Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews

Алгоритм действий № 9

Как в EViews проверить остатки на стационарность

Шаг 1. Установка необходимых опций

С этой целью нужно выбрать строку 2 WORKFILE (рабочий файл), а затем открыть файл RESID (остатки), который появляется в рабочем файле после того, как мы воспользовались опцией FORECAST (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»).

Далее в файле RESID нам следует воспользоваться опцией UNIT ROOT TEST (тест на единичный корень), в результате чего появится (рис. 4.1) мини-окно UNIT ROOT TEST, в котором нам нужно выбрать следующие опции.

Шаг 2. Заполнение мини-окна UNIT ROOT TEST

Параметр TEST TYPE (тип теста) установим на опции AUGMENTED DICKEY — FULLER (расширенный тест Дикки — Фуллера), поскольку этот тест чаще всего используется на практике, так как он учитывает возможную автокорреляцию в остатках. Параметр TEST FOR UNIT ROOT IN (тест на единичный корень для…) следует установить на опции 1ST DIFFERENCE (первых разностей), так как при исследовании остатков на стационарность не используются их исходные уровни. Параметр INCLUDE IN TEST EQUATION (включить в тестовое уравнение) установим на опции NONE (не включать тренд или тренд и константу), поскольку в остатках отсутствует тренд и свободный член уравнения (константа). Параметр LAG LENGTH (длина лага) установим на опции AUTOMATIC SELECTION (автоматический выбор), что позволит EViews самостоятельно выбрать длину лага. Вполне естественно, что при необходимости длину лага можно задать самому.

Шаг 3. Интерпретация результатов теста

Теория тестирования стационарности временных рядов изложена ниже. А чтобы просто сделать вывод о стационарности временнoго ряда на основе расширенного теста Дикки — Фуллера, нужно знать следующее. После того как ранее мы заполнили мини-окно Unit Root test и щелкнули кнопку ОК, в результате у нас получилась табл. 4.4 с итогами теста. При этом главное внимание нужно обратить на верхнюю строчку теста, выделенную жирным шрифтом: Augmented Dickey — Fuller test statistic (статистика расширенного теста Дикки — Фуллера). Поскольку статистика теста Дикки — Фуллера в этом случае равна 11,05764, а ее значимость (Prob.) равна 0,0000, то нулевая гипотеза о том, что D(RESID) имеет единичный корень, отвергается. Следовательно, мы можем принять альтернативную гипотезу о стационарности полученных остатков.

При этом в табл. 4.4 даются критические значения теста (Test critical values), на основе которых о стационарности остатков можно судить с различным уровнем надежности. Так, в том случае, когда статистика расширенного теста Дикки — Фуллера меньше -2,576127, то вывод о стационарности остатков можно сделать с 99 %-ным уровнем надежности, а если меньше -1,942361, но больше -2,576127, то с 95 %-ным уровнем надежности. Если интересующая нас статистика меньше -1,615684, но больше -1,942361, то уровень надежности вывода о стационарности остатков снижается до 90 %.

В основе теории единичного корня лежит довольно простая формула, которая считается базовой для понимания стационарности в уравнениях авторегрессии:

Y_t = ρY_t-1 + e_t, (4.4)

где Y_t — результативная зависимая переменная;

Y_t-1 — независимая факторная переменная с лагом в один период (в нашем случае в один месяц);

ρ — коэффициент регрессии;

е_t — остатки.

Уравнение авторегрессии 1-го порядка считается стационарным в том случае, когда коэффициент регрессии ρ < 1. Соответственно если ρ > 1, то оно считается нестационарным, а следовательно, волатильность с течением времени может нарастать и стремиться к бесконечности. Следует заметить, что при необходимости в формулу (4.4) может быть добавлена константа либо константа и тренд, если, конечно, они будут статистически значимыми.

Проверка авторегрессионного процесса на стационарность проводится следующим образом. Согласно нулевой гипотезе, предполагается, что если ρ = 1, то временной ряд нестационарный, а в случае ее опровержения принимается альтернативная гипотеза, утверждающая, что ρ < 1, а следовательно, ряд стационарный.

