Помоги проекту - поделись книгой:
Вот одна небольшая и довольно странная задача о родственных отношениях, которая имеет любопытный ответ. Дядя Ройбен навестил в большом городе свою сестру Мэри Энн. Гуляя вместе по одной из улиц, они подошли к скромному отелю.
– Прежде, чем мы пойдем дальше, – сказал Ройбен своей сестре, – я должен заглянуть сюда, чтобы справиться о здоровье моего больного племянника, который живет в этом отеле.
– Хорошо, – ответила Мэри Энн, – поскольку у меня нет больного племянника, я сейчас пойду домой, а потом, после полудня, мы продолжим нашу прогулку.
Каковы родственные отношения Мэри Энн и загадочного племянника?
23
Эта простая головоломка настолько лишена математических трудностей, что я даже колебался, стоит ли ее предлагать вниманию читателей. И все же я верю, что она может открыть двери интересной дискуссии.
За 5 долларов Хоббс и Ноббс согласились посадить картошку на поле фермера Сноббса. Ноббс может засадить картошкой борозду за 40 минут и с той же скоростью засыпать борозду землей. Хоббс же способен засадить картошкой борозду всего за 20 минут, но зато, пока он засыпает землей 2 борозды, Ноббс засыпает целых 3.
Хоббс и Ноббс работали все время с постоянной скоростью, пока не обработали все поле, причем каждый из них и сажал картошку, и засыпал ее землей. Зная, что на поле сделано 12 борозд, как показано на рисунке, скажите, каким образом следует разделить 5 долларов, чтобы каждый получил свою долю пропорционально проделанной им работе?
24
Эта головоломка наглядно показывает, как просто надуть человека, приобретающего золотой кирпич. Большой квадрат на рисунке изображает золотой кирпич, который фермер захотел купить у незнакомца в шляпе. Стороны квадрата разделены каждая на 24 равные части.
Если сторона квадрата содержит 24 дюйма, то площадь самого квадрата должна равняться 24 х 24 = 576 квадратным дюймам. Обратите внимание на диагональ, которая идет из одного угла в другой. Разрезав квадрат вдоль этой диагонали и передвинув верхнюю часть на одно деление вверх вдоль разреза, мы получим маленький треугольник А, который высунется справа. Если мы отрежем его и поместим в положение В в левом верхнем углу, то получим прямоугольник шириной в 23 и высотой в 25 дюймов. Но 23, умноженное на 25, даст только 575 квадратных дюймов. Куда же исчез квадратный дюйм?
Говорят, что последний том «Начал» Евклида был целиком посвящен геометрическим заблуждениям такого рода; другими словами – задачам и головоломкам, содержащим умно спрятанные ошибки. К несчастью, этот том утерян, но, без сомнений, это была величайшая из написанных автором книг.
25
Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.
Задача о водяной лилии – одна из задач, которые Лонгфелло ввел в свой роман «Каванаг». Она столь проста, что по силам всякому даже не очень сведущему в математике человеку, но столь ярко иллюстрирует важный геометрический факт, что он становится памятен уже навсегда. Я не помню, как дословно сформулировал эту задачу в нашей беседе Лонгфелло, но суть ее сводилась к следующему. Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого, требовалось определить глубину озера.
Предположим, что, как это показано на рисунке, лилия на 10 дюймов поднимается над поверхностью воды, а если ее потянуть в сторону, то она исчезнет под водой в точке, отстоящей на 21 дюйм от того места, где она находилась первоначально. Чему равна глубина озера?
26
Отдыхающим летом на побережье в Джерси знакомы развалины старой башни Бэкон, служившей некогда маяком. Вы видите здесь реконструкцию этой башни, сделанную на основе старинного рисунка полувековой давности, который сохранился у одного местного жителя (ему самому пошел уже девяносто шестой год). Он помнит, как строилась эта башня, когда он был мальчиком. Все графство было взбудоражено этим событием, и вряд ли кто из окрестных жителей сомневался в том, что библейская Вавилонская башня была не выше ее.
