Помоги проекту - поделись книгой:
Что именно изучал Набу-Шамаш? Для всех, кроме философов, логиков и зануд-математиков, число есть последовательность цифр, написанных одна за другой. Так, год, в который я пишу эту фразу, обозначается числом 2006, представляющим собой последовательность из четырех цифр. Но, как не преминут заметить педанты, эта последовательность цифр есть вовсе не число, а только его обозначение, и, кстати, обозначение довольно замысловатое. В нашей привычной десятичной системе используются всего десять цифр — символы от 0 до 9, — но они позволяют представить любое, сколь угодно большое число. Некоторое расширение этой системы позволяет также представлять очень малые числа; точнее говоря, она позволяет представлять численные измерения с очень высоким уровнем точности. Так, согласно самым точным на данный момент измерениям, скорость света приблизительно равна 1079 252 848,8 километра в час.
Эти обозначения нам так привычны, что мы забываем, как хитро они устроены — и как трудно в них разобраться, когда мы видим их первый раз. Ключевое свойство, на котором основано все остальное, состоит вот в чем: численное значение какого-либо символа, например 8, зависит от того, где он располагается по отношению к другим символам.
Было бы исключительно неприятно иметь систему письма, в которой значение буквы зависело бы от ее местоположения в слове[3]. Представим себе, например, во что превратился бы процесс чтения, если бы две буквы «а» в слове «алфавит» имели бы полностью различные значения. Однако позиционная система для обозначения чисел настолько удобна и эффективна, что нам трудно себе представить, как можно пользоваться каким-либо другим способом.
Но не всегда дело обстояло таким образом. Нашим современным обозначениям не более 1500 лет, а в Европе их впервые ввели в употребление лишь немногим более 800 лет назад. Даже сегодня для одних и тех же десятичных цифр в различных культурах используются различные символы — достаточно взглянуть на любую египетскую денежную банкноту. Представители древних культур записывали числа множеством самых разнообразных и необычных способов. Вероятно, лучше всего нам известна римская система, в которой число 2006 имеет вид MMVI. В древней Греции то же число имело бы вид
Вавилоняне были самой ранней из известных нам культур, использовавших нечто родственное нашим позиционным обозначениям. Однако с одним важным отличием. В десятичной системе при каждом смещении цифры на одну позицию влево ее численное значение умножается на десять. Так, 20 есть 2, умноженное на десять, а 200 — 20, умноженное на десять. В вавилонской же системе каждое смещение влево приводило к умножению числа на шестьдесят. Так, 20 означало бы 2 умножить на 60 (120 в наших обозначениях), а 200 — 2 умножить на 60 умножить на 60 (7200 в наших обозначениях). Разумеется, они не использовали тот же символ «2»; число два они записывали, повторяя дважды тонкий вертикальный клинообразный символ, как показано на рисунке. Повторяя этот знак нужное число раз, они записывали числа от одного до девяти. Для чисел, превосходящих девять, они добавляли другой символ — повернутый клин, который обозначал число десять; повторяя этот символ соответствующее число раз, они записывали числа двадцать, тридцать, сорок и пятьдесят. Так, например, наше число 42 изображалось четырьмя повернутыми клиньями, за которыми шли два вертикальных клина.
Вавилонские числительные с основанием 60.
По причинам, о которых остается только догадываться, эта система прекращалась на 59. Вавилоняне не рисовали шесть повернутых клиньев, чтобы составить 60. Вместо этого они снова использовали вертикальный узкий клин, который ранее обозначал единицу, но теперь ему придавалось значение «один раз по шестьдесят». Два таких клина означали 120. Но они могли также обозначать и «два». Какое именно значение имелось в виду, требовалось понимать из контекста, а также из расположения символов друг относительно друга. Например, если имелось два вертикальных клина, потом пробел, а потом снова два вертикальных клина, то первая группа означала сто двадцать, а вторая — два, подобно тому как символы «2» в нашей записи 22 означают двадцать и два.
