(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

Нуль появился у греков, когда в 331 г. до н.э. Александр Македонский завоевал Вавилонское царство. Но даже когда александрийцы уже пользовались нулем, его все еще не рассматривали как самостоятельное число. В современной математике число 0 наделено двумя основными свойствами: при сложении с нулем число не меняется; при умножении на любое число нуль не меняется. Эти положения стали применяться только в IX в. благодаря индийскому математику Махавире.

Но даже после перехода на удобную для использования систему счисления понадобилось не одно столетие, прежде чем люди признали сложение, вычитание, умножение и деление основополагающими математическими операциями и медленно осознали, что специальные символы облегчат выполнение этих операций. Поэтому лишь к XVI в. западный мир созрел для теории вероятностей. Несмотря на неудачную систему счисления, именно римляне, эти завоеватели греков, сделали первые шаги к пониманию случайности.

Вообще-то римляне относились к математике с презрением, по крайней мере, к математике греков. По словам римского сенатора Цицерона, жившего с 106 по 43 гг. до н.э., «греки более всего почитали геометрию; соответственно, в математике они достигли величайших успехов. Однако мы, действуя в пределах этого искусства, извлекли из математики пользу, приспособив ее для измерений и вычислений»{33}. В самом деле, в то время как в греческих книгах доказывалось равенство абстрактных треугольников, в римских книгах приводился ход вычислений глубины реки, другой берег которой занял неприятель{34}. Неудивительно, что греки дали миру стольких великих математиков: Архимеда, Диофанта, Евклида, Евдокса, Пифагора, Фалеса, а римляне — ни одного. С такими-то приоритетами{35}! Римляне ценили удобства и вели войны, их не интересовали истина и красота. Но именно благодаря своей практичности они разглядели пользу от понимания вероятности. Поэтому, не видя особого проку от абстрактной геометрии, Цицерон написал, что «вероятность ведет нас по жизни»{36}.

Цицерона можно было бы назвать величайшим античным поборником принципа вероятности. Он прибегал к нему, когда оспаривал общепринятое объяснение успеха в азартных играх как божественного вмешательства, говоря, что «тому, кто играет, рано или поздно выпадет бросок Венеры, рано или поздно выпадет и два, три броска подряд. Но надо быть слабоумным, чтобы утверждать, будто это — результат личного вмешательства Венеры, а не чистой воды везенье»{37}. Цицерон верил, что событие возможно предвидеть, пусть даже оно и произойдет совершенно случайно. Он даже приводил доказательство из области статистики, высмеивая веру в астрологию. Цицерону не нравилось, что астрология, хоть и запрещенная в Риме, процветала; он отметил, что в 216 г. до н.э. в сражении при Каннах Ганнибал со своим пятидесятитысячным карфагенским войском, а также союзными войсками разгромил гораздо более многочисленную римскую армию: из 80 тыс. солдат полегло 60 тыс. «Едва ли у всех римских солдат, погибших в битве, был одинаковый гороскоп, — говорил Цицерон. И тем не менее всех постигла одна и та же участь{38}». Цицерону наверняка было бы приятно узнать, что пару тысячелетий спустя в одном солидном научном журнале ученые, изучив обоснованность астрологических предсказаний, согласились с его выводами{39}. С другой стороны, сегодня в «Нью-Йорк пост» напечатали, что мне, Стрельцу, следует отнестись к критике объективно, приняв ее во внимание.

В итоге Цицерон внес немалый вклад в развитие идей вероятности — термин probabilis, который он использовал, лег в основу современного термина. И лишь в «Дигестах», одной из частей римского права, составленного императором Юстинианом I, появляется документ, в котором впервые вероятность упоминается как юридический термин{40}. Чтобы оценить то, как римляне применили математические суждения в теории права, необходимо представлять себе те времена: римское право в Средние века основывалось на обычном, т.е. основанном на обычаях, праве германских племен. Которые мягкостью не отличались. Взять, к примеру, свидетельские показания. Правдивость мужа, отрицающего любовную связь с портнихой жены, определялась бы не способностью муженька выдержать уколы адвоката противной стороны, а тем, станет ли он придерживаться своей версии даже после уколов — настоящих, каленым железом. (Вот увидите: стоит только вернуться к такому обычаю, как очень многие будут разводиться без всякой помощи со стороны суда.) И если обвиняемый скажет, что колесница даже не пыталась затормозить, а привлеченный в качестве эксперта свидетель по следам лошадиных копыт заявит, что пыталась, германское право предписывало довольно-таки простой рецепт: «Пусть спор разрешится посредством поединка на копьях между двумя с обеих сторон. Проигравший будет сочтен лжесвидетелем, и ему отсекут правую руку»{41}.

Заменяя или скорее дополняя судебную практику сражением, римляне стремились с помощью математической точности исправить недостатки своей старой, произвольной системы. Как мы видели, римская идея справедливости включала в себя прогрессивные понятия. Признавая, что доказательства и свидетельские показания зачастую вступают в противоречие и что наилучший способ разрешить такое противоречие — выразить неизбежную неопределенность в количественном виде, римляне ввели понятие неполного доказательства. Оно применялось в тех случаях, когда отсутствовали неопровержимые основания для того, чтобы верить или не верить доказательствам или свидетельским показаниям. В некоторых случаях римская теория допускала еще более детальные степени доказательства, как, например, в положении о церкви: «епископ может быть осужден только при наличии семидесяти двух свидетелей... иерей может быть осужден только при наличии сорока четырех свидетелей, дьякон города Рима — при наличии тридцати шести свидетелей, иподьякон, пономарь, заклинатель, изгоняющий беса, псаломщик или дверник — при семи свидетелях{42}». Чтобы человека осудили при таких правилах, он должен не только совершить преступление, но и убедить в этом других. И все же признание того, что вероятность истины в показаниях может варьировать и что необходимы правила для сочетания таких вероятностей, — уже что-то. И вот в таком маловероятном месте, как древний Рим, впервые возник упорядоченный набор правил, в основе которых лежала вероятность.

К сожалению, едва ли возможно с ловкостью жонглировать числами вроде «VIII» или «XIV». В конце концов, хотя римское право было не лишено определенной доли юридического рационализма и связности, ему недоставало математической обоснованности. К примеру, в римском праве два неполных доказательства составляли полное доказательство. Это может показаться резонным тому, чей ум не привык мыслить категориями количества. При сегодняшней распространенности дробей напрашивается вопрос: если два неполных доказательства составляют полное доказательство, то чему равны три неполных доказательства? Согласно правильному методу сложения вероятностей, полное доказательство невозможно составить не только из двух неполных доказательств, но и из любого количества неполных доказательств, потому что при сложении вероятностей нужно не складывать их, а умножать.

Что подводит нас к очередному закону, правилу сложения вероятностей: «Если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга, то вероятность того, что А и В произойдут, равна произведению их отдельных вероятностей». Предположим, каждый год у человека женатого вероятность развестись равна примерно 1 к 50. С другой стороны, каждый год у полицейского вероятность погибнуть при исполнении равна 1 к 5000. Какова вероятность для женатого полицейского развестись и погибнуть в одном и том же году? Согласно вышеприведенному принципу, если события независимы друг от друга, шансы окажутся примерно такими: 1/50 х 1/5000, то есть 1/250000. Конечно же, события эти не являются независимыми друг от друга, они связаны: если полицейский погибнет, как он, черт возьми, может развестись? В таком случае вероятность такого исключительного невезения на самом деле получается чуть менее 1 из 250000.

Но почему умножение, а не сложение? Предположим, у вас фотографии 100 парней, с которыми вы познакомились через сайт знакомств в Интернете, тех самых парней, в профиле у которых висит фотография, напоминающая Тома Круза, а в жизни они скорее смахивают на Дэнни Де Вито. И вот вы подбираете наиболее привлекательных кандидатов. Предположим также, что на оборотной стороне каждой фотографии вы пишете два качества парня, к примеру, честный («да» или «нет») и привлекательный («да» или «нет»). И, наконец, предположим, что 1 из 10 возможных родственных душ получает в каждом случае «да» или «нет». Сколько парней из 100 пройдут тест по обеим категориям? Возьмем честность как основную черту (впрочем, можно основной сделать и привлекательность). Поскольку 1 из 10 получает «да» в категории «честный», в итоге останутся 10 парней из 100. Сколько парней из этих 10 окажутся привлекательными? Снова 1 из 10. В итоге у вас остается одна фотография. Первые 10 из 100 снижают вероятность на 1/10, то же самое происходит и при следующем отборе — 1 из 10. Как результат, 1 из 100. Вот почему мы умножаем. И если ваши требования не ограничиваются честностью и привлекательностью, придется все умножать и умножать, так что... удачи!

Прежде чем мы продолжим, стоит обратить внимание на одну важную деталь: условие «если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга». Предположим, в самолете осталось 1 свободное место, а регистрацию не прошли еще 2 пассажира. Предположим, что работники аэропорта по своему опыту знают: в 2 из 3 случаев пассажир, забронировавший место, все же прибывает. Воспользовавшись правилом умножения, бортпроводница у входа на посадку может прийти к следующему выводу: вероятность того, что ей придется иметь дело с недовольным пассажиром, равна 2/3x2/3, то есть примерно 44%. С другой стороны, вероятность того, что пассажир не явится вовсе, а самолет так и улетит с одним незанятым местом, равна 1/3x1/3, то есть примерно 11%. Но это при условии того, что пассажиры не зависят друг от друга. А если, скажем, они летят вместе? В таком случае вышеприведенные выкладки не действуют. Вероятность того, что прибудут оба пассажира, равна 2 из 3 — такая же, что и вероятность появления одного пассажира. Важно не забывать, что суммарная вероятность из простых вероятностей получается только при условии, если события никоим образом не связаны друг с другом.

Правило, которым мы только что воспользовались, вполне возможно применить и к римской идее неполных доказательств: вероятность ошибочности двух независимых друг от друга неполных доказательств равна 1 из 4, таким образом, два неполных доказательства составляют 3/4 доказательства, а не целое. Римляне применили сложение там, где следовало применить умножение.

Однако существуют ситуации, в которых вероятности следует суммировать, и тут мы переходим к следующему закону. Потребность в нем возникает, когда нам надо узнать: каковы шансы того, что произойдет одно либо другое событие, в противоположность предыдущей ситуации, когда нужно было узнать: каковы шансы того, что и одно и другое событие произойдут вместе. Закон гласит: «Если событие состоит из ряда элементарных исходов А, В, С и т.д., то вероятность А или В равна сумме отдельных вероятностей А и В, а сумма вероятностей всех возможных исходов (А, В, С и т.д.) равна 1 (те. 100%)». Если вы хотите узнать, какова вероятность того, что два независимых друг от друга события, А и В, произойдут, вам надо будет произвести умножение; если вы хотите узнать вероятность того, что любое из двух взаимоисключающих событий, А или В, произойдет, вы производите сложение. Вернемся к нашему самолету. Когда бортпроводнице нужно будет суммировать вероятности, а не умножать их? Предположим, она хочет узнать, какова вероятность того, что явятся либо оба пассажира, либо не явится ни один. В таком случае она должна сложить отдельные вероятности, которые согласно произведенным нами выше подсчетам будут равны 55%.

Эти три правила, такие простые, и лежат в основе теории вероятностей. Если применять их должным образом, можно многое понять в механизмах природы и повседневной жизни. Принимая решения, мы постоянно пользуемся этими правилами. Однако, как и римские законодатели, не всегда корректно.

Легко задним числом качать головами и писать книжки вроде «Этих ужасных римлян» («Схоластик», 1994). Но чтобы предупредить ничем не оправданное самодовольство, в заключение этой главы рассмотрим некоторые способы, при помощи которых те самые основные правила, о которых я рассказал, могут быть применены и к нашей правовой системе. Оказывается, этого достаточно, чтобы отрезвить любого опьяненного своим культурным превосходством.

Радует тот факт, что в наше время неполных доказательств не существует. Однако существует что-то вроде 999.000/1.000.000 доказательства. Об этом знают специалисты, которых привлекают на уголовном процессе к анализу ДНК с места преступления на предмет ее совпадения с ДНК подозреваемого. Насколько надежны такие сравнения? Когда впервые ввели анализ ДНК, целый ряд специалистов отметили: теперь ошибка исключена. В наше же время признают, что вероятность совпадения ДНК с места преступления с ДНК случайного человека равна менее 1 из 1 млн или 1 из 1 млрд. При такой-то вероятности едва ли можно винить присяжного за мысли вроде: «Тюрьма по нему плачет!». Но существует и другая статистика, в которую присяжных обычно не посвящают, и связана она с тем фактом, что совершают ошибки лаборатории: когда берут образец или производят с ним манипуляции, когда случайно путают образцы, подменяют один другим, неверно интерпретируют результаты или же ошибаются в отчетах. Каждая из этих ошибок случается редко, однако не реже совпадения образца ДНК с ДНК случайного человека. К примеру, в филадельфийской криминалистической лаборатории признались, что при расследовании случая изнасилования перепутали контрольный образец обвиняемого с образцом жертвы, да и в компании «Селлмарк Диагностикc», выполняющей анализы, рассказали о подобном случае{43}. К сожалению, сила данных по ДНК анализу такова, что оклахомский суд, основываясь на этих данных, приговорил некого Тимоти Дарема к более чем 3 тыс. лет тюремного заключения, и это несмотря на показания одиннадцати свидетелей, которые утверждали, что на момент совершения преступления Дарем находился в другом штате. Оказалось, что на начальном этапе анализа в лаборатории не удалось полностью разделить ДНК насильника и ДНК жертвы, в результате чего получившаяся комбинация дала положительный результат при сравнении с ДНК Дарема. Позднее повторный анализ выявил ошибку и Дарема выпустили, однако к тому времени он провел за решеткой почти четыре года{44}.

Данные подсчетов частоты ошибок, возникших по вине человека, различаются, однако многие специалисты говорят о примерно 1%. Но так как частоту ошибок по многим лабораториям никто не проверял, в судах редко принимают во внимание показания относительно подобной общей статистики. Даже если бы и принимали, как бы присяжные смогли оценить их? Большинство присяжных допускают, что при наличии двух типов ошибок — 1 из 1 млрд при случайном совпадении и 1 на 100 при ошибочном совпадении в лаборатории — общая частота ошибок должна находится где-то посередине, скажем, 1 из 500 млн. Цифра, по мнению присяжных, не дающая поводов для обоснованного сомнения.

А ход мысли такой. Раз обе ошибки крайне маловероятны, можно не обращать внимания на вероятность и случайного совпадения, и ошибки лаборатории. Следовательно, находим вероятность того, что случится либо одна ошибка, либо другая. Что, по правилу сложения, равно: вероятность ошибки лаборатории (1 из 100) + вероятность случайного совпадения (1 из 1 млрд). Поскольку второе в 10 млн меньше первого, то в весьма хорошем приближении вероятность обеих ошибок равна вероятности более вероятной ошибки, то есть, 1 из 100. Таким образом, можно пренебречь предупреждением специалистов о возможности случайного совпадения, и обратить внимание на гораздо более вероятный риск лабораторных ошибок. А ведь зачастую суды не позволяют адвокатам предоставлять эти данные! Выходит, что мнения о надежности анализа ДНК преувеличены.