Теперь от башни Бэкон ничего не осталось, кроме обгорелого столба примерно шестидесяти футов высотой, ступеньки разрушились при пожаре около двадцати лет назад. Но рисунок, равно как и хроники графства, подтверждают, что первоначально высота башни составляла 300 футов.
Тогда это была весьма внушительная высота. Ведь более века мерилом недосягаемой высоты был шпиль у Тринити Черч. Но времена изменились, и совсем недавно почтенный служащий церкви Тринити жаловался, что ребята из соседнего дома норовят бросать вниз на церковный шпиль камешки.
Основу башни Бэкон составляли массивные столбы, искусно соединенные в одну колонну, которую спиралью обвивала винтовая лестница с железными перилами. Лестница делала вокруг колонны ровно четыре оборота, как показано на рисунке. На каждой ступеньке имелся поддерживавший перила стержень. Поскольку эти стержни отстояли друг от друга ровно на 1 фут, то нетрудно было подсчитать, сколько ступенек придется преодолеть на пути к вершине башни. И все же, как сказал капитан Хафф, владелец рисунка, поведавший нам историю башни:
– Я не встречал ни одного горожанина, который смог бы правильно подсчитать число ступенек.
Итак, башня от земли до верхней площадки, образовывавшей последнюю ступеньку, имела 300 футов. Лестница обвивалась вокруг башни четыре раза, а поддерживавшие перила стержни имелись на каждой ступеньке и отстояли друг от друга ровно на 1 фут. К этому мы должны добавить, что диаметр всей башни (то есть диаметр воображаемого цилиндра, на котором располагались перила) равнялся 23 футам 10 1/2 дюйма.[5] Сколько ступенек было у винтовой лестницы?
27
Некий фермер вместе со своей славной женой приехал на рынок, дабы обменять домашнюю птицу на скот из расчета по 85 цыплят за лошадь и корову. Известно, что 5 лошадей стоят ровно столько же, сколько и 12 коров.
– Джон, – сказала жена, – давай возьмем еще столько же лошадей, сколько мы уже выбрали. Тогда зимой нам придется кормить только 17 лошадей и коров.
– Я думаю, нам стоит взять побольше коров, – ответил супруг. – И знаешь, я обнаружил, что если мы удвоим число коров, которых уже купили, то всего у нас окажется 19 коров и лошадей, а цыплят как раз хватит, чтобы совершить эту сделку.
Эта бесхитростная деревенская пара ничего не смыслила в алгебре, и все же им было точно известно, сколько у них цыплят и сколько им нужно приобрести коров и лошадей. Мы просим наших любителей головоломок определить, пользуясь приведенными здесь данными, сколько цыплят привезли фермер и его жена на рынок?
28
Вот одна любопытная головоломка, примечательная не только общим принципом, лежащим в ее основе, но также и тем, что она достаточно древняя и связана с некой забавной историей. Некогда город Кенигсберг,[6] разделенный рекой Прегель на четыре части, включая остров Кнайпхоф, имел восемь мостов. Вот с этими-то мостами и связана старая головоломка, озадачивавшая его славных жителей более двух веков назад.
Прогулка по всем мостам всегда была приятным развлечением для молодежи. Согласно преданиям, размышления о том, насколько длинным окажется путешествие по всем мостам, привели к поразительному выводу, что совершить прогулку по всем мостам, не пройдя по какому-то из них более одного раза, невозможно.
История сохранила упоминание о том, как группа молодежи в 1735 г. посетила математика Леонарда Эйлера с просьбой внести в это дело ясность. Год спустя Эйлер представил Российской Академии наук внушительный отчет, в котором утверждалось, что данная задача неразрешима. Этот отчет появился в трудах Академии за 1741 г. и был переиздан на французском и английском языках, поскольку речь шла о принципе, применимом в случае любого числа мостов.
Профессор У. Роуз Болл из Тринити-колледж, обсуждая древность и достоинство этой задачи, заблуждается, приписывая ее авторство самому Эйлеру, кроме того, он утверждает, что, согласно картам Бедекера, мостов в Кенигсберге было тогда семь. Но в старых записях говорится о восьми мостах, а наша карта аккуратно перерисована из Бедекера.
В данной задаче мы не касаемся вопросов возвращения в исходную точку. Нужно просто доказать, что, начав с какого-то произвольного места в городе, можно попасть в некую его точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Мы просим читателя ответить, сколькими различными путями это можно сделать и какой из этих путей наикратчайший?
29
Один генерал, любитель шахмат, рассказал мне, как во время войны он командовал военным лагерем, в котором одновременно формировалось 20 полков. Ежедневно к каждому полку добавлялось по 100 человек. В последний день каждой недели полк, в котором оказывалось больше всего солдат, отправлялся на фронт.
Как-то оказалось, что в первом полку было 1000 человек, во втором – 950, в третьем – 900 и т. д., в каждом следующем полку было на 50 человек меньше, чем в предыдущем, а в последнем, двадцатом, полку было всего 50 солдат. Генерал обнаружил, что полковник, командовавший пятым полком (где было 800 солдат), – прекрасный шахматист. И вот, чтобы подольше удержать достойного партнера в лагере (иначе он должен был покинуть лагерь через пять недель), генерал еженедельно добавлял в его полк по 30 человек вместо 100, которые добавлялись в другие полки.
Предположим, что 20 полков бесперебойно пополняются рекрутами. Можете ли вы сказать, сколько недель пройдет, прежде чем наш полковник-шахматист отправится в пекло войны?
30
Как-то мне показали любопытную цепочку для карманных часов, которая состояла из четырех монет и брелока в виде фигурки орла. В монетах, как показано на рисунке, имелось соответственно пять, четыре, три и две дырки, так что монеты можно было соединить между собой проволочками в большом числе комбинаций.
Итак, из этих четырех монет можно составлять разнообразные цепочки, соединяющие часы с брелоком; по существу, это задача о нахождении числа возможных размещений пяти частей так, чтобы ни одно из размещений не повторяло в точности никакое другое. Сколько, по-вашему, разных цепочек можно получить из пяти частей?
31
Разумеется, все любители головоломок знают старую задачу про волка, козу и капусту, которых надо было переправить через реку, причем лодочник мог взять с собой в лодку либо одного волка, либо одну козу, либо только капусту. К тому же типу задач принадлежит и столь же старая история о четырех парах влюбленных, однако в ней столько путаницы, что математики, видимо, просмотрели самое лучшее (то есть кратчайшее) решение.
Рассказывают, что четверо мужчин отправились со своими возлюбленными на загородную прогулку, но неожиданно у них на пути оказалась река. У берега молодые люди обнаружили лодку, однако она вмещала только двоих. Посреди реки, как вы видите на рисунке, имелся небольшой островок. Все мужчины в компании были страшно ревнивы, и никто из них не соглашался, чтобы его будущая невеста хоть ненадолго осталась один на один с другим мужчиной (или мужчинами), если только его самого не будет рядом.
Никто из мужчин не должен был также садиться в лодку один, если какая-либо другая девушка, кроме его невесты, оставалась одна на берегу или на острове. Это условие наводит на мысль, что девушкам тоже ревности было не занимать и они явно опасались за своих возлюбленных. Ну, как бы там ни было, а задача состоит в том, чтобы найти самый быстрый способ переправить все четыре пары на другой берег реки.
Предположим, что река имеет 200 ярдов в ширину, что остров расположен посередине и что на нем может поместиться любое число людей. Сколько ездок нужно совершить лодке, чтобы переправить через реку все четыре пары при соблюдении заданных условий?
32
Вот замечательная задача, которая, я уверен, доставит удовольствие молодежи и в то же самое время послужит пищей для размышлений умудренным опытом статистикам.
Один изобретательный, а может быть эксцентричный, учитель, желая собрать в организуемом им классе школьников постарше, объявил, что он ежедневно будет вручать приз всем мальчикам или всем девочкам, пришедшим на занятия, в зависимости от того, в какой группе суммарный возраст окажется наибольшим.
