверждать, что детерминизм в ней сохраняется.

Между тем использование уравнения Шрёдингера для отслеживания изменений волновой функции во времени (то есть для предсказания того, какой она станет в будущем) неявно предполагает, что время всегда и везде течет равномерно. Это, конечно, верно для ньютоновской физики. В ней время считалось абсолютным, и это означало, что каждое событие в истории Вселенной помечено числом, называемым моментом времени, и что последовательности временных меток непрерывно тянутся из бесконечного прошлого в бесконечное будущее. Это можно назвать общепринятым представлением о времени, которое лежит в основе всех суждений у большинства людей и даже у большинства физиков. Но в 1905 г., как мы уже знаем, концепция абсолютного времени была ниспровергнута специальной теорией относительности, в которой время не было больше независимом, самодостаточной величиной, а стало лишь одним из направлений в четырехмерном континууме, называемом пространством-временем. В специальной теории относительности различные наблюдатели движутся сквозь пространство-время с разными скоростями и в разных направлениях. У каждого наблюдателя есть своя собственная мера времени вдоль пути, который он проходит, и разные наблюдатели измеряют разные интервалы времени между одними и теми же событиями (рис. 4.6).

Рис 4.6

В плоском пространстве-времени специальной теории относительности наблюдатели, движущиеся с разной скоростью, будут по-разному измерять время, но мы можем использовать уравнение Шрёдингера в любом из этих времен для предсказания того, что произойдет с волновой функцией в будущем.

Итак, в специальной теории относительности нет абсолютного времени, которое можно использовать для пометки событий. Но вместе с тем пространство специальной теории относительности плоское. Это означает, что в ней время, измеряемое любым свободно движущимся наблюдателем, равномерно растет от минус бесконечности в прошлом до плюс бесконечности в будущем. Любую из этих временных шкал можно использовать в уравнении Шрёдингера, описывающем эволюцию волновой функции. Так что в специальной теории относительности по-прежнему в силе квантовая версия детерминизма.

Ситуация меняется в общей теории относительности, где пространство-время не плоское, а искривленное и деформируется под воздействием находящихся в нем материи и энергии. В нашей Солнечной системе кривизна пространства-времени столь незначительна, что не создает помех привычному для нас представлению о времени. В этом случае мы можем продолжать использовать время в уравнении Шрёдингера для определения детерминированной эволюции волновой функции. Однако, позволив пространству-времени искривляться, мы тем самым открываем двери перед возможностью появления такой структуры, в которой не для всякого наблюдателя время будет плавно увеличиваться, что требуется для осмысленного его измерения. Например, представим себе пространство-время как вертикальный цилиндр (рис. 4.7).

Рис. 4.7 Время останавливается

Ход времени неизбежно останавливался бы в точках стагнации, где ручка примыкает к основному цилиндру. В этих точках время не будет увеличиваться ни в каком направлении. Поэтому невозможно использовать уравнение Шрёдингера, чтобы предсказать, какой станет волновая функция в будущем.

По высоте цилиндра будет измеряться время, которое увеличивается для каждого наблюдателя и течет от минус бесконечности к плюс бесконечности. Но вообразите теперь, что пространство-время подобно цилиндру с ручкой (или «кротовой норой»), которая сначала отходит от него, а потом, изогнувшись, присоединяется в другой точке. Теперь любая шкала времени неизбежно будет иметь точки стагнации, в которых ручка примыкает к цилиндру и где время останавливается. В этих точках для любого наблюдателя время не будет расти. В таком пространстве-времени нельзя использовать уравнение Шрёдингера для предсказания детерминированной эволюции волновой функции. Проследите за кротовой норой: вы никогда не знаете, что из нее может появиться.

Именно из-за черных дыр мы считаем, что время увеличивается не для каждого наблюдателя. Первая дискуссия о черных дырах возникла в 1783 г. Бывший кембриджский профессор Джон Мичелл представил следующее рассуждение. Если некто выстрелит пробной частицей, например пушечным ядром, вертикально вверх, подъем будет замедляться тяготением и в конце концов частица прекратит двигаться вверх и станет падать (рис. 4.8).

Рис 4.8

Однако если начальная, направленная вверх скорость превышает критическое значение, называемое скоростью убегания, гравитации никогда не удастся остановить частицу и вернуть ее обратно. Для Земли скорость убегания составляет около 11,2 км/с, для Солнца — около 618 км/с.

Обе эти скорости убегания много больше скорости реального пушечного ядра, но они малы по сравнению со скоростью света, которая составляет 300 ООО км/с. Так что свет уходит с Земли и с Солнца без особых трудностей. Однако Мичелл рассудил, что должны быть звезды, которые намного массивнее Солнца и у которых скорости убегания больше скорости света (рис. 4.9).