Этот метод распространялся и на значительно большие числа. Вертикальный клин мог означать 1, или 60, или 60×60 = 3600, или 60×60×60 = 216 000, и так далее. Три нижние группы на рисунке обозначают число 60×60 + 3×60 + 12, которое мы бы записали как 3792. Большая проблема здесь состоит в том, что обозначения допускают некоторые неоднозначности. Если перед вашими глазами одни только вертикальные клинья, то означают ли они 2, 60×2 или 60×60×2? Означает ли повернутый клин, за которым идут два вертикальных, 12×60 + 2, или 12×60×60 + 2, или даже 10×60×60 + 2×60? Ко времени Александра Македонского вавилоняне устранили эти неоднозначности за счет использования пары небольших диагональных клиньев для указания пустой позиции при записи числа; фактически они изобрели символ для нуля.
Почему вавилоняне использовали шестидесятиричную систему, а не привычную нам десятичную? На их выбор могло повлиять полезное свойство числа 60: у него много разных делителей. Оно нацело делится на числа 2, 3, 4, 5 и 6. Оно также делится на 10, 12, 15, 20 и 30. Это свойство оказывается довольно удобным, когда дело доходит до деления вещей, будь то зерно или земля, на нескольких людей.
Чашу весов вполне мог склонить вавилонский метод измерения времени. По-видимому, вавилонцы находили удобным делить год на 360 дней, несмотря на то что они были превосходными астрономами и знали, что число 365 выражает длину года точнее, a 3651/4 — еще точнее. Их слишком сильно завораживало арифметическое соотношение 360 = 6×60. В действительности в том, что касалось указания времени, вавилоняне забывали о правиле, что перенесение символов на одну позицию налево означает умножение на шестьдесят, а вместо этого умножали на шесть, так что выражение, которое должно было бы обозначать 3600, в действительности интерпретировалось как 360.
Привязка к числам 60 и 360 дошла до наших дней — это привычные нам 360 градусов в окружности (по одному градусу на один вавилонский день), а также 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Старые культурные условности обладают удивительной живучестью. Меня особенно умиляет, как в наш век потрясающей компьютерной графики создатели фильмов датируют свои произведения римскими числительными.
Все это, за исключением знака «нуль», Набу-Шамаш и должен был проходить на начальных этапах своего обучения. Ему предстояло научиться ловко и быстро наносить на сырую глину тысячи маленьких клинышков. И подобно тому, как современные школьники не без усилий осваивают переход от целых чисел к обычным и десятичным дробям, так и Набу-Шамаш должен был рано или поздно встретиться с вавилонским методом записи таких чисел, как одна вторая или одна треть, или более сложных долей единицы, жесткая необходимость в которых диктовалась реальностями астрономических наблюдений.
Чтобы по полдня не выписывать клинья, исследователи представляют вавилонскую систему счисления, используя смесь старых и новых обозначений. Вместо групп из клиньев записываются десятичные числа, разделенные запятыми. Так что последняя группа на рисунке запишется как 1,3,12. Такое соглашение экономит массу дорогостоящего типографского набора, а при этом удобно для чтения, так что мы будем поступать также.
Как же записал бы вавилонский писец число «одна вторая»?
В нашей арифметике эта задача решается двумя различными способами. Число или записывается как дробь 1/2, или же используется знаменитая десятичная запятая, с помощью которой число представляется как 0,5. Обозначения в виде обыкновенной дроби более интуитивны и исторически возникли раньше; десятичные же обозначения несколько сложнее охватить своим умом, однако они удобнее при вычислениях, поскольку представляют собой естественное расширение правила «позиция-значение», действующего для целых чисел. Символ 5 в числе 0,5 означает «5, деленное на 10», а в числе 0,05 — «5, деленное на 100». Перемещение символа на одну позицию влево умножает его на 10; перемещение на одну позицию вправо делит его на 10. Все очень внятно и логично.
В результате десятичная арифметика по сути такова же, как арифметика целых чисел, за исключением того факта, что нужно следить за положением десятичной запятой.
Вавилоняне использовали ту же идею, но с основанием 60. Дробь 1/2 надо было выразить как дробь 1/60, взятую некоторое число раз. Очевидно, правильное число — 30/60, так что они записывали число «одна вторая» как 0;30, где современные исследователи применяют точку с запятой для указания на «шестидесятиричную запятую», которая в клинописных обозначениях опять же представлялась пробелом. Вавилоняне могли выполнять довольно сложные вычисления: например, известное им значение квадратного корня из 2 составляло 1;24,51,10, что отличается от истинного значения менее чем на одну стотысячную[4]. Они успешно использовали эту точность как в теоретической математике, так и в астрономии.
Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.
Типичное квадратное уравнение, которому около 4000 лет, формулируется так: «Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14,30». Сюда входит квадрат неизвестного (площадь квадрата), а также само неизвестное. Другими словами, в задаче требуется решить квадратное уравнение. На той же табличке довольно бесцеремонно приводится решение: «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0;15. Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 — стороне квадрата».
Что же тут делается? Запишем все эти действия в современных обозначениях.
| Возьми половину от 1, что есть 0;30 | 1/2 |
| Умножь 0;30 на 0;30, что есть 0;15 | 1/4 |
| Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15 | 8701/4 |
| Это квадрат числа 29;30 | 8701/4 = (291/2)×(291/2) |
| Теперь прибавь 0;30 к 29;30 | 291/2 + 1/2 |
| Результат равен 30, стороне квадрата | 30 |
Самый сложный шаг — четвертый, где требуется найти число (равное 291/2), квадрат которого составляет 8701/4. Число 291/2 есть квадратный корень из 8701/4. Квадратные корни — основное средство для решения квадратных уравнений, а когда математики попытались применить подобные же методы к решению более сложных уравнений, и родилась современная алгебра.
Ниже мы интерпретируем эту задачу, используя современные алгебраические обозначения. Но важно понимать, что вавилоняне не использовали алгебраические формулы как таковые. Вместо этого под видом типичного примера они описывали конкретную
Коротко говоря, они умели решать квадратные уравнения, и именно их метод — хотя и не в том самом виде, как они его выражали — мы используем по сей день.
Как вавилоняне смогли открыть свой метод решения квадратных уравнений? Прямых свидетельств у нас нет, но кажется правдоподобным, что они натолкнулись на него, рассуждая геометрически. Возьмем более простую задачу, которая приводит к тому же рецепту. Предположим, что мы нашли табличку, на которой говорится: «Найти сторону квадрата, если площадь плюс две стороны равна 24». В более современных терминах — квадрат неизвестного плюс удвоенное неизвестное равно 24. Это можно представлять себе так, как показано на рисунке.
Геометрическое представление квадратного уравнения.
Здесь вертикальный размер квадрата и прямоугольника слева от знака равенства соответствует неизвестному, а малые квадраты имеют единичный размер. Если разбить высокий прямоугольник пополам и приклеить два полученных куска к квадрату, то получится фигура, имеющая вид квадрата с одним недостающим углом. Рисунок подсказывает, что надо «дополнить квадрат» путем прибавления к обеим частям уравнения недостающего угла.
Дополнение квадрата.
Теперь у нас имеется квадрат слева и 25 единичных квадратов справа. Соберем их в квадрат 5×5:
Теперь решение очевидно: неизвестное плюс один при возведении в квадрат дает квадрат числа пять. Извлекая квадратные корни, находим, что неизвестное плюс один равно пяти; не надо быть гением, чтобы найти неизвестное: оно равно четырем.
Такое геометрическое описание в точности соответствует вавилонскому методу решения квадратных уравнений. В более сложном примере из табличек используется в точности тот же рецепт. На табличке лишь приведен рецепт, но не сказано, откуда он взялся, однако геометрическая картина согласуется и с другими косвенными свидетельствами.
Глава 2
Имя на устах
Многие из величайших математиков древнего мира жили в египетском городе Александрия, расположенном между пятью крупными оазисами, выдающимися в пустыню к западу от Нила. Один из оазисов — Сива — был известен своими соляными озерами, которые наполняются за зиму и высыхают в летнюю жару. Соль проникла в почву и стала главным источником головной боли для археологов, поскольку она пропитывает древние камни, и остающийся на них соляной налет медленно разрушает остовы зданий.
Наиболее популярное туристическое место в Сиве — Агурми, в прошлом храм, посвященный богу Амону. Божественность Амона была столь велика, что основной его аспект представляет собой нечто абстрактное, но затем его стали отождествлять с более осязаемой сущностью — происхождением бога Ра, Солнцем. Построенный во времена 26-й династии храм Амона в Сиве был обителью знаменитого оракула, известного, в частности, в связи с двумя крупными историческими событиями.
Первое — это гибель армии Камбиса II, персидского царя, покорившего Египет. Передают, что в 523 году до Р.Х., намереваясь использовать оракула храма Амона для утверждения своего правления, Камбис отправил в Западную пустыню военный отряд. Армия дошла до оазиса Бахарийа, но погибла в песчаной буре по дороге к Сиве. Многие египтологи склонялись к мысли, что «потеря армии Камбиса» может оказаться мифом, но в 2000 году группа исследователей из Каирского университета Хелван, занимавшаяся поисками нефти, нашла в том районе куски ткани, металла и человеческие останки, которые могли быть останками погибшей армии.
Второе событие, произошедшее двумя столетиями позже, представляет собой исторический факт — это судьбоносный визит в Сиву Александра Македонского, имевшего перед собой в точности ту же цель, что и Камбис.
Александр был сыном царя Филиппа II Македонского. Дочь Филиппа Клеопатра вышла замуж за эпирского царя Александра, причем во время свадебной церемонии Филиппа убили. Убийцей мог быть любовник Филиппа Павсаний, огорченный тем, что царь никак не реагировал на жалобы, с которыми Павсаний к нему обращался. Убийство могло оказаться и результатом персидского заговора, инспирированного Дарием III. Если это так, то персы получили сполна, поскольку македонская армия немедленно провозгласила царем Александра, и 20-летний монарх совершил знаменитый поход, завоевав большую часть известного тогда мира. По пути, в 332 году до Р.Х., он без единой битвы покорил Египет.
Чтобы закрепить свою власть над Египтом, Александр провозгласил себя заодно и фараоном, а затем совершил паломничество в Сиву с целью задать оракулу вопрос, является ли спрашивающий богом. Он отправился к оракулу в одиночестве, а вернувшись, огласил его вердикт: да, оракул подтвердил, что он действительно бог. Этот ответ оракула стал основой его власти. Позднее распространились слухи, будто оракул сообщил ему, что он — сын Зевса.
Не вполне ясно, произвело ли на египтян впечатление это несколько легковесное свидетельство, или же, с учетом размеров армии, находившейся под командованием Александра, они сочли за лучшее со всем согласиться. Возможно, они уже пресытились владычеством персов и рассматривали Александра как меньшее из двух зол — именно по этой причине его уже встречали с распростертыми объятиями в бывшей столице Египта Мемфисе. Какая бы истина ни скрывалась за этой историей, египтяне начиная с того момента почитали Александра как своего властителя.
По пути к Сиве, очарованный той частью страны, что лежит между Средиземным морем и озером, приобретшем известность под именем Мареотиса, Александр решил построить там город. Планировал строительство города, скромно названного Александрией, греческий архитектор Динократ, руководствуясь при этом набросками, сделанными самим Александром. Датой основания города иногда считается 7 апреля 331 года до Р.Х.; некоторые оспаривают достоверность этой даты, но в любом случае она должна быть близка к 334 году до Р.Х. Александру не довелось увидеть своего творения — во второй раз он прибыл в эту страну, чтобы быть там похороненным.
Так, по крайней мере, утверждает освященная временем легенда, но истина, вероятно, более сложна. Теперь представляется, что значительная часть будущей Александрии уже существовала на момент прибытия туда Александра. Египтологи давно обнаружили, что многие надписи не слишком надежны. Великий храм в Карнаке, например, изобилует орнаментами, посвященными Рамсесу II. На самом же деле значительную его часть построил отец Рамсеса Сети I, и следы — порой весьма заметные — посвященных отцу надписей можно разглядеть под теми, которые были высечены в честь сына. Подобное посягательство являлось общим местом и даже не считалось проявлением непочтительности. Другое дело — обезобразить останки предшественника, скажем, стесать лицо у статуи фараона: такой поступок весьма определенно свидетельствовал о недостатке уважения, так как из-за потери идентичности предшественник мог лишиться законного места в загробной жизни.
Имя Александра было выбито повсюду, на каждом здании в древней Александрии. Его имя было, так сказать, выбито и на самом городе. Тогда как другие фараоны присваивали разрозненные здания или памятники, Александр присвоил целый город.
Александрия превратилась в один из главных морских портов; протоки Нила и канал связывали ее с Красным морем[5], а оттуда — с Индийским океаном и Дальним Востоком. Она стала центром знания, в ней размещалась знаменитая библиотека. И там родился один из наиболее влиятельных математиков в истории — геометр Эвклид.
Об Александре нам известно намного больше, чем об Эвклиде — и это при том, что о масштабе влияния каждого из них на нашу цивилизацию на протяжении веков еще можно поспорить, и пожалуй, влияние Эвклида окажется даже больше. Если в математике есть такая вещь, как имя, которое у всех на устах, то это имя Эвклид. О жизни Эвклида нам известно мало, зато о его работах — много. На протяжении нескольких столетий слова «математика» и «Эвклид» воспринимались в Западном мире практически как синонимы.
Почему Эвклид приобрел такую известность? Ведь были математики и более великие, и более значительные. Но в течение без малого двух тысяч лет имя Эвклида было известному каждому, кто изучал математику по всей Западной Европе и (в несколько меньшей степени) в арабском мире. Он был автором одного из самых знаменитых математических текстов в истории — «Начал геометрии» (обычно сокращаемых просто до «Начал»). После изобретения книгопечатания эта работа оказалась среди самых первых книг, появившихся в печатном виде. Она была опубликована в более чем тысяче различных изданий и в этом уступает одной только Библии.
О Эвклиде нам известно чуть больше, чем о Гомере. Он родился в Александрии около 325 года до Р.Х. и умер около 265 года до Р.Х.
Сказав это, я с неудовольствием чувствую, что мне тут же надо бы взять свои слова назад. Идея, согласно которой Эвклид действительно существовал и был единственным автором «Начал», — это только одна из трех теорий. Вторая состоит в том, что он существовал, но не писал «Начала» — по крайней мере не писал их сам. Он мог возглавлять группу математиков, создавших «Начала» коллективно. Суть третьей теории — более спорной, но все еще лежащей в рамках возможного — в том, что такая группа существовала, но сильно смахивала на группу математиков — по большей части французов и по большей части молодых, — писавших в середине двадцатого столетия под именем Николя Бурбаки. Так что «Эвклид» может оказаться коллективным псевдонимом. Тем не менее наиболее убедительная версия, похоже, состоит в том, что Эвклид все же существовал и что это был один человек, который сам и написал «Начала».
Это не означает, что Эвклид сам открыл все математическое содержание, которое вы найдете на страницах его книги. Он собрал воедино и упорядочил значительную часть древнегреческого математического знания. Он заимствовал у предшественников и сам оставил богатое наследие своим последователям, а кроме того, скрепил весь предмет печатью своего авторитета.
«Начала» обычно рассматривают как книгу по геометрии, но в ней также нашлось место теории чисел и некоторым зачаткам алгебры — однако все это изложено с геометрических позиций.
О жизни Эвклида мы знаем очень немного. Позднейшие комментаторы включили в свои работы обрывочные сведения о нем, ни одно из которых современные исследователи подтвердить не могут. Они сообщают, что Эвклид преподавал в Александрии, и отсюда обычно выводят, что в этом городе он и родился, но так ли это на самом деле, нам не известно. В 450 году, более чем через семь веков после смерти Эвклида, в пространном комментарии по поводу его математики философ Прокл писал:
Эвклид… собрал воедино Начала, наведя порядок во многих теоремах Эвдокса, доведя до совершенства многие из теорем Теэтета, а также довел до неоспоримых доказательств те вещи, которые были лишь нестрого доказаны его предшественниками. Этот муж жил во времена первого из Птолемеев; ибо Архимед, который жил недолгое время спустя после первого Птолемея, упоминает Эвклида, а кроме того, говорят, что Птолемей однажды спросил его, имеется ли более краткий путь к изучению геометрии, чем чтение «Начал», на что тот ответил, что царского пути к геометрии нет. Поэтому он моложе, чем окружение Платона, но старше, чем Эратосфен и Архимед; ибо последние были современниками, как в одном месте говорит об этом Эратосфен. В душе он был платоником, испытывал склонность к этой философии, а посему и заключил свои Начала построением так называемых Платоновых тел.
Внимательное изучение некоторых из тем в «Началах» не прямо, но убедительно свидетельствует, что Эвклид должен был в какой-то момент учиться в Платоновой Академии в Афинах. Только там, например, он мог узнать о геометрии Эвдокса и Теэтета. Что касается его характера, то все, что у нас есть, — это некоторые фрагменты из Паппа, который сообщает, что Эвклид был «мягок и любезен со всеми, кто мог хоть в малейшей степени способствовать развитию математики, внимательно следил, чтобы никого каким-либо образом не задеть, но при этом был настоящим ученым, не превозносящим самого себя». Дошло до нас и несколько анекдотов, один из которых передает Стробей. Один из учеников Эвклида спросил его, какова будет его выгода от изучения геометрии. Эвклид позвал раба со словами: «Дай этому человеку три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».
Отношение греков к математике сильно отличалось от того, которое господствовало среди вавилонян и египтян. В тех культурах математика рассматривалась в первую очередь в практическом плане — хотя «практическое» могло означать такую ориентацию тоннеля в пирамиде, чтобы душе
Аристотель и Платон сообщают о культе, центральной фигурой которого был Пифагор и который расцвел около 550 года до Р.Х. Согласно верованиям адептов этого культа, математика, в особенности числа, есть основа всего творения. Пифагорейцы развили мистические взгляды на гармонию вселенной, основанные отчасти на том открытии, что гармония нот на струнном инструменте связана с простыми математическими закономерностями. Если струна звучит на определенной ноте, то струна вполовину короче звучит на октаву выше, что дает наиболее гармоничный из всех интервалов. Они исследовали различные числовые закономерности, в частности «многоугольные» числа, возникающие, когда объекты выстраиваются так, чтобы образовать многоугольники. Например, «треугольные числа» 1, 3, 6 и 10 возникают из треугольников, а «квадратные числа» 1, 4, 9 и 16 — из квадратов.
Треугольные и квадратные числа.
Пифагореизм включал в себя не лишенную определенных странностей нумерологию — например, число 2 рассматривалось как мужское, а 3 как женское, — но тот взгляд, что глубинная структура природы имеет математический характер, и сегодня лежит в основе большей части теоретического знания. Хотя поздняя греческая геометрия была менее мистической, греки в целом воспринимали математику как самоцель — скорее как ветвь философии, нежели как инструмент.
Есть причины полагать, однако, что этим не все сказано. Твердо установлено, что Архимед, который мог бы быть учеником Эвклида, использовал свои математические способности для создания мощных машин и военных механизмов. Сохранилось очень немного замысловатых греческих устройств, изобретательный замысел и точность исполнения которых указывают на поддерживаемую в полной мере традицию высокого мастерства — античный вариант «прикладной математики». Самый, возможно, известный пример — это механизм, найденный на морском дне вблизи островка Антикитера: по-видимому, он представляет собой устройство для расчета движения небесных тел, выполненное в виде шестеренок, сложным образом сцепленных друг с другом.
Эвклидовы «Начала», без сомнения, укладываются в это утонченное представление о греческой математике — потому, возможно, что это представление в значительной мере и основано на «Началах». Основной акцент в книге делается на логику доказательства, при этом нет ни намека на возможность их практического применения. Но самое важное для нашего рассказа свойство «Начал» не в том, что там говорится, а в том, чего там нет.
Эвклид осуществил два великих нововведения. Первое — это концепция доказательства. Эвклид отказывается принимать какое бы то ни было математическое утверждение как истинное, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, которые позволяют вывести данное утверждение из того, что уже известно. Второе нововведение — это осознание того факта, что процесс доказательства должен иметь начало и что эти исходные утверждения доказать нельзя. Таким образом, Эвклид формулирует пять фундаментальных предположений, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и непосредственны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.