Ну так вот, на первое занятие пришли только один мальчик и одна девочка, а поскольку мальчик оказался ровно вдвое старше девочки, то он и получил приз.
На следующий день девочка привела в класс свою сестру. Оказалось, что их суммарный возраст ровно вдвое превышает возраст мальчика; поэтому девочки и поделили приз между собой.
Однако на третий день мальчик пришел в школу вместе с одним из своих братьев. Выяснилось, что суммарный возраст двух мальчиков ровно вдвое превышает суммарный возраст двух девочек, так что право поделить между собой приз досталось на этот раз мальчикам.
Разгорелась настоящая борьба, и на четвертый день две девочки появились в сопровождении своей старшей сестры, противопоставив свой суммарный возраст возрасту мальчиков. Девочки, разумеется, победили, ибо их суммарный возраст ровно вдвое превысил возраст мальчиков. Эта борьба продолжалась до тех пор, пока учитель не набрал полностью нужное число учеников, но мы не будем более вникать в ее подробности. Назовите возраст самого первого мальчика, если известно, что последняя юная леди пришла в класс в тот день, когда ей исполнился 21 год.
Это простая, но довольно занятная головоломка, требующая скорее изобретательности, чем математических выкладок, и легко поддающаяся методам решения головоломок.
33
Многим памятно, какую сенсацию вызвали слова генерала Винфилда Скотта, обращенные к военному министру Стэнтону:
– Хотя у нас есть десятки командиров, которые могут привести полк солдат в парк, но ни один из них не разбирается в военной тактике настолько, чтобы вывести этих солдат обратно!
Это замечание было воспринято как ядовитая критика. Я знал генерала Скотта как умелого шахматиста и сейчас вспомнил одну любопытную шахматную головоломку, которую собирался предложить ему при случае.
Для решения этой головоломки не требуется разбираться в шахматах, просто, дабы облегчить пояснения, я позволил себе разбить парк на квадраты, уподобив его шахматной доске. Однако задача весьма занимательна. Покажите, каким образом полк солдат мог бы войти в ворота № 1, промаршировать по всем квадратам, пройти под триумфальной аркой и выйти через ворота № 2, сделав наименьшее возможное число поворотов. Все движение должно происходить ходом шахматной ладьи, и никакой квадрат нельзя посещать более одного раза.
Нарисуйте на бумаге сетку из 64 клеток 8 × 8, а затем карандашом нанесите путь, проходящий через каждую клетку, который начинался бы и заканчивался в указанных местах и не миновал бы клетку, где помещается арка. Вероятнее всего вы все же сделаете несколько попыток, прежде чем получите наилучший результат, который выглядит настолько красиво, что вы его сразу же узнаете.
34
35
У меня нет патентованного чугунного носа, поэтому я не буду подвергать смертельной опасности этот важный орган, влезая в непривычную для себя игру. Бронированные ребра и мягкие прокладки на голенях не были популярны в мои студенческие годы. Мы обычно играли в футбол ногами, как то подразумевает само название игры, и никогда не пытались убить или искалечить игроков команды соперников.
Однако моя головоломка не имеет ничего общего со всеми этими бросками, ударами и «подковыванием» противника. Она просто навеяна воспоминаниями о тех днях, когда деревенским мальчишкой я любил гонять по зеленым лужайкам старомодный мягкий резиновый мяч.
Мы жили тогда в провинции и обычно заказывали мяч по почте, причем каталог спортивного магазина рекомендовал в соответствии с размерами мяча указывать точно требуемое число дюймов. Именно с этим и связана наша задача.
Нам нужно было указать требуемое число дюймов, но мы не знали, идет ли речь о площади резиновой оболочки или же об объеме воздуха, заключенного внутри мяча. Поэтому мы решили заказать мяч, у которого число квадратных дюймов, выражающее площадь поверхности, равнялось числу кубических дюймов, выражающему объем!
Сумеют ли наши любители головоломок назвать диаметр заказанного мяча?
36
Поделиться книгой: