Занимательная математика

— Я вижу, — заметил султан, — ты человек весьма ученый.

— О нет, великий султан. Мне случалось читать сочинения мудрецов и я очень люблю логику, в которой они так сильны, но я лишь в меру своего слабого разумения пытаюсь постичь смысл их теорий и еще очень многого не знаю.

— Самое интересное у тебя еще впереди, — заверил султан начальника тюрьмы. — А известен ли тебе принцип конечной индукции?

— Известен, о великий султан.

— Прекрасно, но оставим его на миг и вернемся к несчастному Абдулу. Выбрал ли ты день казни?

— Пока еще не выбрал. Продолжаю размышлять над тем, как это можно было бы сделать лучше всего.

— Насколько я понимаю, — продолжал султан, — ты можешь повесить Абдула только в один из дней назначенной визирем недели — от воскресенья до воскресенья. Вот мне и хотелось бы узнать, можешь ли ты отложить казнь Абдула на последний день недели, т. е. повесить его в субботу?

Начальник тюрьмы поразмыслил немного и медленно ответил:

Нет. Думаю, что не могу. Видишь ли, о великий султан, Абдул человек умный. Поскольку ему известно, что казнь должна быть неожиданной, он, дожив до утра субботы, встретит меня, когда я принесу ему завтрак, словами:

— Я знаю, начальник, что ты собираешься повесить меня сегодня, так как сегодня — последний из дней той недели, в течение которой меня должны повесить.

И это действительно было бы так, продолжал начальник тюрьмы. — Ведь если бы он дожил до утра субботы, последнего из дней недели, в течение которой я должен его повесить, то заведомо знал бы, что казнь должна свершиться только в тот день, и встретил бы меня заявлением об этом. И тогда Абдул обрел бы право на прошение о помиловании.

— Понимаю, — кивнул султан. — Согласен, что, зная условия приговора, и ты, и Абдул должны были догадаться, что казнь не может состояться в субботу.

Ты прав, о верткий султан, подтвердил начальник тюрьмы слова владыки. — Приговор составлен так, что я могу повесить Абдула только в один из дней с воскресенья по пятницу. В субботу казнь никак не может состояться.

— А это означает, — продолжал султан, — что и ты, и Абдул можете преспокойно вычеркнуть субботу из своих календарей. Ты мог бы привести приговор в исполнение только с воскресенья по пятницу, и таким образом, пятница — последний из дней недели, когда Абдул мог бы быть повешен.

— Ты прав, как всегда, — не мог не признать начальник тюрьмы.

А мог бы ты отложить казнь до пятницы? поинтересовался султан.

Поразмыслив, начальник тюрьмы ответил:

— Думаю, что не мог бы. Так как и Абдул и я знаем, что пятница — последний день, когда его можно повесить, то если бы Абдул дожги до утра пятницы, он непременно встретил бы меня заявлением, что его казнят сегодня.

— Я тебя понял, — кивнул султан. — Ты хочешь сказать, что можешь повесить Абдула только в один из дней с воскресенья по четверг и что Абдул не может не понимать этого?

— Безусловно, с уверенностью ответил визирь.

— Но коль скоро это так, — продолжал султан, — и четверг становится последним днем недели, когда может свершиться казнь, то не можем ли мы, продолжив то же самое рассуждение, исключить и четверг?

— Разумеется, можем, — воскликнул начальник тюрьмы. — Тогда последним днем недели, когда может свершиться казнь, станет среда, которую в свою очередь также придется исключить, и так станет с любым из остальных дней недели. Следовательно, привести смертный приговор Абдулу в исполнение невозможно!

Поистине мы имеем дело с применением принципа конечной индукции. То, что мы действительно доказали, сводится к следующему: в последний из дней недели, в который можно казнить Абдула, казнить Абдула автоматически становится невозможным.

— Ты прав, — смеясь, подтвердил султан. — А из доказанного следует, что осужденного невозможно казнить врасплох не только в течение недели, не и в течение любого конечного числа дней. Какое счастье, однако, что и ты, и Абдул обладаете одинаково острым разумом. Если любой из вас не понял, к чему приводит принцип конечной индукции, то он не сработал бы на практике.

Второе испытание Абдула[4]

Едва успев благополучно выпутаться из предыдущей истории, Абдул снова попал в беду. На этот раз его обвинили в торговле рабынями на черном рынке, недавно строжайше запрещенной султаном ибн-аль-Казом. На этот раз Абдул предстал перед судом присяжных — новинкой, введенной просвещенным властителем Квазиабабии, стремившимся превратить свою страну в современное государство. При вынесении вердикта мнения присланных, шести мужчин и шести женщин, разделились: все шесть женщин сочли Абдулу виновным и потребовали для него смертной казни, а все шесть мужчин склонились к мнению «невиновен».

Выслушав присяжных, судья вынес решение, что судьбу Абдула — жить ему или умереть — должен решить с равными шансами на жизнь и на смерть случай — шар, извлекаемый наугад из урны. Для вынесения приговора столь необычным методом в суд были доставлены две большие урны с двадцатью пятью белыми и двадцатью пятью черными шарами в каждой. Подсудимому должны были завязать глаза, предложить вытянуть руки и, выбрав наугад одну из урн, извлечь из нее шар.

Черный шар означал смерть, белый — жизнь. Урны долго переставляли, а шары тщательно перемешали.

— О великий судья. — воскликнул Абдул, падая на колени перед скамьей, на которой восседал судья. — Молю тебя исполнить мою последнюю просьбу. Позволь перед тем, как мне завяжут глаза, по-своему переложить шары из урны в урну. После этого я готов вслепую выбрать урну и извлечь из нее шар.

— Может ли это увеличить шанс преступника избежать наказания о великий визирь? — почтительно обратился судья к сидевшему с ним рядом визирю.

— Не думаю, — ответствовал визирь, считавший себя большим знатоком по части математических проблем. — Всего имеется пятьдесят черных шаров и пятьдесят белых шаров, а поскольку подсудимый будет извлекать шар вслепую, шансы извлечь черный или белый шар остаются прежними, как бы он ни перекладывал шары из урны в урну или ни распределял шары по любому числу урн.

— В таком случае, — решил судья, — раз перекладывание шаров ничего не меняет, почему бы нам не исполнить последнюю просьбу подсудимого? Это следует сделать хотя бы для того, чтобы продемонстрировать нашему великому султану, что вновь назначенный им суд в соответствии с пожеланиями нашего владыки придерживается либеральных тенденций при вынесении приговоров.

— Будь по-твоему, — разрешил судья Абдулу, все еще стоявшему перед ним на коленях. — Можешь перекладывать шар, как сочтешь нужным.

Поднявшись с колен и подойдя к столу, на котором стояли урны, Абдул приступил к делу. Сначала он пересыпал все шары из одной урны в другую, а затем, выбрав один белый шар, переложил его в первую (пустую) урну. Эта нехитрая операция повысила его шансы остаться в живых с 50 %: почти до 75 %. После того как ему завязали глаза, он с вероятностью 50 % мог выбрать урну с одним белым шаром, а если бы он выбрал другую (те ту») урну, то у него все же было бы 49 из 99 шансов (т. е. почти 50 %) извлечь из нее не черный, а белый шар.

История умалчивает о том, позволило ли Абдулу такое увеличение благоприятных шансов спасти свою жизнь.

Скачки наоборот

Однажды в солнечный день (как, впрочем, все дни в той части земного шара) один англичанин сидел на камне посреди пустыни во владениях султана ибн-аль-Каза. Он умирал от скуки, так как делать ему было абсолютно нечего, хотя денег у него в карманах было достаточно для того, чтобы заплатить за любое развлечение. И когда англичанин к великому своему удовольствию увидел проезжавших мимо верховых бедуинов, он знаком попросил их приблизиться.

— Друзья, — обратился к бедуинам англичанин, показывая им сверкающую на солнце золотую гинею, — не окажите ли вы мне любезность проскакать вон до той пальмы. Тот, чья лошадь придет последней, получит в награду эту золотую монету.

Чья лошадь придет последней? — воскликнули бедуины, которые оба знали английский.

Именно! И понимаю, что условие состязания необычно, но такова моя прихоть. А теперь — внимание, на старт, марш!

Желая получить в награду золотую гинею, бедуины пустились было к видневшейся вдалеке пальме, но поскольку каждый из них стремился сдержать свою лошадь, оба всадника почти не двигались с места.

Когда оба бедуина уже были готовы отказаться от участия в состязании, перед ними внезапно возник дервиш. Оба всадника спрыгнули с коней и распростерлись перед ним на горячем песке пустыни.

— Что вас тревожит, дети мои? — спросил дервиш низким голосом.

И бедуины объяснили ему необычное условие скачек.

— Может быть, нам нужно разделить приз между собой или условиться, что тот, кто выиграет скачку, если его лошадь придет последней, отдаст золотую гинею другому, — предложил один из бедуинов.

О нет! возразил дервиш. Нужно быть честным во всех своих деяниях, даже если речь идет об уговорах с англичанами. Вам нужно просто… — и дервиш прошептал свой совет бедуинам.

— Да благословит тебя Аллах! воскликнули бедуины, вскочили в седла и пришпорили лошадей.

Быстрее ветра они понеслись к пальме. Судьба скачек была решена в считанные минуты, и англичанину пришлось уплатить гинею победителю. Что посоветовал дервиш бедуинам?

Дервиш дал бедуинам очень простой совет: поменяться лошадьми.

2. Сэм-Игрок

Карточки в шляпе

Объяснить в два слова, кто таком Сэм-Игрок, проще всего, назвав его «живым компьютером».

Способность Сэма честно зарабатывать свой хлеб основана на его непостижимой способности оценивать шансы на выигрыш и проигрыш в любой азартной игре, которая когда-либо была изобретена человеком. Разумеется, умение Сэма молниеносно подсчитывать шансы «за» и «против» целиком опирается на его замечательную память и отнюдь не свидетельствует о его аналитических способностях.

Другая отличительная черта Сэма-Игрока — его доброе отзывчивое сердце. Матери Сэма-младшего Сэм-старший дал слово, что сын вырастет уважаемым человеком. И Сэм-Игрок сдержал свое обещание. Он рассудил, что Сэм-младший должен хотя бы частично унаследовать способности отца просчитывать комбинации. А что, скажите на милость, в наши дни может пользоваться большим уважением, чем математик, способный производить сложнейшие расчеты?

И Сэм-младший был отправлен в колледж. Правда, по окончании колледжа он мог бы до конца жизни ездить на работу и с работы в городском автобусе, а не за рулем собственного «кадиллака», как Сэм-старший. И хотя у Сэма-младшего могло появиться немало умных книг, он вполне мог так и не обзавестись маленькой черной записной книжечкой с именами и адресами всех хористок в городе. Но главное было бы достигнуто: Сэм-младший непременно стал бы уважаемым человеком.

Нужно сказать, что Сэм-старший очень гордился своими профессиональными способностями. Когда Сэм-младший был на последнем курсе колледжа, Сэм-старший узнал из беседы с сыном, что современные физики широко используют во многих вычислениях методы теории вероятностей. Желая показать сыну, что и по части новой для него теории он многих заткнет за пояс, Сэм-Игрок написал обширный трактат, чтобы продемонстрировать свое искусство в вычислении вероятностей.

Сэм-младший попытался было объяснить отцу, что теория вероятностей далеко не исчерпывается вычислением вероятностей и что в ней разработаны весьма тонкие математические методы.

Сэм-младший усомнился даже в том, понимает ли Сэм-старший по-настоящему глубоко фундаментальные принципы теории вероятностей даже в простейших случаях вычисления благоприятных и неблагоприятных шансов, в чем Сэм-старший мнил себя непревзойденным знатоком.

— Рассмотрим в качестве примера, — предложил Сэм-младший, — хотя бы следующую игру. Я кладу в шляпу три карточки: одну красную с обеих сторон, одну белую с обеих сторон и одну красную с одной стороны и белую с другой.

Предположим, что я извлекаю из шляпы одну карточку. Вынутая мной карточка обращена к нам красной стороной, какого цвета у нее другая сторона, мы не знаем.

— Ты хочешь, чтобы я догадался, какого цвета другая сторона? — спросил Сэм-Игрок.

— Совершенно верно, — согласился Сэм-младший. — Точнее говоря, ты должен сообщить мне, какова вероятность того, что у вынутой мною карточки другая сторона красная. Раз у вынутой мной карточки одна сторона красная, то она может быть только одной из двух карточек: либо красно-красной, либо красно-белой. Ты согласен?

— Согласен.

— Вот я и спрашиваю, какова вероятность того, что извлеченная мной карточка оказалась красно-красной? — заявил Сэм-младший.

Мог бы придумать задачу и посложнее, проворчал Сэм-старший. Простота предложенной сыном задачи вызывала у него отвращение. Ты мог извлечь из шляпы только две карточки, поэтому вероятность того, что у тебя в руке красно-красная карточка, равна одной второй.

— Я знал, что ты так и скажешь, — кивнул Сэм-младший, — но твой ответ неверен!

— Подумать только! И для этого твоя мать хотела, чтобы я послал тебя учиться в колледж! воскликнул Сэм-старший. — Уж не думаешь ли ты, что разбираешься в вероятностях лучше моего? Чтобы оценивать шансы «за» и «против», никакой математики не требуется.

Необходим лишь здравый смысл.

— Не сердись, — терпеливо увещевал разбушевавшегося родителя Сэм-младший. — Все дело в правильном определении вероятности.

Твой ответ подразумевает, что извлечена одна из двух возможных карточек, и что поэтому вероятность равна одной второй, но ты совсем не учитываешь условия задачи. Я сказал, что извлек из шляпы карточку с красной «лицевой» стороной. Чтобы вычислить вероятность того, что извлечена красно-красная карточка, я должен сначала спросить себя, сколькими способами я могу извлечь из шляпы карточку с красной стороной.

— Все это так, — согласился Сэм-старший, — но почему это меняет ответ?

— А вот почему, — терпеливо продолжал Сэм-младший. — У карточек в шляпе всего три красные стороны, а именно: две красные стороны у красно-красной карты и одна красная сторона у красно-белой карточки.

— А кто спорит? — возразил Сэм-старший.

— Но тогда ты должен признать, что существует три способа вытянуть карточку с красной лицевой стороной.

— Согласен.

— Прекрасно! А теперь рассмотрим подробнее те три способа, которыми я могу извлечь карточку с лицевой красной стороной. При одном способе оборотная сторона карточки белая, т. е. я извлек красно-белую карточку, в двух других случаях оборотная сторона карточки красная, т. е. в каждом случае я извлекаю красно-красную карточку. Таким образом, из трех возможных способов извлечь карточку с красной лицевой стороной в двух случаях оборотная сторона карточки оказывается красной и только в одном случае белой. Следовательно, вероятность того, что у извлеченной карточки оборотная сторона красная, равна двум третьим.

— Постой, постой! — усомнился Сэм-старший. Говоришь ты складно, но слишком быстро, и я не успеваю следить за твоими рассуждениями.

— Попробую доказать свое рассуждение иначе, — невозмутимо продолжал Сэм-младший. Ты согласился сыграть со мной в эту игру в предположении, что я извлек из шляпы карточку с красной лицевой стороной, но с тем же успехом мы могли бы сыграть в эту игру в предположении, что я извлек карточку с белой лицевой стороной.

— Разумеется, — кивнул Сэм-старший, — разницы никакой.

— Условимся теперь сыграть в новую игру, продолжал Сэм-младший. Если я извлеку карточку с красной лицевой стороной, то ты должен будешь определить вероятность того, что извлечена красно-красная карточка, а если я извлеку карточку с белой лицевой стороной, то ты должен будешь определить вероятность того, что извлечена бело-белая карточка. Суть проблемы на этом примере особенно ясна. Игра остается одной и той же, играем ли мы «на красное» или «на белое». Поэтому, играя на красное или на белое, мы получаем ту же самую вероятность, которую получили бы, играя только на красное или только на белое. А вот если бы мы вздумали играть на красное и на белое, то ответ был бы иным. Вопрос, который я задаю в действительности, звучит так: какова вероятность извлечь из трех карточек в шляпе карточку, обе стороны которой одного цвета, по сравнению с вероятностью извлечь карточку, стороны которой различного цвета? Ответ задачи в этом случае гласит, что вероятности относятся как 2:1, поскольку две карточки из трех имеют обе стороны одного цвета.

Тузы

— Подумаешь! — произнес Сэм-старший, явно желая оправдать свою неудачу. — Ты просто придумал задачу-уродца. Такой место в кунсткамере. Я уверен, что на практике необходимость использовать строгое определение вероятности при решении настоящих задач никогда не возникает. К тому же никто не играет в игры с какими-то дурацкими карточками!

— В этом я как раз не уверен, — возразил Сэм-младший. — Я могу привести аналогичный пример с настоящими игральными картами.

— Великолепно! Действительно, почему бы нам не попробовать сыграть настоящими картами?