И это не отдельный вопрос. Использование математических выкладок в современной правовой системе сопряжено с затруднениями ничуть не в меньшей степени, чем в Риме много столетий назад. Одним из наиболее известных дел, служащих примером правильного и неправильного применения вероятности в юриспруденции, является дело «Штат против Коллинзов», слушания по которому проходили в 1968 г. в калифорнийском Верховном суде{45}. Вот выдержка из судебного решения:

«18 июня 1964 г. около 11:30 миссис Хуанита Брукс, совершавшая покупки, шла вдоль переулка в Сан-Педро, г. Лос-Анджелес. За собой она катила тележку с плетеной корзиной, в которой лежали продукты, а поверх — кошелек. Миссис Брукс опиралась на трость. Когда она наклонилась, чтобы поднять пустую коробку, ее внезапно сбил человек — она не видела и не слышала его приближения. После падения миссис Брукс не сразу пришла в себя — она больно ударилась. Подняв голову, миссис Брукс успела заметить убегавшую молодую женщину. По словам миссис Брукс, женщина была среднего сложения, одета «во что-то темное», а о цвете волос миссис Брукс отозвалась как о «чем-то среднем между русым и светлой блондинкой», но светлее, чем волосы обвиняемой Джанет Коллинз, как выяснилось во время суда. Сразу после случившегося миссис Брукс обнаружила, что исчез ее кошелек, в котором было долларов 35 или 40.

Примерно в то же самое время, как произошло ограбление, Джон Басс, живущий в том же переулке, только в самом конце, поливал газон перед домом. Его внимание привлекли «плач и крики». Он повернулся на звуки и увидел, как из переулка выбегает женщина и садится в желтую машину через дорогу. Машину тут же завели; она рванула, на скорости объезжая другую машину, и при этом проехала совсем рядом с Бассом. Басс заметил, что за рулем сидел негр с усами и бородой... Другие свидетели описывали машину как желтую, желтую с кремово-белым верхом, желтую с верхом цвета яичной скорлупы. О самой машине отзывались как о большой либо средних размеров».

Через несколько дней после ограбления Лос-анджелесский полицейский заметил желтый «линкольн» с кремово-белым верхом — машина стояла у дома обвиняемых. Полицейский вступил с ними в разговор, объясняя, что расследует ограбление. Он отметил, что внешность подозреваемых соответствовала описанию свидетелей, за исключением бороды у мужчины, впрочем, мужчина сказал, что раньше носил бороду. В тот же день, только позднее, полиция арестовала подозреваемых, ими оказались Малькольм Рикардо Коллинз и его жена Джанет.

Улик против подозреваемой пары было недостаточно, и дело строилось в основном на их опознании жертвой и свидетелем, Джоном Бассом. К несчастью для обвиняющей стороны, ни миссис Брукс, ни Джон Басс не годились в качестве главных свидетелей. Миссис Брукс не могла опознать Джейн как исполнителя преступления, а водителя машины вообще не видела. Джон Басс не видел саму преступницу, а из нескольких лиц, предъявленных к опознанию, не смог с уверенностью показать водителя. Казалось, дело разваливается.

И тут появляется главный свидетель, который в бумагах суда записан всего лишь как «учитель математики из государственного колледжа». Этот свидетель сделал заявление: факта того, что обвиняемые были «белой женщиной со светлыми волосами, завязанными в хвост... {и} негром с бородой и усами», который сидел за рулем частично желтой машины, достаточно для признания пары виновной. Чтобы наглядно доказать свое утверждение, обвиняющая сторона представила следующую таблицу, слово в слово приведенную из решения суда:

Учитель математики, выступавший со стороны обвинения, сказал, что к этим данным применимо правило умножения вероятностей. Умножая все вероятности, можно прийти к выводу, что шанс Коллинзов на соответствие всем этим четким характеристикам равен 1 из 12 млн. Соответственно, по словам обвинителя, можно заключить, что вероятность Коллинзов оказаться невиновными равна 1 из 12 млн. Затем обвинитель отметил, что эти отдельные вероятности являются оценочными показателями, и предложил присяжным высказать свои собственные догадки, а затем перейти к математическим подсчетам. Сам он, продолжал обвинитель, полагает, что показатели достаточно скромные; у него вероятность с учетом факторов приближается к 1 из млрд. Присяжные согласились и вынесли обвинительный приговор.

Что здесь не так? Во-первых, как мы уже убедились, чтобы получить суммарную вероятность путем умножения отдельных вероятностей, эти отдельные вероятности должны быть независимыми друг от друга, а в данном случае это явно не так. К примеру, в таблице вероятность «негра с бородой» равна 1 из 10, а «мужчины с усами» — 1 из 4. Но большинство бородатых мужчин носят и усы, поэтому если был замечен «негр с бородой», вероятность того, что у наблюдаемого мужчины есть усы, уже не равна 1 из 4, она гораздо выше. Это несоответствие может быть устранено, если убрать категорию «негр с бородой». В таком случае согласно правилу умножения вероятностей получится 1 из 1 млн.

Однако в анализе допущена и другая ошибка: вероятность, указанная выше, — что произвольно выбранная пара совпадет по описанию с описанием подозреваемых — не является искомой вероятностью. Скорее, это вероятность того, что пара, отвечающая всем приведенным характеристикам, является виновной. Первая вероятность может быть равной 1 из 1 млн. Что до второй, то при условии, что население района, прилегающего к району совершения преступления, составляет несколько миллионов, можно с достаточным основанием говорить о 2-3 парах, соответствующих описанию. В таком случае вероятность того, что пара, отвечающая описанию, виновна, основывается на одном только этом доказательстве (в принципе, единственном, имевшемся в распоряжении обвинения) и равна всего 1 из 2 или 3. И где здесь отсутствие обоснованного сомнения? В результате Верховный суд отменил решение об обвинительном приговоре.

Применение принципов вероятности и статистики во время судебных заседаний наших дней все еще вопрос спорный. В деле Коллинзов калифорнийский Верховный суд осмеял так называемое «математическое разбирательство дела», однако не исключил возможности «корректного использования математических методов». В последующие годы в судах редко рассматривались доводы с использованием математических доказательств, но даже когда адвокаты с судьями и не прибегали к вероятности или математической теореме открыто, зачастую они все же использовали их при обосновании своих доводов, как и присяжные, когда оценивали доказательства. Более того, доводы с привлечением статистических данных становятся все более значимыми благодаря необходимости оценивать доказательства с привлечением анализа ДНК. К сожалению, все возрастающая необходимость не обернулась все возрастающим пониманием со стороны адвокатов, судей, присяжных. Томас Лайон, преподающий теорию вероятностей и право в Университете Южной Калифорнии, объясняет это так: «Очень немногие студенты-правоведы выбирают в качестве дополнительной дисциплины курс теории вероятностей, и очень немногие адвокаты считают, что такая теория вообще применима в юриспруденции»{46}. В области права, как нигде, благодаря пониманию теории случайности возможно докопаться до самой глубины, открыв истину, однако под силу это только тем, кто умеет пользоваться соответствующими методами. В следующей главе мы познакомимся с жизнью первого человека, взявшегося за систематическое изучение этих методов.