Рис 4.9

Мы не сможем увидеть эти звезды, поскольку любой испущенный ими луч света будет притянут назад гравитацией звезды. Так что это будут темные звезды, как их назвал Мичелл, или черные дыры, как зовем их теперь мы.

Идея Мичелла о темных звездах основывалась на ньютоновской физике, в которой время было абсолютным и шло независимо от происходящих событий. Поэтому они не влияли на нашу способность предсказывать будущее в рамках классической ньютоновской картины мира. Но ситуация стала иной в общей теории относительности, где массивные тела искривляют пространство-время.

В 1916 г., вскоре после того, как теория была впервые сформулирована, Карл Шварцшильд (умерший немного времени спустя от болезни, подхваченной на русском фронте в Первую мировую) нашел решение уравнений поля общей теории относительности, которое соответствовало черной дыре. Смысл и значение того, что обнаружил Шварцшильд, оставались неоцененными на протяжении многих лет. Сам Эйнштейн никогда не верил в черные дыры, и его отношение разделялось большинством релятивистов старой гвардии. Я помню, как приехал в Париж, чтобы рассказать на семинаре о моем открытии того, что в квантовой теории черные дыры не совсем черные. Мой семинар оказался весьма скучным, поскольку в то время почти никто в Париже не верил в черные дыры. К тому же французам казалось, что это название, которое они перевели как trou noir, имеет двусмысленные сексуальные коннотации и должно быть заменено на aster occlu, то есть «скрытая звезда». Однако ни это, ни другие предложенные названия не привлекли такого внимания публики, как термин «черная дыра», который впервые ввел Джон Арчибальд Уилер, американский физик, вдохновивший многие современные работы в этой области.

Швардшильдовская черная дыра

В 1916 г. немецкий астроном Карл Шварцшильд нашел решение уравнений теории относительности Эйнштейна, которое соответствует сферической черной дыре. Работа Шварцшильда открыла поразительное следствие общей теории относительности. Он показал, что, если масса звезды сконцентрирована в достаточно малой области, гравитационное поле на ее поверхности становится настолько сильным, что даже свет не может из него вырваться. Это и есть то, что мы теперь называем черной дырой, — область пространства-времени, окруженная так называемым горизонтом, из которой ничто, в том числе свет, не может ускользнуть, чтобы достичь удаленного наблюдателя.

Долгое время большинство физиков, включая Эйнштейна, скептически относились к возможности того, что такие конфигурации материи могут существовать в реальной Вселенной. Но теперь мы понимаем, что любая достаточно тяжелая невращающаяся звезда, как бы ни были сложны ее форма и внутреннее строение, исчерпав ядерное топливо, неизбежно коллапсирует и превращается в идеально сферическую шварцшильдовскую черную дыру. Радиус R горизонта событий черной дыры зависит только от ее массы; он определяется по формуле

где G — — гравитационная постоянная Ньютона; М — масса черной дыры; с — скорость света. Черная дыра с такой же массой, как у Солнца, будет иметь радиус всего 3 км.

Открытие квазаров в 1963 г. вызвало всплеск теоретических работ о черных дырах и попыток их обнаружить путем наблюдения (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Квазар ЗС273, первый из открытых кзвазизвездных радиоисточников, вырабатывает огромное количество энергии в очень небольшой области. Падение вещества в черную дыру, по-видимому, единственное, что может объяснить столь высокую светимость.

И вот какая картина в итоге предстала перед нами. Рассмотрим судьбу звезды с массой в 20 раз больше солнечной. Такие звезды образуются из облаков газа, подобных Туманности Ориона (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Звезды образуются в облаках газа и пыли, подобных Туманности Ориона.

Когда газ сжимается под действием собственного тяготения, он нагревается и в конце концов становится достаточно горячим, чтобы в нем начались ядерные реакции, превращающие водород в гелий. Выделяемое в этом процессе тепло создает давление, которое поддерживает звезду, позволяя ей противостоять собственной гравитации, и останавливает дальнейшее сжатие. Звезда будет пребывать в этом состоянии длительное время, сжигая водород и излучая свет в космос.

Гравитационное поле звезды будет влиять на траектории исходящих от нее световых лучей. Можно нарисовать диаграмму, на которой время направлено вверх, а расстояние от центра звезды — горизонтально (рис. 4.12).

