Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, имеющий в своей этимологии географическое название. Таким названием служит слово «Хорезм». Великий учёный Мухаммед бен Муса аль-Хорезми жил в конце VIII — первой половине IX века. Арабское имя «аль-Хорезми» буквально означает ‘из Хорезма’. Аль-Хорезми предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. При этом начиная с XII века его имя транслитерировалось как «Algoritmi». Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 году в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.

Понятие алгоритма — одно из центральных в математике. Программа для компьютера есть не что иное, как запись какого-то алгоритма на компьютерном языке. Прорыв в осознании этого важнейшего понятия произошёл в 1936 году, когда независимо друг от друга Алонзо Чёрч в Америке и Алан Тьюринг в Англии предложили математические уточнения понятия алгоритма (каждый своё) и на основе этих уточнений предъявили первые примеры массовых проблем, неразрешимых алгоритмически, в числе которых оказалась и очень знаменитая, стоявшая с 1915 года так называемая «das Entscheidungsproblem» («проблема разрешения»), считавшаяся главной проблемой математической логики. Поясним, что термины «проблема» и «задача» для нас синонимы и что массовая проблема считается алгоритмически неразрешимой, если не существует решающего её алгоритма, то есть такого единого алгоритма, который позволял бы находить решение для каждой из тех единичных проблем, которые и составляют рассматриваемую массовую проблему.

Алгоритмически неразрешимые проблемы, указанные Чёрчем и Тьюрингом, слишком сложны, чтобы их здесь формулировать. Сейчас мы приведём достаточно простой пример такой проблемы. Разумеется, мы вынуждены ограничиться её формулировкой и не приводить ни доказательства, ни даже намёка на доказательство её неразрешимости. Пример этот покажет, что массовые проблемы, для которых отсутствует требуемый алгоритм, лежат совсем близко к нашей повседневной жизни.

В целях большей наглядности изложим наш пример в терминах некоей игры. Любезный читатель согласится, что такая игра вполне мыслима в нашу эпоху пиара, рекламных акций, казино и игровых автоматов.

Средствами игры будут служить пластинки, наподобие тех доминошек, что используются при игре в домино. Как и в домино, каждая пластинка разделена на верхнюю и нижнюю половину. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино в том, что именно написано. В случае домино в каждой из половин записывается количество очков, от 0 до 6. А нашем случае в каждой из половин записывается какая-то цепочка из букв икс и зет. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: x, z. Цепочки длины два: xx, xz, zx, zz. Цепочки длины три: xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz. Проиллюстрируем сказанное примерами возможных пластинок:

Перечисленные 4 пластинки, в том порядке, как они указаны, обозначим — для дальнейших ссылок — буквами A, B, C, D. Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая A к D (слева D, справа A), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того. Каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок — такие, например, как AACA. В этом примере верхней строчкой будет xxxzx, а нижней — zxzxzzzx. Прошу у читателя прощение за затянувшееся предварение к игре, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь — сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки иксов и зетов совпали друг с другом. Первым пяти, приславшим решения, будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку A из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, поскольку, сколько раз ни прикладывай пластинку A саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D, только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок, A и D. А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A, D, C и D, то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA, то и верхняя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx.

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но прежде, чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнавать. Не существует (именно не существует, а не просто неизвестен) такого алгоритма, который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли решение, то есть возможно или невозможно сложить пластинки требуемым образом. Для каждого отдельно взятого набора пластинок задача узнать, к какой из двух категорий этот набор относится — к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, — она, эта задача, есть сугубо творческая задача, своя для каждого такого набора, а общий метод получения ответа для всех таких задач отсутствует.

Глава 7. Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества

В детстве меня иногда посещал следующий кошмар. Мне представлялось большое число стульев (наглядно — в виде стульев в партере летнего театра). И вот их начинают пересчитывать. Получают некоторое число. Затем пересчитывают в другом порядке и получают другое число. Кошмар заключался в том, что при обоих подсчётах не было ошибки.