Но пятый постулат — совсем другого рода. Он длинный и сложный, а утверждаемое в нем вовсе не столь самоочевидно. Его основное следствие состоит в существовании параллельных прямых — таких, которые никогда не пересекаются, но продолжаются без ограничения в одном и том же направлении, при этом всегда находясь на одном и том же расстоянии друг от друга, как два тротуара по сторонам бесконечно длинной, идеально прямой дороги. В действительности Эвклид формулирует требование, чтобы при пересечении двух линий третьей первые две пересекались с той стороны, где два образованных угла дают в сумме величину, меньшую двух прямых углов. Оказывается, что это предположение логически эквивалентно существованию в точности одной линии, параллельной заданной линии и проходящей через заданную точку вне этой линии.
Пятый постулат Эвклида.
В течение столетий пятый постулат рассматривался как позорное пятно — как нечто такое, что следует устранить путем вывода его из четырех других или же заменой его на нечто более простое и столь же самоочевидное, как и остальные постулаты. К девятнадцатому столетию математики поняли, что Эвклид был абсолютно прав, когда включил в свои предположения пятый постулат: им удалось доказать, что его нельзя вывести из остальных.
Для Эвклида логические доказательства составляли существенное свойство геометрии, и доказательство поныне остается фундаментом всей математики. Утверждение, у которого нет доказательства, воспринимается с подозрением вне зависимости от того, сколь много конкретных свидетельств говорит в его пользу и сколь важными могут оказаться его следствия. Физики, инженеры и астрономы, напротив, нередко относятся к доказательствам с пренебрежением — как к некоторому педантичному довеску, поскольку у них есть для него эффективная замена — наблюдение.
В качестве примера представим себе астронома, который пытается вычислить движение Луны. Он запишет математические уравнения, определяющие движение Луны, и тут же застрянет, поскольку не видно никакого способа решить эти уравнения точно. Тогда наш астроном может слегка схитрить, вводя в свои уравнения различные упрощающие приближения. Математика будет волновать вопрос, могут ли эти приближения серьезно повлиять на ответ, и он будет стремиться доказать, что с ними все в порядке. У астронома же есть иной способ проверить осмысленность своих действий. Он может посмотреть, действительно ли движение Луны таково, как следует из его вычислений. Если да, то этим одновременно обосновывается метод (поскольку получается правильный ответ) и проверяется теория (по той же причине). Замкнутого логического круга здесь нет, потому что если метод математически некорректен, то почти наверняка он не позволит правильно предсказать движение Луны[6].
Без доступа к роскоши наблюдений или экспериментов математикам приходится проверять свою работу, исходя из ее внутренней логики. Чем важнее следствия из некоторого утверждения, тем важнее убедиться, что это утверждение истинно. Так что доказательство становится даже еще важнее, когда всем хочется, чтобы данное утверждение было верным, или когда из его истинности будет вытекать огромный объем следствий.
Доказательства не могут висеть в воздухе, и их нельзя до бесконечности возводить к другим, логически им предшествующим. Где-то у них должно быть начало, и начало это по определению состоит из вещей, которые не доказываются и никогда не будут доказываться. Сегодня мы называем эти недоказываемые исходные предположения аксиомами. Для математической теории аксиомы представляют собой правила игры.
Всякий, кто возражает против аксиом, может при желании их изменить; однако результатом таких действий будет совсем другая история. Математика не утверждает, что некоторое утверждение
Следствия из аксиом Эвклида — длинная, тщательно отобранная цепочка логических построений — простираются необычайно далеко. Например, он доказывает — применяя логику, которая в его дни считалась безукоризненной, — что, коль скоро вы принимаете его аксиомы, вы неизбежно должны заключить следующее.
• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.
• Существует бесконечно много простых чисел.
• Существуют иррациональные числа — такие, которые не выражаются в виде дроби. Примером является квадратный корень из двух.
• Имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку.
• Можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6 , 8, 10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку.
Я выразил эти «теоремы», как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, на современном языке. Язык Эвклида отличался довольно сильно: Эвклид не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.
Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.
Типичная и заслуженно знаменитая теорема — это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.
Теорема Пифагора.
Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).
Как разделить угол пополам циркулем и линейкой.
Повторяя это построение, можно разделить угол на четыре равные части, на восемь, на шестнадцать — число частей удваивается на каждом шаге, так что мы получаем степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее.
Поделиться книгой: