Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• увеличение скорости вычислений;

• новые функции и алгоритмы для математических вычислений.

• 8 новых пакетов расширения, в частности новый пакет по оптимизации Optimization;

• существенно переработанные многие пакеты расширения;

• новый мощный пакет оптимизации;

• средства решения дифференциальных алгебраических уравнений DAE (differential-algebraic equation);

• существенно обновленные и улучшенные решатели обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE) и дифференциальных уравнений в частных производных (PDE);

• ряд улучшенных численных методов оптимизации, численного решения дифференциальных уравнений, вычисления эллиптических функций и нахождения корней уравнений;

• поддержка интеграции с системой Mathematica;

• решение дифференциально-алгебраических уравнений;

• новые алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными;

• усовершенствовано интерактивное управление графикой;

• новые палитры и автоматическое завершение ввода названий команд;

• конвертация документов Mathematica в Maple-документы;

• доступ к Maple из программ С, Java, Visual Basic с помощью инструментов Open Maple;

• новые возможности программирования отладки программ. Новый пакет Optimization включает в себя следующие возможности:

• численные методы для решения оптимизационных задач;

• интерактивный мастер (Maplet) постановки и редактирования задач;

• решения произвольной точности;

• алгоритмы для линейного, квадратичного и нелинейного программирования, включая задачи с ограничениями и без них;

• алгоритмы для линейных и нелинейных задач, решаемых методом наименьших квадратов.

Новый пакет Logic разработан для операций с выражениями двузначной булевой логики. Новый пакет RootFinding содержит функции для численного нахождения корней аналитических функций. Словарь математических и инженерных терминов, встроенный в Maple 9.5 содержит более 5000 определений и 300 диаграмм, встроен в справочную систему.

Новый пакет Student[MultivariateCalculus] включает:

• интерактивные программы, основанные на технологии Maplet, обучающие понятиям теории функций нескольких переменных, таких как интегрирование, разложение в ряд Тейлора, производные по направлению;

• средства визуализации основных понятий (замена переменных, центр масс, градиент, якобиан, площадь поверхности и другие);

• расширенное меню Tools обеспечивает доступ к 40 интерактивным обучающим программам по курсам математического анализа, линейной алгебры, функций нескольких переменных.

Пакет Student[Precalculus] содержит новые функции визуализации.

В области аналитического решения дифференциальных уравнений введены новые средства:

• точные решений многих классов дифференциальных уравнений;

• новые алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) типа Риккати, линейных ОДУ 2 порядка типа Мэтью, решений в виде полиномов нелинейных ОДУ и систем ОДУ, линейных и нелинейных уравнений в частных производных, систем уравнений в частных производных;

• новые методы решений ОДУ с начальными условиями, в том числе заданными в кусочном виде;

• гипергеометрические решения без интегралов линейных ОДУ;

• повышение эффективности при решении трудных ОДУ Абеля первого порядка.

В области решения дифференциальных уравнений численными методами появились следующие возможности:

• три новых численных метода решения задач с начальными условиями для алгебраических дифференциальных уравнений, жестких и нежестких;

• Maplet-поддержка для интерактивного решения алгебраических дифференциальных уравнений;

• опция оптимизации для больших или комплексных систем, повышающая скорость решения в 30 раз;

• новая опция для решения жестких задач с начальными условиями для больших систем ОДУ.

Новые математические инструменты представлены также следующими возможностями:

• в пакет PDEtools введено семь новых команд;

• в пакет diffalg добавлен метод алгебраической триангуляции;

• пакет Logic содержит набор команд для работы с выражениями двузначной булевой логики, обеспечивающий упрощение логических выражений, проверку эквивалентности выражений, преобразование логических выражений в алгебраические по модулю 2 и выполнение логических операций.

• пакет RootFinding содержит функции для численного нахождения корней и вычисление нулей аналитических функций;

• обновленный пакет Groebner, включает два новых алгоритма вычисления редуцированных базисов Гребнера торических идеалов;

• в пакет SumTools включено вычисление сумм гипергеометрического типа.

Пакет QDifferenceEquations обеспечивает:

• суммирование решений операторов q-сдвига с использованием метода точного q-суммирования;

• вычисление решений в виде серий линейных q-разностных уравнений;

• нахождение всех q-гипергеометрических решений линейного q-разностного уравнения.

В пакете SolveTools:

• включены функции для решения неравенств;

• обеспечено решение линейных неравенств по отношению к одной переменной;

• обеспечено решение одномерных и многомерных систем неравенств.

Обновленный пакет LREtools:

• содержит функции для определения необходимых условий для того, чтобы решение линейного реккурентного уравнения было аналитическим, в терминах начальных условий;

• позволяет находить все решений Даламбера линейных реккурентных уравнений;

• определяет возможности построения (desingularizable) оператора с полиномиальными коэффициентами для линейной рекурсии и его вычисление в случае существования.

В сочетании с сохраненными возможностями предшествующей версии системы это дает новой версии Maple 9.5 обширные возможности в эффективном решении широкого класса математических и научно-технических задач, а также задач в области образования.

1.2. Установка Maple 9.5 и начало работы с системой

1.2.1. Установка системы Maple 9.5 на ПК

Maple 9.5 работает на самых различных компьютерных платформах. В этой книге описывается версия, рассчитанная на установку на ПК с операционной системой Windows NT/2000/XP. Для установки на таких ПК требуются следующие аппаратные ресурсы:

• процессор — Pentium III 650 МГц и выше;

• оперативная память — не менее 128 Мбайт (рекомендуется 256 Мбайт);

• место на жестком диске — около 350 Мбайт;

• CD-ROM драйв для работы с инсталляционным CD-ROM.

Инсталляция происходит аналогично этому процессу для всех приложений операционной Windows и в детальном описании не нуждается. Система Maple 9.5 может быть установлена как для индивидуального пользователя, так и для многих пользователей (сетевой вариант). Подробное описание инсталляции дается в файле Install.htm.

Инсталляция проходит под управлением окна инсталляции, представленного на рис. 1.1. В нем слева отражены этапы инсталляции, а справа ее ход и вводимые параметры. Важно отметить необходимость ввода серийного номера (окно инсталляции показано для этого момента) и вида использования системы (для одного пользователя, многих пользователей и сетевого).

Рис. 1.1. Окно инсталлятора системы Maple 9.5

1.2.2. Двуликий интерфейс Maple 9.5

После инсталляции Maple 9.5 в папке Program Files образуется новая папка с именем Maple 9.5 (или иным, если пользователь задал иное имя папки). В ней можно обнаружить несколько папок и ярлыков, их которых наиболее важные следующие:

• Introduction to Maple 9.5 — открывает окно работы с Maple 9.5 с введением в систему Maple 9.5.

• Maple 9.5 — открывает окно Maple 9.5 со стандартным интерфейсом;

• Classic Worksheet Maple 9.5 — открывает окно Maple 9.5 с классическим интерфейсом;

• Command Line Maple 9.5 — открывает окно работы с Maple 9.5 командном режиме.

Последнюю возможность, в наше время довольно архаичную, хотя иногда и полезную, мы рассматривать не будем. А вот на двух других вариантах интерфейса остановимся. В отличие от предшествующих версий Maple 9.5 стал двуликой системой.

Стандартный интерфейс используется для получения максимальных возможностей в применении системы Maple. Классический интерфейс лучше знаком большинству пользователей системами Maple и рекомендуется при использовании ПК с минимально возможной памятью. Возможности системы при использовании двух видов интерфейсов немного отличаются.

1.2.3. Запуск системы Maple 9.5

Запуск Maple 9.5 со стандартным интерфейсом производится, как обычно, из меню Windows, открываемого кнопкой Пуск. Найдя позицию Maple 9.5, необходимо открыть подменю и щелкнуть на команде Maple 9.5. Возможен также запуск с помощью ярлыка с надписью Maple 9.5, помещенного на рабочий стол. Вид окна системы Maple 9.5 при таком запуске представлен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Окно системы Maple 9.5 со стандартным интерфейсом

Окно системы содержит два больших подокна — слева окно с палитрами математических выражений и спецзнаков, справа окно с документом — введением в систему Maple 9.5. При описанном запуске это окно будет чистым. Кроме того, в центре окна появляется окно каждодневных подсказок Top of the Day. котороевыдает короткие советы по применению Maple 9.5 (на английском языке). Если это окно становится ненужным, можно заблокировать его появление при каждом пуске Maple 9.5 убрав мышью знак птички напротив опции Show tip on Startup.

Для первоначального знакомства с системой Maple 9.5 стоит воспользоваться командой Introduction to Maple 9.5. После запуска появляется рабочее окно системы, изображенное на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Окно системы Maple 9.5 со стандартным интерфейсом и загруженным введением к работе с системой

Сразу отметим, что панель с палитрами математических выражений и спецзнаков лишь вначале закреплена в левой части окна. С помощью маленьких черных треугольников в правом верхнем углу окна палитр это окно можно закрывать и открывать. Кроме того, с помощью контекстного меню правой клавиши (оно показано открытым на рис. 1.3 для палитры Expression) ту или иную палитру можно разместить слева (Left) или справа (Right), сверху (Top) или снизу (Bottom).

Окно Maple 9.5 с классическим интерфейсом, выводимое командой Classic Worksheet Maple 9.5 (или активизацией ее ярлыка на рабочем столе) представлено на рис. 1.4. Это окно привычно пользователям предшествующими версиями Maple 7/8/9. Поэтому большинство примеров в этой книге дается в этом окне. Разумеется их содержательную часть можно использовать и при работе со стандартным интерфейсом. Однако, русскоязычные надписи при этом превращаются а «абракадабру» — смесь непонятных символов. Как правило, их приходится вводить заново — уже в стандартном интерфейсе.

Рис. 1.4. Окно системы Maple 9.5 с классическим интерфейсом

Разница между стандартным и классическим интерфейсом носит принципиальный характер. Это, прежде всего, относится к характеру использования оперативной памяти и организации вычислений. В стандартном интерфейсе (режиме) память разделена между исполняемыми и загруженными документами, так что каждый ведет себя независимо. Это реализовано с помощью так называемого разделенного «сервера» или ядра — shared kernel.

В классическом интерфейсе память, выделенная Maple, является общей и реализован «параллельный» сервер (ядро) — parallel kernel. Именно это ведет к уменьшению затрат памяти, но приводит к тому, что определения объектов являются общими для ряда загруженных документов. Например, если в одном документе задать а:=1, а затем в другом документе задать а:=2, то значение переменной а в первом документе тут же станет равным 2. Читатель может легко это проверить.

Если в каком то документе будет задана функция пользователя, процедура, матрица или любой другой объект, то это определение будет действовать во всех других загруженных документах. Для неопытного пользователя это может создать большие трудности в отладке документов и даже в их понимании. Кроме того, надо учитывать, что набор функций, операторов и процедур в этих двух видах интерфейса несколько различается. Все это вовсе не недостаток Maple, как это трактуют некоторые «специалисты», а просто запланированное и отмеченное в справке по системе отличие.

После запуска системы Maple 9.5 сразу готова к выполнению вычислений. Их сеанс принято называть сессией. Управление системой может осуществляться различными способами, в том числе из меню — на рис. 1.4 сверху видно раскрывающееся меню системы (для позиции View — вид).

1.2.4. Понятие о символьных (аналитических) вычислениях

Символьные операции — это то, что кардинально отличает системы компьютерной алгебры (СКА) от систем для выполнения численных расчетов. При символьных операциях, называемых также аналитическими, задания на вычисление задаются в виде символьных (формульных) выражений и результаты вычислений также получаются в символьном виде. Численные результаты при этом являются частными случаями результатов символьных вычислений.

К примеру, попытка вычислить в общем виде выражение sin(x)²+cos(x)²=1 с помощью численных математических систем или программ на обычных языках программирования к успеху не приведет. Вместо ожидаемого результата появится сообщение об ошибке вида: «Переменная х не определена!».

СКА не только не боятся применения неопределенных переменных, но и предпочитают работать с ними. Зададим, к примеру, в Maple 9.5 квадратное уравнение, присвоив его выражение переменной eq (файл solve):