В ходе решения обычного уравнения регрессии рассчитывается t-статистика для коэффициента регрессии ρ, совпадающая с расчетными значениями статистики Дикки — Фуллера, которая потом сравнивается с критическими значениями статистики Дикки — Фуллера (обычно даются в таблице, но в EViews, естественно, мы их получим в готовом виде). Сравнение проводится по одностороннему критерию, но если бы альтернативная гипотеза состояла в утверждении, что ρ ≠ 1, то тогда мы пользовались бы двусторонним критерием. Поскольку проверка гипотезы проводится по одностороннему критерию, то в этом случае, если расчетное значение t-статистики для коэффициента регрессии ρ будет меньше критического значения статистики Дикки — Фуллера (с поправкой на число наблюдений), нулевая гипотеза о том, что ρ = 1 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что ρ < 1, а следовательно, временной ряд Y_t можно считать стационарным.

Стандартный тест Дикки — Фуллера проводится после вычитания Y_t-1 из левой и правой частей уравнения (4.4). В результате мы получаем следующую формулу:

Y_t — Y_t-1 = ρY_t-1 — Y_t-1 + e_t (4.5)

Учитывая, что dY₁ = Y_t- Y_t-l, а ρY_t-1 — Y_t-1 = (ρ -1)Y_t-1, и приравняв α = (ρ-1), получим новое уравнение:

dY₁ = αY_t-1 + e_t (4.6)

С учетом того, что при r = 1 параметр а становится равным нулю, то соответственно в случае принятия нулевой гипотезы α = 0, а если принимается альтернативная гипотеза, то соответственно |α| < 1, а следовательно, временной ряд считается стационарным.

Однако на практике большую популярность приобрел расширенный тест Дикки — Фуллера AUGMENTED DICKEY — FULLER, так как он учитывает возможную автокорреляцию в остатках. При этом в правую часть уравнения (4.6) включаются дополнительные лаговые переменные Y. В результате это уравнение приобретает следующий вид:

В дальнейшем эти знания нам потребуются для проверки авторегрессионного процесса 2-го порядка (см. уравнение (4.1)) на стационарность, а пока применим эту теорию для проверки на стационарность остатков, полученных в результате решения этого уравнения. Заполнив в алгоритме № 9 мини-окно UNIT ROOT TEST и щелкнув кнопку ОК, мы фактически решили следующее уравнение регрессии:

В результате решения расширенного теста Дикки — Фуллера мы получили табл. 4.4 с итогами теста, свидетельствующими о стационарности остатков. О том, как мы пришли к этому выводу, подробно рассказано выше (см. алгоритм действий № 9 «Как проверить в EViews остатки на стационарность модели»).

Поскольку мы доказали, что остатки, полученные по модели авторегрессии 2-го порядка без константы, являются стационарными, то, следовательно, можно сделать вывод, что их распределение носит устойчивый характер.

4.3. Описательная статистика и тестирование остатков на нормальное распределение

Теперь нашей задачей является ответить на следующий важный вопрос: является ли распределение полученных остатков нормальным? При составлении интервальных прогнозов мы исходим из предположения, что распределение остатков носит нормальный характер, поэтому теперь должны проверить, насколько это утверждение соответствует истине.

Алгоритм действий № 10

Как в EViews получить описательную статистику остатков

Шаг 1. Установка необходимых опций

Чтобы узнать характер распределения остатков, необходимо в рабочем файле открыть файл RESID, а затем выбрать опции VIEW (CMOTpeTb)ZDESCRIPTIVE STATISTICS (описательная статистика)/ STATS TABLE (таблица со статистикой). В результате мы получили табл. 4.5 с описательной статистикой для остатков.

Шаг 2. Интерпретация результатов теста

Во-первых, если Probability (значимость) больше 0,05, то гипотеза о нормальном распределении остатков подтверждается. Поскольку в нашем случае Probability = 0, то гипотеза о нормальном распределении остатков отклоняется. Во-вторых, если коэффициент асимметрии (Skewness) больше нуля, то в остатках наблюдается правосторонняя асимметрия, а если меньше нуля — левосторонняя асимметрия. Судя по табл. 4.5, в этом случае в распределении остатков наблюдается правосторонняя асимметрия. Если коэффициент эксцесса (Kurtosis) больше 3, то наблюдается островершинное распределение, а если меньше — плосковершинное распределение статистического ряда. В этом случае мы наблюдаем «островершинное» распределение остатков. С более подробной интерпретацией описательной статистики можно познакомиться ниже.