Рис. 4.12 / 4.13 Пространство-время вокруг неколлапсирующей звезды

Рис. 4.12: Световые лучи могут уходить с поверхности звезды (красные вертикальные линии). Вдали от звезды лучи идут под углом 45° к вертикали, но рядом со звездой искривление пространства-времени массой звезды заставляет лучи света идти под меньшим углом к вертикали.

Рис. 4.13: Если звезда коллапсирует (красные линии сходятся в точку), искривление становится столь сильным, что лучи света вблизи поверхности идут внутрь. Это и есть образование черной дыры — области пространства-времени, из которой не может выйти свет.

На этой диаграмме поверхность звезды представлена двумя вертикальными линиями — по одной с каждой стороны от центра. Будем считать, что время измеряется в секундах, а расстояние — в световых секундах (так называют расстояние, которое свет проходит за секунду). При использовании этих единиц скорость света равна 1, то есть 1 световой секунде в секунду Это означает, что вдали от звезды и ее гравитационного поля путь светового луча на диаграмме составляет угол 45° с вертикальной осью. Однако ближе к звезде искривление пространства-времени, вызванное ее массой, изменит путь светового луча, заставив его идти под меньшим углом к вертикали.

Массивные звезды перерабатывают свой водород в гелий намного быстрее, чем Солнце. Это значит, что они исчерпывают свои запасы водорода всего за несколько сотен миллионов лет[11]. После этого звезды оказываются перед лицом кризиса. Они могут сжигать гелий, превращая его в более тяжелые элементы, такие как углерод и кислород, но эти ядерные реакции высвобождают немного энергии, так что звезды теряют тепло и тепловое давление, которое позволяет им противостоять гравитации. Поэтому они начинают уменьшаться. Если они более чем вдвое превышают по массе Солнце, давление никогда не поднимется настолько, чтобы остановить сжатие. Такие звезды коллапсируют до нулевых размеров и бесконечной плотности, образуя то, что называется сингулярностью.

Горизонт, внешняя граница черной дыры, образован световыми лучами, которые были на грани ухода от черной дыры, но уже не смогли вырваться и «зависли» на постоянном расстоянии от центра.

На диаграмме «время — расстояние от центра» при сжатии звезды пути световых лучей с ее поверхности будут идти под все меньшим и меньшим углом к вертикали. Когда звезда достигнет некоторого критического радиуса, их путь на диаграмме станет вертикальным, а это означает, что свет будет висеть на постоянном расстоянии от центра звезды, никогда не покидая ее. Этот критический путь света очерчивает поверхность, называемую горизонтом событий, которая отделяет область пространства-времени, откуда свет может выйти, от той, откуда он выйти не может. Любой свет, испускаемый звездой после пересечения ею горизонта событий, будет завернут обратно за счет искривления пространства-времени. Она станет одной из темных звезд Мичелла или, как мы теперь говорим, черной дырой.

Как обнаружить черную дыру, если из нее не может выйти свет? Ответ состоит в том, что черная дыра продолжает притягивать окружающие объекты с той же силой, с какой это делало сколлапсировавшее тело. Если бы Солнце без потери массы превратилось в черную дыру, планеты продолжали бы обращаться по орбитам так же, как ныне.

Поэтому один способ поиска черных дыр состоит в наблюдении вещества, которое обращается вокруг того, что представляется невидимым компактным объектом. Наблюдается целый ряд таких систем. Пожалуй, наиболее впечатляющи гигантские черные дыры, встречающиеся в центрах галактик и квазаров (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Сверху вниз:

Галактика NGC4151, снятая широкоугольной планетной камерой.

Горизонтальная линия, пересекающая изображение, порождена светом, который испущен черной дырой в центре NGC 4151.

Изображение, показывающее скорости излучающего кислорода. Все факты говорят о том, что NGC 4151 содержит черную дыру массой в 100 млн раз больше Солнца.[12]

Обсуждавшиеся до сих пор свойства черных дыр не создают никаких серьезных проблем для детерминизма. Для астронавта, который падает в черную дыру и попадает в сингулярность, время заканчивается. Однако в общей теории относительности каждый волен отсчитывать время с разной скоростью в разных местах. Можно поэтому ускорять часы астронавта по мере его приближения к сингулярности, так что они по-прежнему зарегистрируют бесконечный интервал времени[13]. На той же диаграмме «время — расстояние» (рис. 4.15) поверхности постоянных значений этого нового времени все плотнее располагались бы у центра под той точкой, где появляется сингулярность. Но они согласовывались бы с обычными отсчетами времени в почти плоском пространстве вдали от черной дыры.

Астронавт опустился на поверхность коллапсирующей звезды в 11:59:57 и вместе со звездой сжимается ниже критического радиуса, за которым гравитация столь сильна, что никакой сигнал не может оттуда выйти. На корабль, который обращается вокруг звезды, он посылает сигналы с регулярными интервалами по своим часам.

Наблюдающий за звездой с расстояния никогда не увидит, что она пересекла свой гравитационный радиус и вошла в черную дыру. Для него все будет выглядеть так, будто звезда зависла над самым критическим радиусом, а часы на ее поверхности замедлили свой ход и остановились.

Можно использовать это время в уравнении Шрёдингера и вычислить волновую функцию в более позднее время, зная ее исходное состояние. Так что у нас все еще остается детерминизм. Это лучше, чем ничего, однако позднее часть волновой функции оказывается внутри черной дыры, где ее никто не может наблюдать снаружи. Поэтому наблюдатель, который достаточно разумен, чтобы не упасть в черную дыру, не сможет прогнать уравнение Шрёдингера назад и вычислить волновую функцию в более ранние времена. Для этого ему надо было бы знать часть волновой функции, которая находится внутри черной дыры. Она содержит информацию о том, что упало в черную дыру. Потенциально это может быть огромный объем информации, поскольку черная дыра с заданной массой и скоростью вращения может быть образована очень большим числом сочетаний частиц; черная дыра не зависит от природы тела, коллапс которого привел к ее образованию. Джон Уилер сформулировал это так: «Черная дыра не имеет волос», чем укрепил французов в их подозрениях.

Джон Уилер

Джон Арчибальд Уилер родился в 1911 г. в Джексонвилле, Флорида. Он получил степень доктора в 1933 г. за работу по рассеянию света на атомах гелия. В 1938 г. Уилер работал с датским физиком Нильсом Бором над теорией ядерного распада. Позднее вместе со своим аспирантом Ричардом Фейнманом вплотную занялся электродинамикой, но вскоре после этого США вступили во Вторую мировую войну, и обоих ученых привлекли к участию в Манхэттенском проекте.

В начале 1950-х гг. под впечатлением от статьи Роберта Оппенгеймера о гравитационном коллапсе, опубликованной в 1939 г., Уилер заинтересовался общей теорией относительности Эйнштейна. В то время большинство специалистов были увлечены ядерной физикой, полагая, что общая теория относительности не имеет практически никакого отношения к реальному физическому миру. Работая почти в одиночку, Уилер изменил этот взгляд как своими исследованиями, так и тем, что читал в Принстоне первый курс лекций по теории относительности.

Значительно позднее, в 1969 г., он придумал термин «черная дыра» для сколлапсированного состояния материи, в существование которого мало кто верил. Вдохновленный работами Вернера Израэля, он выдвинул предположение о том, что «черные дыры не имеют волос». Иначе говоря, сколлапсированное состояние любой невращающейся массивной звезды действительно может быть описано решением Шварцшильда.

Трудности для детерминизма возникли, когда я открыл, что черные дыры не вполне черные. Как было показано в главе 2, квантовая теория говорит, что поля не могут быть в точности нулевыми, даже в вакууме. Если бы они оказались нулевыми, то обладали бы точной величиной или положением, равным нулю, и точно известным темпом изменения или скоростью, тоже равной нулю. Это было бы нарушением принципа неопределенности, который утверждает, что нельзя одновременно точно определить и положение, и скорость. Все поля должны испытывать так называемые вакуумные флуктуации некоторой величины (аналогично маятнику с нулевыми колебания из главы 2). Флуктуации вакуума можно интерпретировать несколькими способами, которые кажутся различными, но в действительности математически эквивалентны. С позитивистской точки зрения мы свободны использовать тот взгляд, который наиболее эффективен для решения конкретной задачи. В данном случае полезно рассматривать флуктуации вакуума как появление пар виртуальных частиц, которые возникают вместе в некоторой точке пространства-времени, разлетаются, а затем сходятся и аннигилируют друг с другом. «Виртуальные» означает, что эти частицы недоступны для непосредственного наблюдения, но их побочные эффекты могут быть измерены и согласуются с теоретическими предсказаниями с поразительной степенью точности (рис. 4.16).

Рис. 4.16

В пустом пространстве пары частиц появляются, ведут недолгое существование, а затем аннигилируют друг с другом.

В присутствии черной дыры одна из частиц пары может упасть в черную дыру, в то время как другая свободно уйдет на бесконечность (рис. 4.17). Издали такие частицы будет казаться испущенными черной дырой. Спектр черной дыры будет в точности таким, как у тела с температурой, пропорциональной гравитационному полю на горизонте — границе черной дыры. Другими словами, температура черной дыры зависит от ее размера.