Глава 3. ПРОДИРАЯСЬ ЧЕРЕЗ ДЕБРИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Во второй половине XVI в. и до 1576 г. на улицах Рима можно было встретить странно одетого старика с неровной походкой, который время от времени что-то кричал, адресуя свои вопли непонятно кому. Когда-то он был знаменит по всей Европе — известный астролог, врач, лечивший придворную аристократию, профессор кафедры медицины в Университете Павии. Ему принадлежат изобретения, актуальные и поныне, в том числе первый замок с секретом и карданный вал, используемый в наше время в автомобилестроении. Он опубликовал 131 книгу по самым разным темам в философии, медицине, математике и прочих науках. Однако к 1576 г. он превратился в человека с богатым прошлым и без будущего, доживая свой век в забвении и унизительной бедности. В конце лета того года он в последний раз сел за стол и написал оду своему любимому сыну, старшему, которого казнили шестнадцать лет назад, в возрасте двадцати шести лет. Старик умер 20 сентября, когда до юбилея — семидесяти пяти лет — оставалось всего несколько дней. Он пережил двух из трех своих детей; пока он умирал, его единственный оставшийся в живых сын поступил на службу Инквизиции — пытать еретиков. Такое теплое местечко досталось ему в качестве награды за свидетельствование против своего же отца.

Перед смертью Джероламо Кардано сжег 170 неопубликованных рукописей{47}. Те, кто просматривал потом вещи Кардано, нашли 111 сохранившихся рукописей. Одна из них, написанная несколько десятилетий тому назад, выглядела так, будто к ней не раз возвращались — это было исследование из тридцати двух главок. Называлось оно «Трактат об азартных играх» и было первым письменным трудом по теории вероятностей. Люди тысячелетиями сталкивались с различными факторами неопределенности, причем это были не только азартные игры. Получится ли у меня перейти пустыню до того, как кончится вся вода? Опасно ли оставаться под скалой, когда землю трясет вот как прямо сейчас? Означает ли улыбка этой пещерной девчонки, которая любит рисовать бизонов на скалах, что я ей приглянулся? И все же Кардано первым дал обоснованный анализ того направления, в котором развиваются игры или другие неопределенные процессы. Его проникновение в суть механизма действия вероятности обернулось принципом, который мы назовем законом пространства элементарных событий. Закон этот представил новую идею и новую методологию, он лег в основу математического описания неопределенности, которым стали пользоваться в последующие столетия. Методология проста, это аналог законов вероятности, которыми пользуются при погашении чековой книжки. Однако, применяя этот простой метод, мы сможем рассмотреть многие вопросы системно, в то время как иной, не системный подход породил бы лишь путаницу. Чтобы на деле показать и применение, и силу закона, рассмотрим одну задачу. Ее постановка проста, Да и решение не требует знаний высшей математики, Но об нее наверняка споткнулось больше народу, чем о любую другую задачу за всю историю изучения случайности. Если верить газетным публикациям, рубрика «Спросите Мэрилин» журнала «Парад» была просто-напросто обречена на феноменальный успех. Эта начатая еще в 1986 г. колонка вопросов и ответов, размноженная в 350 газетах общим тиражом в 36 млн, до сих пор привлекает читателей. Вопросы иногда оказываются не менее познавательными, чем ответы на них, это в своем роде опрос общественного мнения на тему того, что на уме у американцев. К примеру:

Почему при окончании торгов на фондовой бирже все встают и, улыбаясь, аплодируют независимо от того, поднялись за день акции или опустились?

Подруга беременна близнецами и знает, что оба будут мальчиками. Какова вероятность того, что хотя бы один младенец окажется девочкой?

Когда вы за рулем и наезжаете на мертвого скунса, почему вонь от него доносится до вас аж десять секунд спустя? Предположим, вы на самом деле не переехали скунса.

Судя по всему, американцы — народ весьма практичный. Следует отметить, что в каждом из вышеприведенных вопросов содержится определенная научная или в частности математическая составляющая, черта, присущая многим из вопросов, на которые в колонке дан ответ.

Кто-нибудь, особенно тот, кто хоть немного знает о математике и науке вообще, может спросить: «А вообще кто она такая, эта всезнающая Мэрилин?» Так вот, Мэрилин это Мэрилин вос Савант, а знаменита она тем, что уже несколько лет значится в «Книге рекордов Гиннесса» как человек с самым высоким в мире коэффициентом интеллекта, равным 228. Также она известна тем, что замужем за Робертом Джарвиком, изобретателем искусственного сердца Джарвика. Однако иногда знаменитые люди, несмотря на все то, чего смогли добиться, остаются в памяти совсем по другим причинам, о которых им самим очень хотелось бы забыть («У меня не было связи с этой женщиной»). Так и с Мэрилин: ее наибольшая популярность связана с ответом на вопрос, который был опубликован в воскресном выпуске в сентябре 1990 г. (я чуть изменил формулировку):

Предположим, участники теле-викторины должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими — по козе. Участник выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, за которой коза. Затем он говорит участнику: «Итак, вы смените дверь или останетесь на месте?» Вопрос в следующем: выгодно ли участнику сменить дверь?{48}

Вопрос навеян теле-викториной «На что спорим?», которая шла с 1963 по 1976 гг., а также в несколько измененном виде с 1980 по 1991 гг. Немалую привлекательность передаче сообщали симпатичный, приятный ведущий Монти Холл и его помощница — соблазнительно одетая Кэрол Меррилл, в 1957 г. завоевавшая титул «Мисс Азуса[7]».

Должно быть, автор передачи удивился, когда из 4.500 эпизодов за почти двадцать семь лет вещания именно вопрос на тему математической вероятности оказался самым ярким из всего, чтобы прозвучало в программе. Тема, что называется, обессмертила и Мэрилин, и теле-викторину: читатели буквально забросали редакцию издания, в котором печаталась колонка Мэрилин. Вообще-то, вопрос на первый взгляд незамысловатый. Остаются две двери — откроешь одну и выиграешь, откроешь другую и проиграешь, — так что очевидно: пойдешь ли ты на это или нет, твои шансы выиграть равны 50/50. Куда уж проще? Однако Мэрилин в своей колонке ответила: имеет смысл сменить дверь.

Несмотря на пресловутую инертность общества там, где речь заходит о математике, читатели колонки отреагировали так, будто Мэрилин предлагала нечто ужасное, скажем, вернуть Калифорнию Мексике. В ответ на ее отрицание очевидного последовал шквал писем: по словам Мэрилин, она получила что-то около 10 тыс. откликов{49}. Если спросить американцев, согласны ли они, что растения выделяют в воздух кислород, что скорость света выше скорости звука, что радиоактивное молоко не станет безопасным для здоровья после кипячения, то в каждом случае число несогласных будет двузначным (13%, 24% и 35% соответственно){50}. Но в данном вопросе американцы продемонстрировали единодушие: 92% заявили о том, что Мэрилин ошиблась.

Многие читатели почувствовали себя обманутыми в лучших чувствах. Как могла та, чьим ответам по самым разным вопросам они верили, споткнуться на таком простом вопросе? Или ее ошибка типична как символ вопиющего невежества американцев? Мэрилин написали тысяча докторов наук, преподающих математику — они-то как раз и возмущались больше всех{51}. «Какая чушь!», писал один математик из Университета Джорджа Мейсона:

«Поясняю: Если за одной из трех дверей машины не оказалось, то вероятность выигрыша при оставшихся двух дверях меняется и равна 1 /2, причем ни один из вариантов не имеет большую вероятность. Как математик я очень огорчен общим низким уровнем математических способностей населения. Поэтому призываю вас помочь повысить этот уровень, признав свою ошибку, и впредь быть более аккуратной».

Из Дикинсонского университета штата пришло такое письмо: «Меня потрясает то, что после поправок по крайней мере троих математиков вы по-прежнему не видите свою ошибку». Из Джорджтаунского такое: «Сколько писем от разгневанных математиков вам еще нужно, чтобы передумать?» А кто-то из Исследовательского института вооруженных сил США заметил: «Если все эти доктора наук ошибаются, будущее нашей стране вызывает серьезные опасения». Отклики продолжали приходить в таких количествах и еще столько времени, что Мэрилин сдалась. В своей колонке она какое-то время еще отвечала на письма, но в конце концов перестала.

Возможно, что тот офицер, который написал про докторов наук и будущее страны, и прав: возможно, это тревожный сигнал. Но вот в чем дело: Мэрилин в самом деле была права. Когда Полу Эрдешу, известнейшему математику двадцатого столетия, сказали об этом, он заявил: «Это невозможно». И уже ознакомившись с математическим доказательством правильности ответа, все равно стоял на своем, даже рассердился. Только когда коллеги настояли на компьютерном моделировании ситуации, в результате чего Эрдеш стал свидетелем сотни вариантов с результатом 2 к 1 в пользу смены двери, ученый сдался, признав свою неправоту{52}.

Как может нечто, что кажется таким очевидным, на деле оказаться неверным? По словам гарвардского профессора, занимающегося теорией вероятностей и статистикой, «нашему мозгу затруднительно решать задачи на тему теории вероятностей»{53}. Великий американский физик Ричард Фейнман однажды сказал мне, что не стоит думать, будто я понимаю физику, если при этом я всего лишь прочитал результаты чужих размышлений. Единственный способ разобраться в теории, сказал он, это пройти весь путь самому (а может статься, и опровергнуть утверждение!). Для тех из нас, кто не является Фейнманом, подобное опровержение работы, сделанной другими, грозит увольнением и дальнейшими умствованиями в процессе подметания дворов. Однако задачу Монти Холла вполне по силам решить и тому, кто не отягощен высшим математическим образованием. Тут не требуется знаний ни численных методов, ни геометрии с алгеброй, нет нужды даже в амфетаминах, к которым, как говорят, питал пристрастие Эрдеш. (Якобы однажды Эрдеш не принимал их целый месяц, после чего заметил: «Прежде, когда я смотрел на чистый лист бумаги, у меня в голове роились идеи. Теперь же я только и вижу, что чистый лист бумаги»{54}). Требуется лишь общее понимание принципа действия вероятности, а также закона пространства элементарных событий, необходимого для анализа ситуации с вероятностями, который впервые был записан в XVI в. и автор которого — Джероламо Кардано.

Джероламо Кардано вовсе не был бунтарем-одиночкой, отколовшимся от европейской интеллектуальной среды XVI в. Он так же, как и многие, верил, что собака воет к смерти близкого человека, а вороны на крыше своим карканьем возвещают о скором тяжком недуге. Он, как и многие, верил в фатум, удачу, знаки судьбы, зашифрованные в положении звезд и планет. И все же, играй Кардано в покер, он никогда не стал бы добирать и добирать карту. Кардано был прирожденным игроком. Он не высчитывал ходы, он их чувствовал, поэтому у него понимание математических связей между возможными случайными результатами игры пересилило веру в то, что из-за влияния судьбы любые попытки проникновения в суть тщетны. Кроме того, в своем трактате Кардано поднялся выше того примитивного уровня, на котором находилась математика его дней — в начале XVI в. не то что алгебра, арифметика переживала каменный век, еще не появился даже знак равенства.

Кардано оставил свой след в истории; многое о нем известно из его автобиографии, а также записок современников. Некоторые из этих записок противоречивы, однако ясно одно: родившийся в 1501 г. Джероламо поначалу ничем не блистал. Его мать, Кьяра, детей не любила, хотя и имела уже троих мальчиков. Возможно, потому и не любила. Кьяра отличалась невысоким ростом, полнотой, вспыльчивым характером и неразборчивостью в связях; узнав о том, что беременна Джероламо, она решила приготовить нечто вроде противозачаточной таблетки тех времен: варево из полыни, поджаренного ячменного зерна и корня тамариска. Варево она выпила в надежде, что удастся избавиться от плода. Ей стало дурно, однако Джероламо в утробе ничуть не пострадал от тех продуктов обмена веществ, которые благодаря вареву попали в кровь матери. Кьяра еще не раз пыталась избавиться от Джероламо, но безуспешно.

Кьяра и отец Джероламо, Фачио Кардано, не были официально женаты, однако вели себя как настоящая супружеская пара — их громкие перебранки разносились далеко по округе. Жили они в Милане. За месяц до рождения Джероламо мать ушла из дома к своей сестре в Павию, что в тридцати километрах к югу от Милана. Джероламо родился после трех дней болезненных схваток. Наверняка, едва глянув на младенца, Кьяра решила в конце концов избавиться от него. Он был болезненным и, что еще хуже, не подавал голоса. Повитуха, принимавшая у Кьяры роды, сказала, что младенец не проживет и часа. Но если Кьяра подумала «Вот и хорошо!», то ее в очередной раз ждало жестокое разочарование, потому как кормилица отогрела Джероламо в ванне с теплым вином — он ожил. Однако здоровья ему хватило лишь на первые несколько месяцев. Потом его, а также кормилицу и троих братьев свалила чума. Под чумой, или иначе «черной смертью», как ее иногда называли, на самом деле имеют в виду три разных заболевания: чуму бубонную, легочную и септическую. Джероламо подцепил бубонную, самую распространенную, названную так по бубонам — болезненным, размером с яйцо воспалениям в лимфатических узлах — отличительным симптомам болезни. Как только бубоны открывались, больному оставалось жить с неделю, не больше.

«Черная смерть» впервые проникла в Европу в 1347 г. через залив в Мессине на северо-востоке Сицилии — ее принесла возвращавшаяся с Востока генуэзская флотилия{55}. Суда тут же поставили на карантин, и вся команда умерла прямо на борту. Однако крысы с кораблей выжили, они спешно переправились на берег, неся на себе и бактерии, и блох-разносчиков. В результате разразившейся эпидемии за два месяца вымерло полгорода, а в конечном счете — от 25% до 50% населения Европы. Впоследствии эпидемии из столетия в столетие возвращались, унося жизни европейцев. Для Италии 1501 г. оказался особенно страшным. Кормилица Джероламо и его братья умерли. Он же, счастливчик, отделался лишь физическими изъянами: бородавками на носу, лбу, щеках и подбородке. На роду ему написано было дожить до глубокой старости — семидесяти пяти лет. Юные же годы Джероламо не были спокойными, его часто поколачивали.

Отец Джероламо наладил ловкий бизнес. Некогда он состоял в приятельских отношениях с Леонардо да Винчи, а по роду деятельности занимался геометрией, которая и в те времена не приносила больших денег. Фачио иной раз нечем было заплатить за жилье, и он открыл контору, оказывая людям знатного происхождения услуги в области права и медицины. Контора его стала процветать, чему способствовало и то, что Фачио объявил себя наследником брата Джофредо Кастильони из Милана, более известного как папа Целестин IV. Когда Джероламо исполнилось пять лет, отец в некотором смысле начал приобщать его к своему делу. А именно: привязывал к спине сына короб, совал туда тома по юриспруденции и медицине и таскал мальчишку на встречи со своими покровителями по всему городу. Позднее Джероламо писал, что «время от времени отец приказывал мне остановиться посреди улицы, доставал из короба фолиант и, используя мою голову в качестве подставки, читал целые отрывки, пиная меня, если я уставал и начинал переминаться с ноги на ногу под такой тяжестью{56}».

В 1516 г. Джероламо решил податься в медицину. Он объявил, что собирается покинуть семью и отправиться на учебу в Павию. Фачио, конечно же, хотел, чтобы сын изучал право — в таком случае ему ежегодно выплачивали бы стипендию в 100 крон. После жуткого семейного скандала отец сдался, но по-прежнему не решен был вопрос: на что Джероламо будет жить в Павии без стипендии? Джероламо начал копить деньги, зарабатывая на чтении гороскопов, частных Уроках по геометрии, алхимии, астрономии. Кроме того, Джероламо заметил, что в азартных играх ему сопутствует удача, к тому же игра приносила гораздо больше, чем любые другие занятия.

Для тех, кто во времена Кардано испытывал страсть к азартным играм, везде был Лас-Вегас. Повсюду заключали пари, будь то карты, кости, нарды, даже шахматы. Кардано все игры делил на два типа: те, которые требовали применения некой стратеги или умения, и те, победа в которых зависела от чистой случайности. Возьмись Кардано за шахматы, он бы рисковал тем, что его мог обыграть какой-нибудь Бобби Фишер тех времен. Когда же он ставил на парочку кубиков, шансы его были такими же, как и у остальных. Но даже в этих играх Джероламо добился преимущества — он лучше других разобрался в вероятности выигрыша в разных ситуациях. И вот, вступая в мир, где заключают пари, Джероламо стал играть в игры, выигрыш в которых зависел от случая. Прошло немного времени, и он скопил на учебу 1 тыс. крон — в десять раз больше той стипендии, которую хотел для него отец. В 1520 г. Джероламо записался студентом в университет в Павии. И вскоре приступил к работе над теорией азартных игр.

Кардано жил в XVI в., и у него было преимущество — он понимал многое из того, что древние греки в силу своей древности не знали, как не знали римляне, и в чем индийцы делали лишь первые шаги, пользуясь арифметикой как эффективным инструментом. Именно последние развили позиционную систему счисления по целочисленному основанию 10, которая стала общепринятой около 700 г. н.э.{57} Они же совершили большой прорыв в арифметике дробей, что просто неоценимо для анализа вероятностей, поскольку вероятность того, что событие произойдет, всегда меньше единицы. От индийцев эти знания переняли арабы, а уже от арабов они перешли к европейцам. Первые сокращения — р для «плюса» и m для «минуса» — начали использовать с XV в. Символы «+» и «-» ввели примерно в то же время германцы, но только для того, чтобы обозначать избыточность и недостаточность товаров. Так что легко представить, с какими трудностями пришлось столкнуться Кардано; к тому же и знак равенства еще не существовал, его изобрел в 1557 г. Роберт Рекорд из Оксфорда и Кембриджа. Роберт Рекорд, вдохновленный геометрией, заметил: ничто не выражает идею равенства так полно, как две параллельные прямые; таким образом, было решено использовать их в качестве обозначения равенства. А символ «х», то есть умножение, изобретение которого приписывают англиканскому священнику, появился только в XVII в.

В своем «Трактате об азартных играх» Кардано касается и карточных игр, и костей, и нард, и даже игры в «бабки». Трактат, конечно, не совершенен. Он отражает характер самого Кардано, его безумные идеи, необузданный нрав, ту страсть, с которой он брался за каждое свое предприятие, а зачастую и перипетии его жизни в те непростые времена. В «Трактате» рассматриваются только процессы — подбрасывание кости или манипуляции с игральными картами, — в которых один исход так же вероятен, как и другой. И кое в чем Кардано заблуждается. Но все же «Трактат об азартных играх» — это поворотный момент, первый успех в исканиях человечества, пытающегося понять природу неопределенности. Метод, с помощью которого Кардано энергично взялся за решение вопросов вероятности, удивительно действенный и в то же время простой.

Не все главы «Трактата» Кардано посвящены техническим моментам. К примеру, глава 26 называется «В самом ли деле те, кто способен научить, так же хорошо играют сами?» (Кардано делает вывод: «Выходит, одно дело знать, и совсем другое — применить на практике».) Глава 29 называется «О характерах игроков». («Есть и такие, которые своим многословием затуманивают ум и себе, и другим».) Это уже больше похоже на «Дорогую Эбби»[8], нежели на «Спросите Мэрилин». Но есть и глава 14 «Об общих точках» (речь идет о вероятностях). И в ней Кардано выводит, по его словам, «общее правило» — наш закон пространства элементарных событий.

Термин «пространство элементарных событий» подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство заключает в себе всего несколько точек, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как то пространство, в котором мы живем. Кардано, конечно же, не употреблял термина «пространство»: понятие о том, что набор чисел может формировать пространство, появилось лишь столетие спустя, у Декарта, который изобрел систему координат и унифицировал символику алгебры и геометрии.

На современном языке правило Кардано звучит следующим образом: «Предположим, случайный процесс имеет множество одинаково вероятных исходов: некоторые из них благоприятны (то есть ведут к выигрышу), некоторые неблагоприятны (то есть проигрышные). Вероятность благоприятного исхода равна доле благоприятных исходов. Множество всех возможных исходов образует пространство элементарных событий». Другими словами, брошенный кубик опускается на любую из шести своих сторон, и эти шесть исходов формируют пространство элементарных событий. Если вы ставите пари на, скажем, два из них, ваши шансы выиграть равны 2 из 6.

Скажем пару слов о предположении, будто все исходы в одинаковой степени вероятны. Очевидно, что это не всегда так. Пространство элементарных событий в плане веса Опры Уинфри в зрелом возрасте вмещает в себя (так уж сложилось исторически) от 66 до 107 кг, и с течением времени не все весовые промежутки оказались в одинаковой степени вероятными{58}. То осложнение, что разные возможности имеют разные вероятности, можно учесть, соотнеся соответствующие шансы с каждым возможным исходом, то есть произвести точный подсчет. Однако пока что рассмотрим примеры, в которых все исходы в одинаковой степени вероятны — именно их и анализировал в своей работе Кардано.

Эффективность правила Кардано неразрывно связана с некоторыми тонкостями. Одна из них заключается в значении термина «исходы». Уже в XVIII в. известный французский математик Жан Лерон Д'Аламбер, автор ряда работ в области теории вероятностей, допустил неверное употребление этого понятия, когда анализировал процесс подбрасывания двух монет{59}. Число орлов, которые выпадают при этом, может равняться 0, 1 или 2. Поскольку получается три исхода, Д'Аламбер решил, что шансы каждого равны 1 из 3. Однако он ошибся.

Одним из серьезнейших недостатков работы Кардано было то, что он не предпринял систематического анализа разных способов, путем которых ряд исходов, таких как подбрасывание монет, могут произойти. Как мы увидим в следующей главе, этого анализа не сделал никто вплоть до следующего столетия. В то время как такие события, как подбрасывания двух монет, не отличаются сложностью и к ним вполне применимы методы Кардано. Ключевым моментом является понимание того, что возможные исходы подбрасывания монет — это данные, описывающие то, как монеты падают, а не общее количество орлов, вычисленное исходя из этих данных, как заключает Д'Аламбер. Другими словами, нам следует рассматривать не 0,1 или 2 орла в качестве возможных исходов, а скорее последовательности: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел) и (решка, решка). Эти 4 возможных комбинации и составляют пространство элементарных событий.

Далее, если следовать трактату Кардано, следует рассортировать исходы, отметив число орлов, полученное в каждом исходе. Только 1 из 4 исходов — (орел, орел) — дает 2 орла. Таким образом, только исход (решка, решка) дает 0 орлов. Если нам нужен 1 орел, то 2 из всех исходов будут благоприятными: (орел, решка) и (решка, орел). Итак, метод Кардано доказывает ошибочность утверждений Д'Аламбера: шансы равны 25% для 0 или 2 орлов, но 50% для 1 орла. Поставь Кардано свои наличные на 1 орла как 2 к 1, он бы проиграл только в половине случаев, но утроил бы свою сумму в другой половине. Неплохая возможность для парня того времени, пытающегося наскрести на учебу, впрочем, как и в наше время, если бы только представилась такая возможность.

Подобная задача часто встречается в рамках курса по элементарной вероятности, и речь в ней о двух дочерях, причем задача похожа на ту, которую я уже упоминал в связи с колонкой «Спросите Мэрилин». Предположим, будущая мать носит близнецов и хочет знать, какова вероятность того, что родятся две девочки, мальчик и девочка и так далее. В таком случае пространство элементарных событий состоит из всех возможных комбинаций полов детей согласно очередности их рождения: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (мальчик, мальчик). Все то же самое, как и в случае с задачей о подбрасывании монет, только названия меняются: вместо орла у нас «девочка», вместо решки «мальчик». У математиков есть занятное название для ситуации, в которой одна задача является по сути замаскированной другой задачей — изоморфизм. Когда вы наталкиваетесь на случай изоморфизма, жить сразу становится проще. В данном случае подразумевается, что мы можем высчитать вероятность рождения двух девочек точно так же, как мы высчитали вероятность того, что обе монеты упадут орлами. Так что без всякого там предварительного анализа можно дать ответ: 25%. И уже потом ответить на тот вопрос, который был напечатан в колонке Мэрилин: вероятность того, что хотя бы один из младенцев окажется девочкой, равна вероятности того, что оба ребенка родятся девочками плюс к этому вероятности того, что лишь один ребенок окажется девочкой. То есть, 25% плюс 50%. Выходит 75%.

В задаче о двух дочерях обычно фигурирует еще один вопрос: какова вероятность того, что оба ребенка окажутся девочками, при условии, что про одного ребенка уже точно известно — это девочка? Кое-кто станет рассуждать таким образом: поскольку уже дано, что один ребенок — девочка, следует рассматривать лишь другого ребенка. Вероятность того, что этот другой ребенок окажется девочкой, равна 50%, так что вероятность появления на свет двух девочек равна 50%.

Что неверно. Почему? Хотя в формулировке задачи и сказано, что один ребенок — девочка, не уточняется, который из двоих, а это важно. Если вас такое утверждение сбивает с толку, ничего страшного — сейчас я продемонстрирую вам, как метод Кардано чудесным образом все проясняет.

Новая информация — о том, что один из младенцев — девочка, — означает, что мы исключаем из рассмотрения возможность того, что оба младенца — мальчики. Таким образом, применяя подход Кардано, мы исключаем возможный исход (мальчик, мальчик) из пространства элементарных событий. В нем остаются только 3 исхода: (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (девочка, девочка). Из этих исходов исход (девочка, девочка) благоприятный, то есть оба младенца рождаются девочками, поэтому вероятность того, что оба ребенка родятся девочками, равна 1 из 3 или 33%. Теперь-то мы понимаем всю важность момента: в задаче не говорится, который из младенцев девочка. К примеру, если бы в задаче спрашивалось: какова вероятность того, что оба младенца родятся девочками, при условии, что первый ребенок — девочка, мы исключили бы из пространства элементарных событий и пару (мальчик, мальчик), и пару (мальчик, девочка), а вероятность равнялась бы 1 из 2, то есть 50%.

Надо отдать должное Мэрилин вос Савант — она не только предприняла попытку привить широкой общественности элементарные знания о теории вероятностей, но и продолжила публиковать подобные вопросы, несмотря на непростой опыт с задачей Монти Холла. Напоследок рассмотрим еще один вопрос из ее колонки, на этот раз датированный мартом 1996 г.:

«Мой отец услышал это по радио. В Университете Дьюка двое студентов в течение всего семестра получали по химии высшие баллы. Но вечером перед выпускным тестом они были на вечеринке в другом штате, а вернулись только на следующий день, когда экзамен уже закончился. В качестве оправдания они рассказали профессору про лопнувшую шину и попросили разрешения все же написать тест. Профессор согласился, составил для них вопросы и рассадил обоих студентов по разным аудиториям. За правильный ответ на первый вопрос (на одной стороне листа) давалось 5 баллов. Студенты перевернули листы и обнаружили на оборотной стороне вопрос, за правильный ответ на который давалось 95 баллов. Вот он: «На котором из колес лопнула шина?» Какова вероятность того, что оба студента ответят одинаково? Мы с отцом решили, что 1 из 16. Верно{60}?»

Нет, не верно. Если студенты солгали, вероятность того, что они напишут один и тот же ответ, равна 1 из 4 (если вам непонятно, почему это так, загляните в примечания в конце книги{61}). А вот теперь, когда мы уже привыкли к тому, чтобы разбирать задачу, составляя список возможных исходов, можно воспользоваться законом пространства элементарных событий и решить задачу Монти Холла.

Как я уже говорил, чтобы решить задачу Монти Холла, не нужно обладать особыми познаниями в математике. Однако необходимо некоторое умение мыслить логически, так что если вы одним глазом читаете эти строки, а другим смотрите повтор «Симпсонов», вам наверняка придется сосредоточиться на чем-то одном. Не переживайте, много времени это не займет — всего несколько страниц.

В задаче Монти Холла фигурируют три двери: за одной нечто ценное, скажем, шикарная красная «Мазерати», за двумя другими — нечто гораздо менее интересное, скажем, полное собрание сочинений Шекспира на сербском. Вы выбрали дверь 1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:

• «Мазерати» за дверью 1.

• «Мазерати» за дверью 2.

• «Мазерати» за дверью 3.

Вероятность каждого исхода — 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство все-таки выберет «мазерати», первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.

Далее по сценарию ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что за дверью собрание сочинений Шекспира. Поскольку, открывая эту дверь, ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местонахождение «мазерати», данный процесс нельзя назвать случайным в прямом смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.

Первый — вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем «Троила и Кресиды» на чакавском диалекте[9]. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего лишь 1 из 3.

Второй — вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». Как «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» «мазерати» находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой такой — томики Шекспира на сербском. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает не-выбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с «мазерати», он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит это шикарное авто. Из-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.

В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность которой 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. Итак, ваше решение сводится к догадке: в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узлами с помощью одной только силы мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь. Вот и статистика телепередачи подтверждает: те, кто оказывался в подобной ситуации и изменял свое первоначальное решение, выигрывали примерно в два раза чаще, чем те, кто стоял на своем.

Задача Монти Холла трудна для восприятия, потому что тут нужно хорошенько подумать, иначе роль ведущего (прямо скажем, как роль мамы в нашей жизни) останется недооцененной. В то время как ведущий направляет игру в определенное русло. Роль ведущего станет очевидной, если мы предположим, что вместо 3 дверей у нас их 100. Вы, как и прежде, выбираете дверь 1, однако теперь ваша вероятность угадать равна 1 из 100. А шансы того, что «мазерати» спрятана за одной из оставшихся дверей, равны 99 из 100. Как и прежде, ведущий открывает все двери, кроме той, которую вы не выбрали, при этом не открывая ту самую дверь, за которой находится «мазерати» (если, конечно, такая дверь остается). После этого шансы того, что «мазерати» скрывается за дверью, которую выбрали вы, равны по-прежнему 1 из 100, а шансы того, что «мазерати» находится за другой дверью, все так же равны 99 из 100. Но теперь благодаря вмешательству ведущего остается только одна дверь, представляющая все 99 тех, других дверей, и таким образом вероятность нахождения «мазерати» за этой оставшейся дверью равняется 99 из 100!

Возникни задача Монти Холла во времена Кардано, интересно, чью бы позицию тот занял: Мэрилин вос Савант или Поля Эрдеша? Задача легко решается с помощью закона пространства элементарных событий, однако сказать наверняка мы все равно не можем, поскольку самое раннее упоминание о подобной задаче (под другим названием) возникает в 1959 г., в статье Мартина Гарднера в «Сайентифик Америкэн»{62}. Гарднер назвал задачу «поразительной, сбивающей с толку задачей» и заметил, что «ни в одной другой области математики не совершают досадных промахов с такой легкостью, как в области теории вероятностей». Конечно, для математика досадный промах чреват разве что конфузом, а вот для игрока это вопрос, скажем прямо, жизненно важный. Поэтому нет ничего удивительного в том, что когда дело дошло до первой систематически изложенной теории вероятностей, именно Кардано как заядлый игрок и решил разобраться в ней.

Однажды, когда Кардано был еще подростком, у него внезапно умер друг. Прошло всего несколько месяцев, и Кардано заметил, что никто о друге больше и не вспоминает. Что его порядком опечалило, оставив отпечаток в душе. Как можно справиться с тем, что жизнь преходяща? И Кардано решил, что единственный способ — оставить после себя что-то: наследников, труды на века, а может, и то, и другое. В своей автобиографии Кардано пишет о том, что развивает в себе «непоколебимое стремление» оставить след на земле{63}.

Выучившись на врача, Кардано вернулся в Милан и стал подыскивать работу. Еще во время учебы он написал труд «О разных взглядах на врачей», в котором по сути дела обозвал всех представителей медицины кучкой шарлатанов. И Миланский университет отплатил Кардано той же монетой, не дав ему места. Это значило, что он не мог заниматься врачебной практикой в Милане. На деньги, заработанные частными уроками и азартными играми, Кардано купил домишко на востоке страны, в Пиове-ди-Сакко. Он надеялся, что в этом городке дела у него пойдут хорошо, потому что там часто случались эпидемии, а врача не было. Однако, проводя свое маркетинговое исследование, Кардано совершил роковую ошибку: врача в городишке не было потому, что население предпочитало обращаться к знахарям и священникам. В результате по прошествии нескольких лет напряженной работы и учебы Кардано оказался с мизерным доходом и уймой свободного времени. Такая передышка в жизни выпала как нельзя кстати — Кардано воспользовался возможностью и взялся за перо. Одной из его работ и оказался «Трактат об азартных играх».

В 1532 г., проведя пять лет в Пиове-ди-Сакко, Кардано вернулся в Милан: он надеялся опубликовать свою работу и, кроме того, снова подал прошение о членстве в гильдии врачей. И в одном, и в другом он потерпел сокрушительное поражение. «В те дни, — писал Кардано, — я до того пал духом, что ходил к гадалкам и магам в надежде выпутаться из моих многочисленных затруднений»{64}. Один маг обнаружил в его жизни пагубное влияние Луны. Другой дал рекомендацию трижды чихнуть сразу после пробуждения утром и постучать по дереву. Кардано выполнял все предписания, но ему по-прежнему не везло. И вот под покровом ночи, накинув капюшон, он проникал в дома тех больных, которые не могли заплатить установленную гильдией врачей плату или же никак не поправлялись. В автобиографии Кардано писал, что в дополнение к деньгам от подпольной врачебной практики «вынужден был снова вернуться к азартным играм, чтобы содержать жену, и здесь-то мои знания одолели судьбу — у нас появились деньги на еду и жилье, хотя последнее и оставляло желать много лучшего»{65}. Что до «Трактата об азартных играх», то хотя в последующие годы Кардано неоднократно пересматривал его и исправлял, он уже не пытался напечатать работу. Возможно, понимал: глупо учить других играть так же хорошо, как он сам.

В конце концов Кардано добился своей цели — обрел и наследников, и славу — да вдобавок ко всему и неплохие деньги. У него завелись средства, когда он опубликовал книгу на основе своей еще студенческой работы, изменив при этом наукообразное название «О разных взглядах на врачей» на более живое: «О повсеместно укоренившейся недобросовестной медицинской практике». Книга вмиг разошлась. Затем один из его тайных пациентов, настоятель известного августинского монашеского ордена, внезапно (и скорее всего по чистой случайности) пошел на поправку, что было приписано умелому лечению Кардано. Итак, слава Кардано как искусного врача взлетела до таких высот, что его не только приняли в гильдию врачей, но и предложили должность ректора в колледже. Кардано тем временем опубликовал еще несколько трудов, и они пользовались успехом, особенно тот, который из соображений сделать более понятным для широкой общественности назвали «Практическая арифметика». Еще через несколько лет Кардано издал уже научный труд «Ars magna», или «Великое искусство», — трактат по алгебре. В трактате Кардано впервые дал четкое представление об отрицательных числах и произвел анализ некоторых алгебраических уравнений, завоевав тем самым еще большую известность. В середине 1550-х гг., когда Кардано было за пятьдесят, он уже всего добился: и кафедры медицины в Университете Павии, и богатства.

Но вскоре удача от него отвернулась. Если говорить в общем, то Кардано пострадал от своего же наследия — от детей. Дочь Кьяра (названная так в честь матери) в шестнадцать лет соблазнила старшего брата, Джованни, и забеременела от него. Аборт был сделан удачно, однако в будущем Кьяра не могла иметь детей. Что, впрочем, устраивало ее как нельзя лучше, потому как она отличалась крайней распущенностью, причем даже после замужества, и в конце концов заразилась сифилисом. Джованни пошел по стопам отца, поступив учиться на врача, однако вскоре приобрел большую известность как мелкий мошенник, причем настолько большую, что некая семейка проходимцев шантажом заставила его жениться на своей дочери — якобы имелись доказательства того, что Джованни отравил некого чиновника. Тем временем Альдо, младший сын Кардано, в детстве истязавший животных, превратил свое любимое занятие в профессию — поступил на службу к Инквизиции пытать еретиков. Как и старший брат, он подрабатывал мошенничеством.

Через несколько лет после женитьбы старший сын Кардано дал одному из слуг некую микстуру — чтобы тот добавил ее в пирог для жены. Жена после съеденного десерта упала замертво. Власти догадались, что к чему. Джероламо потратил уйму денег на адвокатов, пытался задействовать свои связи, свидетельствовал в пользу сына, но ничего не помогло — молодого Джованни казнили в тюрьме. Пробоина в финансах Кардано, а также его подмоченная репутация сделали его уязвимым для старых врагов. Власти Милана вычеркнули имя Кардано из списка тех, кому разрешалось читать лекции, обвинили его в содомии и инцесте, изгнали из города. Когда в конце 1563 г. Кардано уезжал из Милана, он написал в автобиографии, что «снова оказался в нищете, без средств, без источника существования, без права снимать дом и продавать свои книги»{66}. К тому времени у него стало плохо с головой — временами он начинал бессвязно бормотать. Последний удар ему нанес математик-самоучка Никколо Тарталья, недовольный тем, что в «Высоком искусстве» Кардано раскрыл его метод решения некоторых уравнений без его на то ведома. Тарталья подговорил Альдо дать свидетельские показания против своего отца, обещая за то место в Инквизиции — пытать и казнить еретиков в Болонье. Кардано недолго просидел в тюрьме — последние свои годы он тихо доживал в Риме. «Трактат об азартных играх» был все же напечатан, но уже в 1663 г., спустя сто лет после того, как юный Кардано изложил свое исследование на бумаге. К тому времени его аналитические методы были изобретены заново и усовершенствованы.