Дадим некоторые пояснения к табл. 4.5. Так, среднее (Mean) равно сумме всех остатков, деленной на количество наблюдений. В свою очередь медиана (Median) представляет собой величину, расположенную в середине нечетного ряда, ранжированного в порядке возрастания или убывания. В четном ряде медиана равна среднему значению двух соседних величин, расположенных в середине ряда. Соответственно максимум (Maximum) и минимум (Minimum) означают максимальное и минимальное значения временного ряда.

Стандартное отклонение является мерой дисперсии для временного ряда и находится по формуле для стандартного отклонения по выборке:

В нашем случае стандартное отклонение имеет следующее значение:

Коэффициент асимметрии является своего рода индикатором, показывающим степень асимметричности распределения статистического ряда. Следует иметь в виду, что в случае полной симметрии, в том числе и при нормальном распределении, коэффициент асимметрии должен быть равен нулю. Если коэффициент асимметрии меньше нуля, то говорят о левосторонней асимметрии, а если больше нуля, — то о правосторонней асимметрии. Коэффициент асимметрии для остатков в EViews рассчитан по следующей формуле:

В этом случае коэффициент асимметрии имеет следующее значение:

Как мы видим, в этом случае коэффициент асимметрии равен 4,939145, следовательно, в распределении остатков наблюдается очень сильная правосторонняя асимметрия, т. е. имеет место преобладание положительных остатков над отрицательными. Отсюда можно сделать вывод, что в динамике курса доллара к рублю чаще наблюдались резкие (вполне очевидно, что незначительные плавные колебания курса легко поддаются прогнозированию) подъемы, чем аналогичные падения. С фундаментальной точки зрения этот факт объясняется многолетней политикой Банка России по поддержанию слабого курса рубля.

Коэффициент эксцесса можно назвать индикатором «крутизны» распределения статистического ряда. Коэффициент эксцесса для нормального распределения равен 3. В том случае, когда этот коэффициент больше 3, это является показателем «островершинного» распределения, а если меньше 3, это свидетельствует о «плосковершинном» распределении статистического ряда. Коэффициент эксцесса для остатков в EViews вычислен по следующей формуле:

где расчетное стандартное отклонение а находится таким же образом, как и в формуле (4.10).

В нашем случае коэффициент эксцесса имеет следующее значение:

Поскольку коэффициент эксцесса равен 45,83162 (см. табл. 4.5), можно сделать вывод, что распределение остатков является «островершинным». По сути это означает, что в этом распределении имеется ярко выраженное ядро плотности распределения, внутри которого диапазон колебаний величины остатков незначителен, и рассеянное «гало», где разброс колебаний величины остатков весьма значителен. С точки зрения предсказания курса доллара такой характер распределения позволяет задавать, например, при 80 %-ном уровне надежности, не слишком широкие прогностические интервалы. Правда, если инвестор хочет иметь прогноз с более высоким 99 %-ным уровнем надежности, то из-за рассеянного «гало» ширина этих интервалов начинает резко увеличиваться.

В EViews есть возможность посмотреть в графическом виде оценку ядра плотности распределения с помощью опций DISTRIBUTION/ KERNEL DENSITY GRAPHS… (распределение/графики ядра плотности распределения). В появившемся мини-окне KERNEL DENSITY (ядро плотности распределения) по умолчанию устанавливается опция EPANECHNICOV, а всего их здесь семь и отличаются они друг от друга по используемому алгоритму сглаживания (рис. 4.2).

Дело в том, что в отличие от обычной гистограммы (столбчатая диаграмма, высота каждого прямоугольника которой пропорциональна частоте распределения в заданном интервале значений) график ядра плотности распределения создается с помощью сглаживания, в ходе которого различным наблюдениям присваиваются определенные веса. При этом соблюдается следующий принцип: чем дальше отдельное наблюдение от оцениваемой «точки», тем более легкий вес ему присваивается. В результате получается диаграмма, приведенная на рис. 4.3, на которой хорошо виден «островершинный» характер ядра плотности распределения остатков.

Для большей наглядности ядро плотности распределения остатков можно сравнить с нормальным распределением, имеющим стандартное ядро плотности распределения (рис. 4.4). С этой целью мы получили в Excel нормальное распределение, используя опции АНАЛИЗ ДАННЫХ/ГЕНЕРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. Сравнив рис. 4.3 и 4.4, легко заметить, что у нормального распределения, во-первых, вершина гораздо более плоская; во-вторых, ядро плотности распределения значительно шире; в-третьих, рассеянное «гало» не столь широко разбросано по краям.

Продолжим анализ характера распределения остатков и с этой целью посмотрим оценку значимости критерия Жарка — Бера, представленную в табл. 4.5. При этом следует иметь в виду, что величина критерия Жарка — Бера служит для проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении изучаемого статистического ряда. Тестовая статистика в этом случае измеряет разницу между нормальным распределением и коэффициентами асимметрии и эксцесса, вычисленными для данного статистического ряда. Критерий Жарка — Бера находится по следующей формуле:

где N— количество наблюдений;

А — коэффициент асимметрии;

К— коэффициент эксцесса;

k — количество параметров, использованных для создания данного временнoго ряда.

После этого значение теста Жарка — Бера сравнивают с распределением χ2 (хи-квадрат) с двумя степенями свободы. В том случае, если критерий Жарка — Бера > χ2_крипт, то делается вывод о неслучайном характере распределения, а следовательно, нулевая гипотеза о нормальном распределении опровергается. В нашем случае значение теста Жарка — Бера равно 17147,64, а следовательно, если сравнить с соответствующим табличным значением χ2_{крипт001},₂ = 9,21, то рассчитанный нами критерий Жарка — Бера существенно выше последнего.

Впрочем, нам не обязательно заглядывать в таблицу. Чтобы вычислить значимость критерия Жарка — Бера в Excel, достаточно воспользоваться функцией ХИ2РАСП (17147,64; 2) = 0. Ав EViews значимость (Probability) критерия Жарка — Бера, равная нулю, выдается автоматически (см. табл. 4.4).

Поскольку при значимости критерия Жарка — Бера (Probability) < 0,05 нулевая гипотеза о нормальном распределении опровергается с 95 % уровнем надежности, то, следовательно, в нашем случае мы вынуждены отвергнуть гипотезу о нормальном распределении остатков.

В EViews имеется и ряд других тестов, с помощью которых можно провести дополнительную проверку нулевой гипотезы о нормальном распределении. В частности, если в файле RESID воспользоваться опциями VIEW/DISTRIBUTION/EMPIRICAL DISTRIBUTION TESTS… (смотреть/распределение/тесты на проверку характера эмпирического распределения), то мы получим результаты проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении остатков с помощью соответствующих тестов Лиллиефорса (Lilliefors), Крамера фон Мизеса (Cramer von Mises), Уотсона (Watson) и Андерсона — Дарлинга (Anderson — Darling). Результаты тестирования занесены в табл. 4.6. Поскольку значимость (Probability) критериев по всем четырем тестам равна нулю, то нулевая гипотеза о нормальном распределении остатков опровергается.

В связи с опровержением нулевой гипотезы возникает вопрос: можно ли в этой ситуации строить интервальные прогнозы по курсу доллара исходя из предположения о нормальном распределении остатков? Вот как на него отвечает известный американский профессор статистики Стэнфордского университета Т. Андерсон: «Приведенные процедуры проверки гипотез и построения доверительных областей были основаны на предположении о том, что наблюдения распределены нормально. Если предположение о нормальности не выполняется, то эти процедуры все же можно применять для больших выборок, используя асимптотическую теорию…

Значение приведенных теорем (доказывающих асимптотическую теорию. — Прим. авт.) состоит в том, что, опираясь на них, обычную теорию для нормального случая при больших объемах выборок можно использовать с достаточной точностью и в тех ситуациях, когда наблюдения не являются нормально распределенными»[11].

Можно ли применить асимптотическую теорию к распределению остатков, полученных с помощью статистической модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2)? Поскольку малой выборкой принято называть выборку, имеющую до 30 степеней свободы, а в нашей выборке имеется 210 степеней свободы, то вполне естественно, что асимптотическую теорию в этом случае можно использовать.

Почему столь важно строить интервальные прогнозы по курсу доллара исходя из предположения о нормальном распределении остатков? Дело в том, что нормальный закон распределения играет важнейшую роль в теории вероятностей. При этом главной особенностью этого закона является тот факт, что он является предельным законом, к которому — при определенных условиях — приближаются другие законы распределения. Предполагая, что остатки распределены согласно закону о нормальном распределении (т. е. их распределение определяется воздействием множества случайных причин), мы тем самым приписываем им следующие свойства, благоприятные для построения интервальных прогнозов.

Во-первых, график плотностей вероятностей нормального распределения (см. рис. 4.4) имеет колоколообразную форму, симметричную относительно средней (математического ожидания) μ. При этом плотность вероятностей нормального распределения определяется по формуле

где s — стандартное отклонение.

Следовательно, плотность вероятностей нормального распределения полностью определяется двумя параметрами остатков — их средней величиной (математического ожидания) μ и стандартным отклонением s.

Во-вторых, график плотностей вероятностей нормального распределения показывает, что для нормально распределенных остатков вероятность отклонения от их средней величины (математического ожидания) μ быстро уменьшается с ростом этого отклонения.

В-третьих, если μ = 0, а стандартное отклонение s = 1, то нормальное распределение с такими параметрами называется нормированным. При этом плотность вероятностей нормированного нормального распределения определяется по следующей формуле:

В-четвертых, если функцию нормированной плотности вероятностей распределения f(x) перевести в проценты (при 1 = 100 %), а затем построить график плотности вероятностей нормированного нормального распределения, то мы получим диаграмму, изображенную на рис. 4.5.

Исходя из этого рисунка можно прийти к выводу: если мы будем суммировать (интегрировать) вероятность попадания остатка в область интервального прогноза при стандартном отклонении s, то выяснится, что в этом случае в область интервального прогноза попадет 68,17 % всех нормально распределенных остатков. Соответственно при стандартном отклонении s = ± 2 в область интервального прогноза попадет 95,45 % всех нормально распределенных остатков, а при стандартном отклонении s = ± 3 в область интервального прогноза попадет 99,73 % всех нормально распределенных остатков. Заметим также, что чаще всего интервальные прогнозы строят исходя из 95 %-ного уровня надежности при нормированном стандартном отклонении, равном 1,96; либо при 99 %-ном уровне надежности при нормированном стандартном отклонении, равном 2,58; либо при 99,9 %-ном уровне надежности при нормированном стандартном отклонении 3,29.

4.4. Построение точечных и интервальных прогнозов

Таким образом, предположение о нормальном распределении остатков позволяет нам строить интервальные прогнозы исходя из определенных доверительных интервалов, точность которых можно проверить. Именно этим мы сейчас и займемся.

Однако прежде чем перейти к составлению интервальных прогнозов, нам необходимо исходя из уже решенного уравнения регрессии (4.3) составить точечный прогноз на май 2010 г. Последняя дата выбрана не случайно, так как это позволяет нам смоделировать ситуацию реального прогноза. Дело в том, что в этом случае в качестве базы данных мы использовали информацию по ежемесячному курсу доллара за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г., а точечный прогноз составили на май 2010 г. Именно по такой схеме обычно в реальной жизни и делаются прогнозы.

Алгоритм действий № 11

Как в EViews построить точечный прогноз

С помощью опции FORECAST находим точечный прогноз на будущий месяц. В EViews точечные прогнозы выдаются автоматически: сразу же после использования опции FORECAST (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews») у нас в рабочем файле появляется файл USDollarf. Поскольку в качестве конечной даты для прогноза нас интересует май 2010 г., то при этом нужно проследить, чтобы в опции FORECAST SAMPLE (выборка для прогноза) последней датой был именно этот месяц, который в EViews обозначается как 2010m05 (рис. 4.6). Таким образом, открыв файл USDollarf, мы увидим предсказанные значения курса доллара с августа 1992 г. (прогноз на июнь и июль 1992 г. не строится из-за потери двух наблюдений, обусловленной созданием двух факторных лаговых переменных) по май 2010 г. В результате мы выяснили, что точечный прогноз курса доллара на конец мая 2010 г. у нас равен 29 руб. 31,37 коп. Этот прогноз на май 2010 г. (как, впрочем, и точечные прогнозы на другие месяцы) был рассчитан путем подстановки в формулу (4.3) соответствующих значений переменных:

USDOLLAR = 1,321092 × USDOLLAR(-1) — 0,319415 × USDOLLAR(-2) × USDOLLAR = 1,321092 × 29,28860 — 0,319415 × 29,36380 = 29,31370.

Алгоритм действий № 12

Как в EViews построить интервальные прогнозы