Только в университете я узнал, что невозможность описанного только что явления составляет предмет особой, и притом не слишком просто доказываемой, теоремы математики. А потом я прочёл «Записи в блокноте» Хулио Кортасара. Там говорилось о произведённой в 1946 или 1947 году операции по учёту пассажиров на одной из линий метро Буэнос-Айреса: «‹…› Было установлено точное количество пассажиров, в течение недели ежедневно пользующихся метро. ‹…› Учёт производился с максимальной строгостью у каждого входа и выхода. ‹…› В среду результаты исследований были неожиданными: из вошедших в метро 113 987 человек на поверхность вышли 113 983. Здравый смысл подсказывал, что в расчётах произошла ошибка, поэтому ответственные за проведение операции объехали все места учёта, выискивая возможные упущения. ‹…› Нет необходимости добавлять, что никто не обнаружил мнимой ошибки, из-за которой предполагались (и одновременно исключались) четверо исчезнувших пассажиров. В четверг все было в порядке: сто семь тысяч триста двадцать восемь жителей Буэнос-Айреса, как обычно, появились, готовые к временному погружению в подземелье. В пятницу (теперь, после принятых мер, считалось, что учёт ведется безошибочно) число людей, вышедших из метро, превышало на единицу число вошедших».

При дальнейшем чтении я, к сожалению, обнаружил, что Кортасар предлагает некое рациональное объяснение изложенному им парадоксу; вот тут очевидное отличие Кортасара от его старшего соотечественника Борхеса (влияние коего Кортасар, несомненно, испытал): Борхес не стал бы искать рационального оправдания. «К сожалению» сказано потому, что поначалу мне показалось, что здесь выражена глубокая идея о возможности, хотя бы в фантазии, следующего эффекта: при очень большом количестве предметов это количество не меняется при добавлении или убавлении сравнительно небольшого их числа. И хотя, повторяю, приписывание Кортасару открытия и опубликования этого воображаемого эффекта оказалось ошибочным, я всё же буду называть его для краткости эффектом Кортасара; тем более что такое название полностью соответствует так называемому принципу Арнольда, установленному нашим выдающимся математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: если какое-либо явление или утверждение носит чьё-либо имя, то это означает, что оно не имеет своим автором носителя этого имени. Предположение, что эффект Кортасара имеет отношение не только к воображению, но и к реальности, может показаться бредом, но, как будет видно ниже, сформулированное в нём явление действительно имеет место, если очень большое становится бесконечным.

Бесконечное вообще следует — в понятийном аспекте — трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности — этого никто не знает. Количество звёзд во Вселенной — конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной — да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… Предупредим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого распоряжения, никаких других чисел рассматриваться не будет, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления, в частности — нарушение древней философемы «Целое больше части». На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 году вышла его книга «Беседы и математические доказательства…». Изложение, в духе тогдашнего времени, выглядело как запись бесед, которые в течение шести дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, что говорит один из участников беседы, синьор Сальвиати:

«Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень — более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как ббольшая часть их не является квадратами».

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» — в растерянности спрашивает еще один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что в отношении двух таких количеств не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, — и то, и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с нашими привычками. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить — хотя бы потому, что каких-либо привычек оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно не-квадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все не-квадраты и получить тем самым совокупность всех чисел. Тем самым оказывается, что количество всех чисел действительно равно количеству квадратов — хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление — равенство по количеству совокупности и её собственной части — для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как это может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать термина множество, как это мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность». Множество состоит из элементов, которых не обязательно много. (Это в русском языке слова «множество» и «много» однокоренные, а вот английское «set» и французское «ensemble» не несут на себе вводящего в заблуждение оттенка множественности.) Возможны множества, состоящие из одного только элемента, и даже пустое множество, вовсе не имеющее элементов. Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество, спросит читатель. И мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь право говорить, например, о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни взять, среди его частей присутствует и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газированной воды без вишневого сиропа не отличается от стакана газированной воды без апельсинового сиропа; сравнение понятно для тех читателей старших поколений, которые ещё помнят торговлю газировкой на улицах советских городов.)

Учение о сравнении количеств элементов в любых, а не только конечных, множествах целиком принадлежит великому немецкому математику и философу Георгу Кантору (1843–1918). Назвав Кантора немцем, мы всего лишь следовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его следует называть. Его отец родился в Дании, мать — в России. Сам он также родился в России, а именно в Санкт-Петербурге; в этом городе он провел первые одиннадцать лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно было, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, а не французом. Кем ощущал себя Кантор — загадка. Его биографы указывают, что хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX века не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном оказалось настолько трудным, что привело его автора к тяжёлой нервной болезни. В 1884 году у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 года он уже не публиковал научных работ. С 1899 года Кантор становится пациентом нервных санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после своего осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не должно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, даже вообще можно не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых располагает стадом коз, а другой — стадом овец. Они хотят обменяться своими стадами, но при условии, что стада равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца — ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств.

Пример из первобытной жизни приводит нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом элементы первого множества и элементы второго множества, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Наши скотоводы как раз и установили эквивалентность своих стад. А синьор Сальвиати установил эквивалентность множества всех квадратов и множества всех чисел; эту эквивалентность можно наглядно показать посредством следующей таблицы[1]:

1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256…
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16…

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являюшихся, — ну, скажем, 7, 23 и 111. Следующая таблица показывает эквивалентность множества квадратов и расширенного множества, состоящего из всех квадратов и трёх указанных не-квадратов[2]:

1	4	9	16	25	36	16	64	81	100	121	144	169	196	225	256…
7	23	111	1	4	9	7	25	36	49	64	81	100	121	144	169…

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и, в качестве несложного упражнения, убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными.

Но не окажутся ли все вообще бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, так что множества первого рода эквивалентны друг другу и множества второго рода эквивалентны друг другу, а множества разных родов друг другу не эквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленого набора, заявленного в игре предыдущей главы. Множества второй категории называются континуальными; таковы множество всех точек прямой, всех точек плоскости, всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Бывают и такие бесконечные множества, которые не являются ни счётными, ни континуальными, но в «математическом быту» такие множества почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа, помимо натуральных, — те, о которых говорилось в главе 4 «Длины и числа». Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно — бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, то есть счётным. С другой стороны, как известно из средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом, своей координатой; тем самым обнаруживается, что множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как было сообщено в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Таким образом, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть получен из совершенно общих рассуждений.

И ещё об одном виде чисел — о так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале «от простого к сложному». Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют «трансцендентными». Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чисел e и π. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для возникновения понятия количества элементов множества. Количество — это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждой коллекции эквивалентных друг другу множеств это количество своё — одно и то же для всех множеств этой коллекции. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество федеральных округов России. Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ «по», присутствующих, согласно учению китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в «Притчах Соломона». И множество невест ефрейтора Збруева. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть не только перечисленные только что множества, но и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, то обнаружим, что в них присутствует некая общность. Эта общность есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае это количество называется, как всем известно, так: семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется так: восемь.

Надеемся, что читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой алеф с нижним индексом ноль

(произносится алеф-ноль). Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса — кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара: «в Mengenlehre Алеф — символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей».

В математике вообще количество элементов в каком-либо множестве называют мощностью, или кардинальным числом, этого множества. В частности, все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы цэ из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно получить из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств — счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, что это означает. Каждое количество представлено коллекцией всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих коллекций, а неравенство — их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что коллекция всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с коллекцией всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, которое из них больше, а которое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их коллекциям множеств!)

Спросим уже знакомых нам не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов — в предположении, что стада различны по численности. Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то большим является количество коз. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то большим будет количество овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно — множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который действует применительно к любым множествам. Решение состоит в том, чтобы к предложенной нашими скотоводами формулировке добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть — например, натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность — наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (то есть присущим только этому и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют алфавитом, составляющие его знаки — буквами, а всякую конечную цепочку букв — словом в данном алфавите. [В отличие от «языковедческого» слова, «математическое» слово может быть совершенно непроизносимым. Например, в русском переводе рассказа Лема «Вторжение с Альдебарана» встречаются такие имена альдебаранцев: НГТРКС и ПВГДРК; эти имена являются словами в русском алфавите. Возможно и такое, скажем, слово: )))=hgйъh=+(.]. Нетрудно убедиться, что какой ни взять алфавит, множество всех слов в этом алфавите будет счётным. Тем самым никак не больше счётной будет любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты — и даже очень много таких объектов, — для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумать, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, то есть таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, — а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени — это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, то есть такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу — проблемой континуума. В 1877 году Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 года начал отдельными порциями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Статья с шестой порцией была завершена 15 ноября 1883 года. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, — то есть доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных последующих статей не последовало. Кантор осознал, что он не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 года у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX века было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три,…, сорок восемь,…, две тысячи семь,… — может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль —

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их — в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) — римскими цифрами, как это и принято в русской орфографии. Ведь мы пишем «Генрих VIII», а не «Генрих 8». Порядковое число — это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы изложение), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям — ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В свои студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения испытал не только я.

