Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews

где в опции X дается t-статистика, для которой нужно вычислить двустороннее распределение;

в опции df — число степеней свободы; в опции хвосты — цифра 2 для двустороннего распределения.

Для свободного члена уравнения эта функция приобретает следующий вид:

СТЬЮДРАСП (2,284573; 215-1-1= 213; 2) = 0,023323.

Следовательно, Р-значение свободного члена уравнения показывает, что этот коэффициент значим лишь при 5 %-ном уровне значимости, но не при 1 %-ном уровне значимости.

Для коэффициента регрессии P-значение в Excel находится следующим образом[4]:

СТЬЮДРАСП (23,12267; 215 — 1–1= 213; 2) = 5,4Е — 60 = 0,0.

Следовательно, P-значение коэффициента регрессии показывает, что этот коэффициент значим не только при 5 %-ном уровне значимости, но и при 1 %-ном уровне значимости.

5. Столбцы НИЖНИЕ 95 % и ВЕРХНИЕ 95 % показывают соответственно нижние и верхние интервалы значений коэффициентов при 95 %-ном уровне значимости. Для расчета доверительных интервалов сначала устанавливается критическое значение /-критерия, которое в Excel находится с помощью функции

СТЬЮДРАСПОБР (α = 0,05; df = n — k — 1);

где в опции α — величина риска, при котором коэффициент регрессии (или свободный член) может оказаться за рамками установленных доверительных интервалов;

в опции df — число степеней свободы.

Таким образом, для 95 %-ного уровня надежности t-критерий = СТЬЮДРАСПОБР (α = 0,05; df= 215 — 1–1) = 1,9712.

Далее для свободного члена уравнения находим:

1. Значение столбца НИЖНИЕ 95 % = КОЭФФИЦИЕНТ — СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА × t-критерий = 1,995805 — (0,873601 × 1,9712) = 0,273794.

2. Значение столбца ВЕРХНИЕ 95 % = КОЭФФИЦИЕНТ + СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА × t-критерий = 1,995805 + (0,873601 × 1,9712) = = 3,717815.

Для коэффициента регрессии TIME находим:

1. Значение столбца НИЖНИЕ 95 % = КОЭФФИЦИЕНТ — СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА × t-критерий = 0,162166 — (0,007013 × 1,9712) = 0,148342.

2. Значение столбца ВЕРХНИЕ 95 % = КОЭФФИЦИЕНТ + СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА × t-критерий = 0,162166 + (0,007013 × 1,9712) = 0,175991.

6. Столбцы НИЖНИЕ 99 % и ВЕРХНИЕ 99 % показывают соответственно нижние и верхние интервалы значений коэффициентов при 99 %-ном уровне значимости. При этом значения столбца НИЖНИЕ 99 % и ВЕРХНИЕ 99 % находятся аналогичным образом, как и значения столбцов НИЖНИЕ 95 % и ВЕРХНИЕ 95 %.

Единственное отличие — это расчет t-критерия для 99 %-ного уровня надежности. При этом t-критерий = СТЬЮДРАСПОБР (α = 0,01; df= 215 — 1–1) = 3,3368. Найденный t-критерий используют при нахождении 99 % доверительных интервалов для свободного члена и коэффициента регрессии. Правда, со свободным членом уравнения у нас возникает довольно серьезная проблема. Дело в том, что при 99 %-ном уровне надежности у свободного члена уравнения при переходе от столбца НИЖНИЕ 99 % к столбцу ВЕРХНИЕ 99 % происходит смена знака от минуса к плюсу. Вполне очевидно, что в практических расчетах столь неоднозначно изменяющийся свободный член уравнения (он может быть как положительным, так и отрицательным, а также равным нулю) невозможно использовать. Поэтому для 99 %-ного уровня надежности свободный член уравнения считается статистически незначимым, в то время как для 95 %-ного уровня надежности его можно считать статистически значимым, поскольку в последнем случае при переходе от столбца НИЖНИЕ 95 % к столбцу ВЕРХНИЕ 95 % не происходит смена знака от минуса к плюсу.

Суммируя сказанное, приведем краткий алгоритм принятия решения о статистической значимости уравнения регрессии на основе ВЫВОДА ИТОГОВ в Excel.

Алгоритм действий № 4

Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его коэффициентов

Шаг 1. Принятие решения о значимости уравнения регрессии

1.1. Чем ближе R-квадрат к единице, тем лучше. Это дает важный критерий для выбора одного из нескольких уравнений регрессии.

1.2. Значимость F при 95 %-ном уровне надежности должна быть меньше 0,05; при 99 %-ном должна быть меньше 0,01.

Шаг 2. Принятие решения о значимости коэффициентов уравнения регрессии

2.1. P-значение должно быть меньше 0,05 при 95 %-ном уровне надежности; при 99 %-ном P-значение должно быть меньше 0,01.

2.2. Коэффициенты регрессии и свободный член уравнения при переходе от столбцов НИЖНИЕ и ВЕРХНИЕ (при заданном уровне надежности) не должны менять свой знак. Если смена знака происходит, то коэффициенты регрессии и свободный член уравнения признаются статистически незначимыми.

Исходя из этого краткого алгоритма мы отметили жирным шрифтом в ВЫВОДЕ ИТОГОВ (табл. 2.5) именно те пункты, на которые следует обратить внимание. При этом те пункты, которые не являются статистически значимыми при определенном уровне надежности, мы не только выделили жирным шрифтом, но еще и подчеркнули.

Таким образом, взяв за основу данные из табл. 2.5 и действуя по алгоритму № 4, мы дадим ответы на все его четыре пункта.

1.1. Поскольку коэффициент детерминации R2 для этого уравнения регрессии оказался равен 0,71511, то отсюда можно сделать вывод, что это уравнение в 71,51 % случаях в состоянии объяснить ежемесячные колебания курса доллара.

1.2. Значимость F равна 5,4Е -60 или нулю, а следовательно, уравнение регрессии статистически значимо как при 95 %-ном уровне надежности, так и при 99 %-ном уровне надежности.

2.1. Р-значение для свободного члена уравнения равно 0,023323, а следовательно, этот коэффициент статистически значим лишь при 95 %-ном уровне надежности, но незначим при 99 %-ном уровне надежности, поскольку он больше 0,01. Р-значение для коэффициента регрессии равно нулю, а следовательно, этот коэффициент статистически значим как при 95 %-ном уровне надежности, так и при 99 %-ном уровне надежности.

2.2. Свободный член (константа) уравнения при переходе от столбца НИЖНИЕ 99,0 % к столбцу ВЕРХНИЕ 99,0 % меняет знак с минуса на плюс, а потому статистически незначим при 99 %-ном уровне надежности. При 95 %-ном уровне надежности смены знаков не происходит, а потому свободный член уравнения при этом уровне надежности статистически значим. Коэффициент регрессии статистически значим как при 95 %, так и при 99 %-ном уровне надежности, поскольку и в том, и в другом случае смены знака у этого коэффициента не происходит. Следовательно, на основании табл. 2.5 можно сделать вывод, что в целом уравнение регрессии и все его коэффициенты статистически значимы при 95 %-ном уровне надежности.

Как мы уже говорили ранее, уравнение регрессии в отличие от обычных уравнений, оценивающих функциональную, т. е. жестко детерминированную связь между переменными, дает прогноз зависимой переменной с учетом воздействия случайного фактора, поэтому фактические значения результативного признака практически всегда отличаются от его расчетных (теоретических) значений. При этом случайная компонента (остаток) находится следующим образом.

Сначала находится прогнозируемый курс доллара, например, на апрель 2010 г. С учетом того, что порядковый номер апреля 2010 г. равен 215 (июнь 1992 г. = 1), на этот месяц может быть предсказан следующий курс доллара:

Y_расч = 0,1622 × 215 + 1,9958 = 36,8616;

Е= Y_факт- Y_расч = -7,573.

Следовательно, прогноз, сделанный по уравнению регрессии, в апреле 2010 г. оказался выше фактического курса доллара на 7 руб. 57,3 коп. Вполне очевидно, что это слишком большая величина отклонения, чтобы исследуемое уравнение регрессии можно было бы использовать для прогноза валютного курса. В свою очередь чем ближе теоретические значения подходят к фактическим данным, тем лучше качество прогностической модели. Поскольку разница между фактическим и предсказываемым значениями курса доллара (Y_факт- Y_расч) может быть величиной как положительной, так и отрицательной, то ошибку аппроксимации (подгонки модели к фактическим данным) следует определять как в абсолютных цифрах по модулю, так и в процентах по модулю.

При этом среднюю абсолютную ошибку по модулю находят по следующей формуле:

Для нашего уравнения регрессии средняя абсолютная ошибка по формуле (2.20) будет равна

Иначе говоря, прогноз по этой статистической модели в среднем по каждому наблюдению отклонялся от фактического значения курса доллара на 5 руб. 62,3 коп. по модулю.

Среднюю относительную ошибку по модулю в процентах вычисляют по следующей формуле:

При этом средняя относительная ошибка по модулю в процентах имеет следующее значение:

Следовательно, прогноз по этой статистической модели в среднем по каждому наблюдению отклонялся от фактического значения курса доллара на 38,98 %. В то время как о хорошем качестве уравнения регрессии можно говорить лишь в том случае, если средняя относительная ошибка по модулю составляет не более 5–7 %[5].

Чтобы окончательно убедиться в непригодности для прогноза этого уравнения регрессии, построим табл. 2.6, в которой дадим прогнозы и фактический курс доллара за период с января 2009 г. по апрель 2010 г.

Судя по табл. 2.6, с января 2009 г. по апрель 2010 г. отклонения от прогноза (остатки), сделанного по уравнению регрессии Y_расч = 0,1622 × 215 + 1,9958, колебались в диапазоне от 98,5 коп. до 7 руб. 57,3 коп., что свидетельствует о невысокой точности этой прогностической модели. Более того, если построить график остатков по линейной прогностической модели, то легко обнаружить, что на нем имеется несколько локальных трендов (рис. 2.2). А это признак — как мы об этом уже говорили — нестационарности полученных остатков.

2.3. Решение уравнений регрессии в Excel графическим способом

Попробуем повысить точность нашего прогноза, используя алгоритм действий № 1 «Как строить диаграммы в Microsoft Excel». С этой целью обведем с помощью мышки столбец с ежемесячными данными (на конец месяца) по курсу пары «рубль — доллар» за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. и столбец с соответствующими обозначениями месяцев. Выбрав опцию ГРАФИК, строим соответствующую диаграмму, а затем щелкаем с помощью мышки по линии графика и выбираем в появившемся окне опцию ДОБАВИТЬ ЛИНИЮ ТРЕНДА (рис. 2.3).

Далее появляется диалоговое мини-окно ФОРМАТ ЛИНИИ ТРЕНДА, в котором мы можем выбрать соответствующие ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА (рис. 2.4), необходимые для построения прогностических моделей. При этом воспользуемся всеми имеющимися в Excel форматами тренда за одним-единственным исключением: из полиномиальных трендов возьмем тренды не выше третьей степени. В научной литературе обычно не рекомендуют использовать для аппроксимации фактических данных более сложные полиномы, поскольку они плохо поддаются интерпретации и, несмотря на высокий коэффициент детерминации (по включенной в статистическую модель базе данных), обладают низкой прогностической ценностью.

Сначала построим самый простой линейный тренд. С этой целью выберем в окне ФОРМАТ ЛИНИИ ТРЕНДА в опции ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА формат ЛИНЕЙНАЯ. При этом поставим галочку в опциях ПОКАЗЫВАТЬ УРАВНЕНИЕ НА ДИАГРАМММЕ, ПОМЕСТИТЬ НА ДИАГРАММУ ВЕЛИЧИНУ ДОСТОВЕРНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ (R^2)[6]. В результате получим диаграмму (рис. 2.5), показывающую линейный тренд, т. е. линейную зависимость роста курса доллара от времени (порядковый номер 1 — июнь 1992 г.).

Поочередно задавая различные параметры тренда и сравнивая коэффициенты детерминации, составим табл. 2.7, в которой разместим по мере роста коэффициента детерминации прогностические модели с различным форматом тренда. Наиболее высокий коэффициент детерминации соответствует уравнению регрессии, полученному путем аппроксимации по степенному тренду. В этом случае R2 оказался равен 0,919136, т. е. это уравнение регрессии объясняет 91,91 % всех ежемесячных колебаний курса доллара. Соответственно доля случайной компоненты оказалась равна: 100 % — 91,91 % = 8,09 %.

Чтобы правильно интерпретировать уравнения регрессии, полученные графическим способом, необходимо иметь в виду, что в процессе построения тренда программа Excel автоматически задает в качестве зависимой переменной у ежемесячный курс доллара, а в качестве независимой х — порядковый номер месяца. Например, экономическая интерпретация уравнения регрессии со степенной функцией у = 0,0443609х1,2807295 следующая: курс доллара в период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. ежемесячно рос со средней скоростью 1,28 % при исходном уровне 4,44 коп.[7]

Как мы уже убедились, графический способ решения уравнения регрессии в программе Excel позволяет довольно существенно экономить время. Однако у этого способа есть и один весьма существенный недостаток, обусловленный тем, что при этом не проводится оценка статистической значимости как в целом уравнения регрессии, так и его коэффициентов.

Таким образом, графический способ решения уравнения регрессии целесообразно использовать на этапе предварительного отбора уравнений регрессии, имеющих наиболее высокий коэффициент детерминации. После отбора уравнения регрессии с высоким коэффициентом детерминации в Excel его нужно решить, используя в Пакете анализа опцию РЕГРЕССИЯ (см. алгоритм действий № 3). Однако решение уравнения регрессии, аппроксимирующего фактические данные степенным трендом, имеет определенную специфику. В отличие от линейного тренда уравнение регрессии решается не относительно имеющихся исходных данных, а по отношению к их логарифмам. Объясняется это тем, что уравнение регрессии со степенным трендом относится по оцениваемым параметрам к нелинейным моделям, но путем логарифмирования его можно привести к линейному виду.

В результате уравнение регрессии для степенного тренда (см. табл. 2.7) приобретет следующий вид:

Следует иметь в виду, что приведение нелинейной функции к линейному виду с помощью логарифмирования используется очень часто, хотя это и приводит к некоторым коллизиям. Вот что пишут по этому поводу Е.М. Четыркин и И.Л. Калихман: «Однако такое преобразование приводит к тому, что оценка параметров базируется не на минимизации суммы квадратов отклонений, а на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах…Следствием этого является некоторое смещение оценок параметров, получаемых обычным (линейным) МНК»[8].

Далее параметры этого уравнения регрессии находятся согласно формулам (2.1.4) и (2.1.5) либо решаются с помощью соответствующей компьютерной программы.

Поэтому прежде чем приступить к выполнению алгоритма действий № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel», нужно взять натуральные логарифмы (логарифмы, основанием которых служит число е = 2,71828) как от независимой переменной х — порядковый номер месяца, так и от зависимой переменной у — курс доллара. В Excel для этих целей можно воспользоваться функцией LN. Далее поступаем в полном соответствии с алгоритмом действий № 3, а данные, полученные после решения уравнения регрессии, занесем в табл. 2.8.

Согласно алгоритму действий № 4 «Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его коэффициентов», проведем проверку статистической значимости этого уравнения регрессии. При этом выделим в табл. 2.8 все важнейшие пункты жирным шрифтом. В результате мы приходим к выводу, что у нас получились статистически значимыми уравнение регрессии и его коэффициенты как при 95 %-ном, так и 99 %-ном уровне надежности. Правда, поскольку уравнение регрессии мы решили относительно натуральных логарифмов, взятых от исходных данных, то в результате оно приобрело следующий вид:

LnY = -3,1154 + 1,28073 lпХ

Согласно последнему уравнению регрессии, прогноз курса доллара рассчитывается на основе логарифмов, взятых от исходных данных. Например, прогноз относительно апреля 2010 г. вычисляется следующим образом:

LnY = -3,1154 + 1,28073 × 5,370638 = 3,762939,

где 5,370638 = ln (215) — натуральный логарифм от порядкового номера апреля 2010 г. — 215.

Отсюда находим (в Excel потенцирование натуральных логарифмов производится с помощью функции ЕХР), что прогноз курса доллара на апрель 2010 г. равен

Y = ЕХР (3,762939) = 43,07482.

После проведения соответствующих преобразований уравнение регрессии приобретет следующий вид:

Y = ЕХР (-3,1154 + 1,28073 lnХ) = 0,044361 × X^1,28073.

С помощью последнего уравнения регрессии можно делать расчет прогнозов непосредственно от исходных данных, а не от их натуральных логарифмов. В результате можно получить следующий прогноз курса доллара на апрель 2010 г.:

Y =0,044361 × 215^1,28073,

где 215 — порядковый номер апреля 2010 г. (июнь 1992 г. — 1).

Несмотря на то что коэффициент детерминации у степенного уравнения регрессии выше, чем у линейного, однако, например, относительно апреля 2010 г. прогноз по этому уравнению регрессии весьма сильно отклоняется от фактического курса доллара, как впрочем, и во многих других случаях. Судя по табл. 2.9, с января 2009 г. по апрель 2010 г. отклонения от прогноза (остатки), сделанного по уравнению регрессии Y_расч = 0,044361 — X^1,28073, колебались в диапазоне от -3,7954 руб. до -13,7862 руб., что свидетельствует о невысокой точности этой прогностической модели.

При этом средняя абсолютная ошибка прогноза по модулю для степенной статистической модели (см. формулу (2.20)) оказалась равна 5 руб. 92,4 коп. Следовательно, этот показатель для анализируемой модели оказался на 30 коп. больше, чем у линейной модели. В свою очередь средняя относительная ошибка по модулю в процентах (см. формулу (2.20)) для степенной модели оказалась равна 31,10 %, т. е. на 7,78 процентных пункта ниже, чем у линейной модели. Более того, если построить график остатков по степенной прогностической модели (рис. 2.6), то легко обнаружить, что на нем наблюдается несколько локальных трендов. А это — как мы говорили ранее — наглядно свидетельствует о нестационарности остатков.

Отсюда можно сделать вывод, что не только линейная модель, но и степенная модель, в которой в качестве независимой переменной использовался фактор времени (порядковый номер месяца), оказались непригодны для прогнозирования курса доллара. Все это заставляет нас продолжить поиск адекватной прогностической модели.

Контрольные вопросы и задания

1. В чем суть метода наименьших квадратов, как этот метод можно представить графически?

2. Перечислите все пункты алгоритма действий, которые необходимо выполнить при решении уравнения регрессии в Microsoft Excel.

3. Какое уравнение регрессии (при прочих равных условиях) точнее: то, которое имеет коэффициент детерминации (R-квадрат) = 0,757, либо то, у которого R-квадрат равен 0,978? Объясните почему?

4. Можно ли признать статистически значимым уравнение регрессии в том случае, если значимость его F-критерия = 0,049? И если можно, то с каким уровнем надежности?

5. В каком случае делается вывод о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии? При каком Р-значении коэффициенты уравнения регрессии являются статистически значимыми с 95 %-ным и 99 %-ным уровнем надежности?

6. Перечислите форматы трендов, используемых в Excel при решении уравнений регрессии графическим способом. Чем эти форматы трендов отличаются друг от друга?

Глава 3

Уравнения авторегрессии и авторегрессии со скользящим средним

3.1. Специфика уравнений авторегрессии (AR)