Пятьсот двадцать головоломок

46. Часы из страны сновидений. Во сне я путешествовал по стране, где происходят удивительные вещи. Один случай запомнился мне так хорошо, что я не забыл его, даже когда проснулся. Во сне я увидел часы и произнес вслух время, которое они показывали, но мой проводник поправил меня. Он сказал:

— Очевидно, вы не знаете, что у нас минутные стрелки всегда движутся в направлении, противоположном часовым. Во всем остальном наши часы в точности такие же, как и те, к каким вы привыкли.

Если в тот момент, когда я смотрел на часы, обе стрелки совпали и находились между четырех- и пятичасовым делениями, а в полдень они обе показывали XII, то сколько времени было в ту минуту на обычных часах?

47. Когда это бывает? Когда стрелки часов располагаются таким образом, что если за расстояние принять число минутных делений после XII, то путь, пройденный одной из стрелок, равен квадрату пути, пройденному другой?

48. Часы с неразличимыми стрелками. У одного человека были часы, на которых совершенно невозможно было отличить часовую стрелку от минутной. Если эти часы пущены в полдень, то когда впервые нельзя будет узнать точное время?

Читатель должен помнить, что в подобных головоломках с часами существует соглашение, по которому считается, что мы в состоянии определять доли секунды. При таком допущении можно дать точный ответ.

49. Треснувший циферблат. Полковник Крэкхэм спросил за завтраком своих домашних, смогли бы они по памяти изобразить римские цифры, которые украшают циферблат часов. Джордж попал в ловушку, в которую многие уже попадали до него: он обозначил 4 ч цифрой IV вместо IIII.

Затем полковник Крэкхэм предложил угадать, как можно разбить циферблат на четыре части, чтобы при этом сумма цифр в каждой части равнялась 20. Чтобы пояснить, как это делается, полковник показал рисунок, на котором сумма цифр в двух частях действительно равна 20 (зато в двух остальных частях она равна соответственно 19 и 21, что делает этот пример непригодным в качестве решения).

50. Когда начался бал?

— На последнем балу, — сказала Дора во время завтрака, — гости подумали, что часы остановились: их стрелки находились в том же положении, что и в начале вечера. Однако оказалось, что часовая и минутная стрелки просто поменялись местами. Как вы помните, бал начался между десятью и одиннадцатью часами. Не можете ли вы назвать время более точно?

51. Перепутанные стрелки.

— Вчера между двумя и тремя часами, — сказал полковник Крэкхэм, — я взглянул на часы и, перепутав часовую стрелку с минутной, ошибся в определении времени. Ошибочное время было на 55 минут меньше истинного. Сколько времени было на самом деле?

52. Равные расстояния. Несколько дней назад профессор Рэкбрейн огорошил своих студентов следующей головоломкой: «Когда между тремя и четырьмя часами минутная стрелка находится на том же расстоянии от VIII, что и часовая от XII?»

53. Справа и слева. В какое время между тремя и четырьмя часами минутная стрелка находится на таком же расстоянии слева от XII, на каком часовая стрелка находится справа от XII?

54. Под прямым углом. Однажды за завтраком профессор Рэкбрейн задал своим юным друзьям легкий вопрос:

— Когда между пятью и шестью часами часовая и минутная стрелки будут находиться точно под прямым углом?

55. Вестминстерские часы. Один человек шел как-то утром по Вестминстерскому мосту между восьмью и девятью часами, если судить по башенным часам (которые часто по недоразумению называют Большим Беном, хотя так называется только большой колокол; но это между прочим). Возвращаясь между четырьмя и пятью часами, он заметил, что стрелки поменялись местами. В какое время человек шел по мосту туда и обратно?

56. По холму. Вилли-Лежебока взбирался вверх по холму со скоростью 1½ км/ч, а спускался со скоростью 4½ км/ч, так что все путешествие заняло у него ровно 6 ч. Сколько километров от подножия до вершины холма?

57. Скорость автомобиля.

— Я шел по дороге со скоростью 3½ км/ч, — сказал мистер Пипкинс, — как вдруг мимо, едва не сбив меня с ног, промчался автомобиль[4].

— А с какой скоростью он ехал? — спросил его друг.

— Сейчас скажу. С того момента, как он промчался мимо меня, до того, как он скрылся за поворотом, я сделал 27 шагов и затем, не останавливаясь, дошел до поворота, пройдя еще 135 шагов.

— Тогда мы сможем легко определить скорость автомобиля, если считать, что ваши скорости были постоянны.

58. Гонки по лестнице. На рисунке схематически изображен финиш гонок по лестнице, в которых принимали участие три человека. Акворт, лидер, перепрыгивал сразу через три ступени, Барнден, второй участник гонок, — через четыре, а последний бегун, Крофт, одним махом перекрывал пять ступенек. Из рисунка ясно, что победителем оказался Акворт. Сколько ступенек в лестнице, по которой бежали участники гонок, если верхнюю площадку также считать ступенькой? Следует иметь в виду, что на рисунке показана лишь верхняя часть лестницы. Под нижней чертой могут быть еще сотни ступенек. Поскольку нас интересует только финиш, на рисунке они не изображены. Однако рисунок позволяет определить наименьшее число ступенек, которое может содержать эта лестница.

59. Прогулка. Один человек в полдень отправился прогуляться из Эплминстера в Бонихэм, а его приятель в два часа того же дня вышел из Бонихэма в Эплминстер. По пути они встретились. Встреча произошла в пять минут пятого, после чего приятели одновременно пришли в свои конечные пункты. Когда они закончили свой путь?

60. Езда в ветреную погоду. Велосипедист проезжает километр за 3 мин, если ветер дует в спину, и за 4 мин, если ехать приходится против встречного ветра. За сколько времени он проедет 1 км, если ветер утихнет? Кто-нибудь, возможно, скажет, что, поскольку среднее арифметическое 3 и 4 равно 3½ велосипедисту потребуется 3½ мин, однако такое решение неверно.

61. Головоломка с гребцами. Команда гребцов может пройти на своей лодке данное расстояние против течения за 8 мин. В отсутствие течения это же расстояние она проходит за время на 7 мин меньше, чем то, которое потребуется, чтобы пройти его по течению. За сколько минут команда проходит данное расстояние по течению?

62. Эскалатор. Находясь на одном из эскалаторов лондонского метро, я обнаружил, что, прошагав 26 ступенек, я спустился бы до платформы за 30 с. Но если бы я прошагал 34 ступеньки, весь спуск занял бы 18 с. Сколько ступенек в эскалаторе? Время измеряется от момента, когда верхняя ступенька начинает опускаться, до того момента, когда я схожу с последней ступеньки на платформу.

63. Один велосипед на двоих. Двум братьям нужно было отправиться в путь и прибыть в пункт назначения одновременно. У них был только один велосипед, на котором они ехали по очереди, причем тот, кто ехал, когда истекало его время, слезал с велосипеда и, оставив его у забора, шел вперед пешком, не ожидая брата, а тот, кто шел сзади, дойдя до этого места, подбирал велосипед и ехал свое время и т. д. Где им лучше всего меняться велосипедом? Если скорости движения пешехода и велосипедиста одинаковы, то решить задачу крайне легко. Следует просто разделить путь на четное число участков равной длины и меняться велосипедом в конце каждого такого участка, который можно определить, например, по счетчику расстояния. В этом случае каждый из братьев половину пути пройдет пешком, а половину проедет на велосипеде.

Но вот аналогичная задача, которая решается не столь просто. Андерсон и Браун должны преодолеть расстояние в 20 км и одновременно прибыть в пункт назначения. У них один велосипед на двоих. Андерсон проходит пешком лишь 4, а Браун — 5 км/ч. Зато на велосипеде Андерсон едет со скоростью 10, а Браун лишь 8 км/ч. Где им надо меняться велосипедом? Каждый из них или едет, или идет пешком, не делая в пути ни одного привала.

64. Снова о велосипеде. Дополним условие предыдущей задачи третьим участником, который пользуется тем же велосипедом. Предположим, что Андерсон и Браун взяли с собой человека по имени Картер. Они делают пешком соответственно по 4,5 и 3 км/ч, а на велосипеде — по 10, 8 и 12 км/ч. Как им следует пользоваться велосипедом, чтобы преодолеть за одно и то же время расстояние 20 км?

65. Мотоцикл с коляской. Аткинс, Болдуин и Кларк решили совершить путешествие. Их путь составит 52 км. У Аткинса есть мотоцикл с одноместной коляской. Он должен подвезти одного из своих товарищей на какое-то расстояние, высадить его, чтобы тот дальше шел пешком, вернуться назад, подобрать другого товарища, который вышел одновременно с ними, и поехать дальше так, чтобы все трое прибыли в пункт назначения в одно и то же время. Как это сделать?

Скорость мотоцикла 20 км/ч, Болдуин может идти пешком со скоростью 5, а Кларк — 4 км/ч. Разумеется, каждый старается двигаться как можно быстрее и в пути нигде не задерживается.

Задачу можно было бы усложнить введением большего числа пассажиров, а в нашем случае она настолько упрощена, что даже все расстояния выражаются целым числом километров.

66. Связной. Армейская колонна длиной 40 км проходит 40 км. Сколько километров проделает связной, посланный с пакетом из арьергарда в авангард и возвратившийся назад?

67. Два поезда. Два железнодорожных состава, один длиной 400, а другой 200 футов, движутся по параллельным путям. Когда они движутся в противоположных направлениях, то каждый проходит мимо другого за 5 с, а когда они идут в одном направлении, то более быстрый проходит мимо другого за 15 с. Один любопытный пассажир, используя эти данные, сумел определить скорость обоих поездов[5].

68. От Пиклминстера до Квиквилля. Два поезда А и В отправляются из Пиклминстера в Квиквилль одновременно с поездами С и D, отправляющимися из Квиквилля в Пиклминстер. Поезд А встречает поезд С за 120 миль, а поезд D за 140 миль от Пиклминстера. Поезд В встречает поезд С за 126 миль от Квиквилля, а поезд D — на полпути между Пиклминстером и Квиквиллем. Каково расстояние от Пиклминстера до Квиквилля? Все поезда идут с постоянными скоростями, не слишком отличающимися от обычных.

69. Неисправный паровоз. Мы отправились по железной дороге из Англчестера в Клинкертон. Но через час после того, как поезд тронулся, обнаружилась неисправность паровоза. Нам пришлось продолжать путешествие со скоростью, составлявшей ¾ первоначальной. В результате мы прибыли в Клинкертон с опозданием на 2 ч, а машинист сказал, что если бы поломка произошла на 50 миль дальше, то поезд пришел бы на 40 мин раньше.

Каково расстояние от Англчестера до Клинкертона?

70. Головоломка с бегунами. Два человека бегут по кругу в противоположных направлениях. Браун — лучший бегун — дал Томкинсу фору в ⅛ дистанции, но переоценил свои силы: пробежав ⅙ дистанции, он встретил Томкинса и понял, что его собственные шансы на успех весьма малы.

На сколько быстрее должен теперь бежать Браун, чтобы догнать соперника? Эта головоломка окажется очень простой, если вы как следует поймете ее условия.

71. Два корабля. Два корабля выходят из одного порта в другой, расположенный за 200 морских миль от первого, и возвращаются назад. «Мэри Джейн» идет в одном направлении со скоростью 12 миль/ч, а на обратном пути — со скоростью 8 миль/ч, затрачивая на все путешествие 41⅔ ч. «Элизабет Энн» делает в обоих направлениях по 10 миль/ч, затрачивая на все путешествие 40 ч.

Мы видим, что оба корабля идут со средней скоростью 10 миль/ч. Почему же «Мэри Джейн» затрачивает на весь путь больше времени, чем «Элизабет Энн»? Как объяснить этот небольшой парадокс?

72. Определите расстояние. Джонс вышел из A в B и по дороге в 10 км от A встретил своего приятеля Кенворда, который вышел из B одновременно с ним. Дойдя до B, Джонс немедленно повернул обратно. То же сделал и Кенворд, дойдя до A. Приятели снова встретились, но уже в 12 км от B. Разумеется, каждый шел с постоянной скоростью, Каково расстояние между A и B?

Существует простое правило, с помощью которого каждый сможет найти искомое расстояние в уме за несколько секунд. Если знать, как нужно действовать, то задача решается необычайно просто.

73. Человек и собака.

— Прогулки с собакой, — сказал мне как-то приятель-математик, — дают мне обильную пищу для размышлений. Однажды, например, мой пес, подождав, пока я выйду на улицу, посмотрел, куда я собираюсь направиться, и, когда я пошел по дорожке, помчался по ней до конца. Затем он возвратился ко мне, снова добежал до конца дорожки и снова вернулся и так проделал 4 раза. Все это время он двигался с постоянной скоростью и, когда последний раз бежал ко мне, преодолел остаток пути в 81 м. Измерив потом расстояние от моей двери до конца дорожки, я обнаружил, что оно составляет 625 м. С какой скоростью бегал мой пес, если я шел со скоростью 4 км/ч?

74. Собака Бакстера. Вот интересная головоломка, дополняющая предыдущую. Андерсон покинул отель в Сан-Ремо в 9 ч и находился в пути целый час, когда Бакстер вышел вслед за ним по тому же пути. Собака Бакстера выскочила одновременно со своим хозяином и бегала все время между ним и Андерсоном до тех пор, пока Бакстер не догнал Андерсона. Скорость Андерсона составляет 2, Бакстера — 4 и собаки — 10 км/ч. Сколько километров пробежала собака к моменту, когда Бакстер догнал Андерсона?

Читатель, приславший мне эту задачу, будучи человеком педантичным, счел нужным особо оговорить, что «длиной собаки и временем, затраченным на повороты, можно пренебречь». Я бы со своей стороны добавил, что в равной мере можно пренебречь кличкой собаки и днем недели.

75. Исследование пустыни. Девять участников экспедиции (каждый на автомашине) встречаются на восточной окраине пустыни. Они хотят исследовать ее внутренние районы, двигаясь все время на запад. Каждому автомобилю полного бака (содержащего 1 галлон бензина) хватает на 40 миль пути. Кроме того, он может взять с собой еще 9 канистр бензина по галлону каждая (но не больше). Целые канистры можно передавать с одного автомобиля на другой. На какое максимальное расстояние исследователи могут проникнуть в пустыню, не создавая складов топлива, необходимого для возвращения назад?

76. Исследование горы. Участник экспедиции профессор Уокинхолм получил задание со всех сторон на заданной высоте обследовать гору. Ему предстоит одному преодолеть пешком 100 миль вокруг горы. Профессор способен делать по 20 миль в день, но взять с собою продуктов он в состоянии лишь на два дня. Для удобства каждый дневной рацион упакован в запечатанную коробку. Ежедневно профессор проходил свои 20 миль и расходовал дневной рацион. За какое наименьшее время он мог обойти гору?

Эту задачу по праву можно отнести к числу наиболее захватывающих среди рассмотренных нами до сих пор головоломок. От профессора Уокинхолма потребуется немало изобретательности. Идею задачи предложил Г. Ф. Хит.

77. Ленч в час дня. Один читатель написал нам, что дом его друга в А, куда он был приглашен на ленч в час дня, расположен в 1 км от его собственного дома в В. В 12 ч он выехал в своем инвалидном кресле на колесах из В по направлению к С на прогулку. Его друг, решив присоединиться к нему и помочь добраться к назначенному часу на ленч, вышел в 12.15 из А по направлению к С со скоростью 5 км/ч. Друзья встретились и направились в A со скоростью 4 км/ч. Прибыли туда они ровно в час дня.

Какое расстояние проехал наш читатель по направлению к С?

78. Гуляющий пассажир. Поезд движется со скоростью 60 км/ч. Пассажир из хвоста поезда идет в его начало по переходам между вагонами со скоростью 3 км/ч. С какой скоростью он движется относительно железнодорожного полотна?

Мы не собираемся в данном случае заниматься софизмами, вроде апории Зенона с летящей стрелой, или теорией относительности Эйнштейна, а говорим о движении в обычном смысле слова по отношению к железнодорожному полотну.

79. Встречные поезда. На станции Вюрцльтаун одна старая леди, выглянув из окна, крикнула:

— Дежурный! Сколько отсюда ехать до Мадвилля?

— Все поезда идут 5 часов в любую сторону, мэм, — ответил тот.

— А сколько поездов встретится мне по пути?

Этот нелепый вопрос озадачил дежурного, но он с готовностью ответил:

— Поезда из Вюрцльтауна в Мадвилль и из Мадвилля в Вюрцльтаун отходят в пять минут первого, пять минут второго и так далее с интервалом ровно в один час.

Старая леди заставила одного из своих соседей по купе найти ответ на ее вопрос.

Так сколько же поездов встретится ей по пути?

80. Два чемодана. Одному джентльмену нужно было добраться до железнодорожной станции, расположенной в 4 км от дома. Его багаж состоял из двух одинаково тяжелых чемоданов, унести которые одному было не под силу. Садовник и слуга джентльмена настаивали на том, чтобы нести багаж доверили им. Но садовник был слишком стар, а слуга — слишком слаб. Джентльмен же настаивал на том, чтобы каждый принял равное участие в переноске багажа, и ни за что не хотел отказаться от своего права нести чемоданы причитающийся ему отрезок пути.

Садовник и слуга взяли по чемодану, а джентльмен, шагая налегке, думал, как ему надлежит действовать, чтобы все трое затратили равный труд.

Так как же?

81. Эскалатор.

— Спускаясь вниз по эскалатору, я насчитал 50 ступенек, — сказал Уокер.

— А я насчитал 75, — возразил Тротмен, — но я спускался в три раза быстрее вас.

Если бы эскалатор остановился, то сколько ступенек можно было бы насчитать на его видимой части? Предполагается, что оба человека двигались равномерно и что скорость эскалатора постоянна.

82. Тележка. «Три человека, — сказал Крэкхэм, — Аткинс, Браун и Крэнби, решили отправиться в небольшое путешествие. Им предстоит путь в 40 км. Аткинс идет со скоростью 1 км/ч, Браун — со скоростью 2 км/ч, а Крэнби на своей тележке, в которую запряжен ослик, делает 8 км/ч. Какое-то время Крэнби везет Аткинса, затем высаживает его, чтобы тот оставшееся расстояние прошел пешком, затем возвращается за Брауном и везет его до конечного пункта, причем все трое прибывают туда одновременно.

Сколько длилось путешествие? Разумеется, все это время приятели двигались с постоянной скоростью».

83. Четыре велосипедиста. Четыре одинаковых круга изображают четыре гаревые дорожки. Четверо велосипедистов стартуют из центра в полдень. Каждый движется по своему кругу со скоростями: первый — 6 км/ч, второй — 9, третий — 12 и четвертый — 15 км/ч. Они договорились ездить до тех пор, пока все в четвертый раз не встретятся опять в центре. Длина каждой круговой дорожки равна ⅓ км.

Когда произойдет встреча?

84. Три машины. Три машины едут по дороге в одном направлении и в некоторый момент времени располагаются относительно друг друга следующим образом. Эндрюс находится на некотором расстоянии позади Брукса, а Картер — на расстоянии, вдвое превышающем расстояние от Эндрюса до Брукса, перед Бруксом. Каждый водитель едет с постоянной скоростью, и Эндрюс нагоняет Брукса через 7 мин, а затем еще через 5 мин догоняет Картера.

Через сколько минут после Эндрюса Брукс догонит Картера?

85. Муха и автомобили. Длина дороги 300 км. Автомобиль А стартует на одном конце дороги в полдень и движется с постоянной скоростью 50 км/ч. В то же самое время на другом конце дороги стартуют автомобиль В с постоянной скоростью 100 км/ч и муха, делающая 150 км/ч. Встретив автомобиль А, муха поворачивает и летит навстречу В.

1) Когда муха встретит В?

2) Если бы, встретив В, муха повернула, полетела навстречу А, встретила его, снова повернула и так продолжала летать между А и В, пока они не столкнулись бы, то когда автомобили раздавили бы муху?

86. Лестницы метро. Как-то, выходя из станции метро «Керли-стрит», мы столкнулись с молодым атлетом Перси Лонгмеиом. Он остановился на эскалаторе и сказал:

— Вверх по эскалатору я всегда иду. Знаете ли, лишняя тренировка никогда не помешает. Этот эскалатор самый длинный на линии — почти тысяча ступенек. Но вот что интересно — и это относится и к другому, меньшему эскалатору, по которому мне часто приходится подниматься: если, поднимаясь вверх, я шагаю через две ступеньки, то на последний шаг приходится одна ступенька; если я шагаю через три ступеньки — то две ступеньки; если через четыре — то пять; если через пять — то четыре; если через шесть — то пять и, наконец, если я шагаю через семь ступенек, то на последний шаг приходится шесть ступенек. Почему так происходит, не знаю.

Когда Перси пошел дальше вверх, перешагивая через три ступеньки сразу, мы рассмеялись и мой спутник сказал:

— Он едва ли подозревает, что если бы делал шаги в 20 ступенек, то на последний шаг ему их осталось бы 19!

Сколько ступенек в эскалаторе на станции «Керли-стрит», если верхнюю площадку считать ступенькой, а нижнюю нет?[6]

87. Автобусная прогулка. Джордж отправился с любимой девушкой покататься на автобусе, но, подсчитав свои ограниченные ресурсы, понял, что возвращаться назад им придется пешком.

Если скорость автобуса 9 км/ч, а наша пара пешком делает 3 км/ч, то как далеко они могут прокатиться, чтобы на всю прогулку туда и обратно затратить 8 ч?

88. Транспортная головоломка. Двенадцать солдат должны одновременно как можно быстрее попасть в пункт, расположенный в 20 км от их местонахождения. Для этого они остановили небольшую автомашину.

— Я еду со скоростью 20 км/ч, — сказал водитель, — но с собой могу одновременно взять только четверых. С какой скоростью вы идете пешком?

— Каждый из нас проходит 4 км/ч, — ответил один из солдат.

— Прекрасно, — воскликнул водитель, — тогда я поеду вперед с четверыми из вас, подвезу их на какое-то расстояние, затем вернусь и посажу еще четверых, подвезу их тоже и возвращусь за остальными. От вас требуется лишь одно: все время, пока вы не едете на машине, идти пешком, я позабочусь об остальном.

Солдаты отправились в путь ровно в полдень. Когда они прибудут на место?

89. Чему равно расстояние? «Пароход, — заметил один из наших офицеров, вернувшихся с Востока, — способен развивать по течению скорость 20 км/ч, а против течения — только 15 км/ч. Поэтому весь путь между двумя пунктами вверх по течению занимает у него на 5 ч больше времени, чем вниз по течению».

Мы все не могли удержаться от того, чтобы не попытаться определить в уме расстояние между этими двумя пунктами. Чему оно равно?

90. Туда и обратно. Полковник Крэкхэм утверждает, что его приятель, мистер Уилкинсон, идет от своего загородного дома до ближайшего города со скоростью 5 км/ч, а возвращаясь немного усталым, проходит тот же путь со скоростью 3 км/ч. Путешествие туда и обратно занимает у него ровно 7 ч.

Как далеко от города расположен дом мистера Уилкинсона?