Итак, раннее детство. Я размышляю, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль, что раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, то, значит, я плохой. Но тогда я хороший — и так далее. Какую замечательную бесконечную лестницу я выстроил, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и так далее. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («я плохой»), II («я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («я плохой, потому что себя похвалил») и так далее. С лестницей же в целом («я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число (омега). Далее следуют + I («я плохой, потому что себя похвалил»), + II, + III и так далее. А потом, за ними всеми, + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить это ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат выражения «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и так далее. С семантической точки зрения эти выражения представляют собою порядковые числительные. С синтаксической точки зрения порядковые числительные должны быть похожи на прилагательные, и потому следовало бы говорить «омеговый», «омега плюс первый» и так далее; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора — на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, 1/₂, 2/₃, 3/₄, 4/₅ и так далее и всех чисел 1, 11/₂, 12/₃, 13/₄, 14/₅ и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент 1/₂ получит номер II, элемент 2/₃ получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер, элемент 11/₂ получит номер + I, элемент 12/₃ получит номер + II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер + ω, и элемент 3 получит номер ++ I.

Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике

То, что общественное сознание отчасти мифологично, давно перестало быть новостью. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, этом заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна: ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф — формула Обещаю говорить правду, только правду и ничего, кроме правды, якобы применяемая в американском судопроизводстве (формула довольно странная, поскольку смысл оборотов «только правду» и «ничего, кроме правды» один и тот же). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Обещаю говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» (Promise to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God).

Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?» Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, — при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, — при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) — так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное явление связано с отражением в мифологическом сознании учения о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали и об аксиоме о параллельных прямых — ведь её проходят в школе. Никто из так называемых «людей с улицы», которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство из опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных входит в массовое сознание.

Получив указанный выше ответ на вопрос о содержании аксиомы о параллельных, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают, что тут что-то не так: ведь никакая аксиома не может заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт это сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее аксиому о непересекаемости непересекающихся прямых вполне возможной. С представителями этого меньшинства договориться трудно — разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. А возможна ли такая аксиома: «Всякий зелёный предмет является зелёным»? — спрашивал я. Конечно возможна, отвечали мне представители меньшинства; вот если сказать «Всякий зелёный предмет является красным», то такая аксиома невозможна.)

Замечательно, что присутствие в общественном сознании ложной формулировки аксиомы о параллельных («параллельные прямые не пересекаются») имеет интернациональный характер. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор этих строк убедился следующим образом. В марте 2006 года на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных — наблюдениях, полученных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст Колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность своего ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы скорее всего получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: из точки надо сперва опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой — а именно к опущенному перпендикуляру — и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: Через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «Конгресс не должен» в поправке I, «ни один солдат не должен» в поправке II и т. п.) Причина искаженного восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе, для простоты, обычно внушают такую формулировку: …можно провести одну и только одну прямую…, не заостряя внимания на том, что оборот можно провести выражает здесь теорему, а можно провести только одну — аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных — основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, является единственным российским математиком, присутствующим в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой — Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою ‹…›», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», — призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский, в стихотворении «Конец прекрасной эпохи», не призывает, но констатирует:

Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав, к сожалению, трудно. Красавице платье задрав, видишь то, что искал, а не новые дивные дивы. И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут, но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут — тут конец перспективы.

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» — и получить ответ «Параллельные — это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить своего собеседника в несовместимости между собой двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального «конца перспективы». Более раннее свидетельство[3] встречаем в романе В. А. Каверина «Скандалист, или Вечера на Васильевском острове». Открываем изданный в 1963 году первый том шеститомного Собрания сочинений на страницах 447 и 448. Герой романа Нагин[4] просматривает читанную ранее «книгу по логике», и вот «он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве». Нагин собирается писать рассказ на эту тему: «Он кусал себе ногти. „Параллели, параллели“, написал он здесь и там на листе ‹…›. „Нужно заставить их встретиться“, — начертал он крупно ‹…›». Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова folklore — "народная мудрость"):

Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто: Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то! И он вгляделся пристальней в безоблачную высь, И там все параллельные его пересеклись. (Сообщено Н. М. Якубовой)

Имеются и более современные свидетельства. Каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на «Эхе Москвы» идёт интерактивная программа «Разворот». 15 февраля 2006 года в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и к признанию права каждого иметь свою собственную точку зрения. Происходил такой диалог:

«Венедиктов. Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются?

Слушатель. Нет.

Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта».

Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют!

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной из школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского — много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить — вот вам наглядное подтверждение наличия прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию — на глаз, конечно, но вся наша проверка и идёт «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Мысленно представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, эта точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не оказаться иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать — того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение, исходя из остальных аксиом, и тем самым как бы понизить статус этого утверждения, переведя его из аксиом в теоремы. Однако все эти попытки проваливались. Как правило, в каждое такое доказательство незаметно проскальзывало какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное аксиоме о параллельных. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII–XIX веков Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: оно не только опирается на эту аксиому, но и из него, в свою очередь, можно вывести самоё аксиому.

C большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что скорее всего сформулированное в аксиоме о параллельных утверждение вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX века какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX века. В этот период два великих геометра — российский математик Николай Иванович Лобачевский и венгерский математик Янош Бойаи (по-русски часто пишется «Больяй») — совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию называют геометрией Лобачевского — Бойаи или же просто геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии она называется геометрия Бойаи). Первые публикации по геометрии Лобачевского принадлежат её авторам: Лобачевскому — в 1829 году, Бойаи — в 1832 году. Их предшественником можно считать немецкого юриста Швейкарта, который пришёл к мысли о возможности такой геометрии в 1818 году, но ничего не публиковал. «Король математиков» великий Гаусс, о котором уже было сказано в главе 5 о квадратуре круга, пришёл к этой мысли ещё раньше, но тоже ничего не публиковал, справедливо полагая, что научная общественность ещё не готова воспринять столь смелые мысли. И действительно, геометрия Лобачевского не получила признания современников (за исключением Гаусса, который её оценил и даже выучил русский язык, чтобы читать сочинения Лобачевского в подлиннике). Гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти (случившейся соответственно в 1856 и 1860 годах). Когда же, наконец, возможность неевклидовой геометрии была осознана, это произвело переворот не только в математике, но и в философии.

В геометрии Лобачевского много непривычного для нас, воспитанных на евклидовой геометрии. Например: сумма углов треугольника своя у каждого треугольника и притом всегда меньше 180 градусов; если треугольники подобны, то они равны; не бывает треугольников сколь угодно большой площади (это значит, что площадь треугольника не может быть больше некоторого числа, зависящего, разумеется, от выбора единицы площади).

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё же истинна — аксиома Евклида или аксиома Лобачевского. Давайте разберёмся. Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна — значит, соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, — одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых — как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч — в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или подшипник. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком — все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, то есть то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да даже и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая отшлифованная поверхность лишь приближается к идеальной форме, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света — и тот искривляется в реальном пространстве. Для возникновения же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно — требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, является отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», — писал в 1835 году Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем написать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на это вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что когда мы говорим о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180 градусов тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому чем больше треугольник, тем больше надежды заметить это отличие — и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (упомянутый выше Швейкарт употреблял для геометрии, впоследствии предложенной Лобачевским, название звёздная геометрия). Такими измерениями занимался сам Лобачевский («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь…»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для больших другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли — именно потому, что участок, план которого снимается, небольшой. Поэтому для сравнительно небольших участков разумно исходить из того, что Земля плоская — именно поэтому это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России необходимо учитывать шарообразность Земли, а при тонких расчётах — то, что Земля есть эллипсоид (а точнее — геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам: к положению стрелка и к цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично, евклидова геометрия хорошо работает «в малом», то есть в доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит «в очень большом». В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер претерпевает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в следующей главе нашего очерка.

Но что же представляют из себя идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и тому подобные, — отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Ни что такое куздры, ни что такое бокры, ни что такое будлать — всё это оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для получения из этих утверждений определённых заключений — то есть таких утверждений, которые непременно являются истинными при условии истинности всех утверждений нашего исходного квартета. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.

Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае — куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае — отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае — в утверждениях (1) — (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае — аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности — геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, то есть геометрией плоскости, без выхода в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

1. Отношение инцидентности между точками и прямыми: точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу. В школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят «точка лежит на прямой» или же «прямая проходит через точку».

2. Отношение ‘между’, связывающее тройки точек: из трёх точек одна может лежать или не лежать между двумя другими.

3-4. Отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов: два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. Когда-то в наших школах не боялись слова «конгруэнтны»; сейчас, к сожалению, там велено заменить это слово на слово «равны». Почему «к сожалению»? А потому, что ведь имеется в виду отношение не между длинами отрезков или между величинами углов (и те, и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение ‘между’, конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального, физического мира, отражением каковых и служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность одной фигуры быть совмещённой с другой посредством перемещения.

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) — (4) слово «куздра» на слово «точка», слово «бокр» на слово «прямая», слово «будлать» на выражение «лежать на». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (!4): На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки. Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (!1), (!2) и (!3), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (!1), (!2), (!3) и (!4) составляют в своей совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: Для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее — странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в двадцатых годах XX века учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы: Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка.